2022年高三一轮专题复习二元一次不等式与简单的线性规划问题3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二元一次不等式 组与简洁的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域1一般地, 二元一次不等式 AxByC>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ByC0 某一侧全部点组成的平面区域 .我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线 .当我们在坐标系中画不等式 AxByC0 所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,就把边界直线画成实线 . 2由于对直线 AxByC0 同一侧的全部点 x,y,把它的坐标 x,y代入 AxByC,所得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特别点 x0, y0作为测试点,由 Ax0By0C 的符号即可判定 AxByC>0 表示的直线是 AxByC0 哪一侧的平面区域 . 2.线性规划相关概念名称 意义约束条件 由变量 x,y 组成的一次不等式线性约束条件 由 x,y 的一次不等式 或方程 组成的不等式组目标函数 欲求最大值或最小值的函数线性目标函数 关于 x,y 的一次解析式可行解 满意线性约束条件的解可行域 全部可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是名师归纳总结 1在平面直角坐标系内作出可行域. . 第 1 页,共 18 页2考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形. 3确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解4求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1.判定下面结论是否正确学习必备欢迎下载 请在括号中打“ ” 或“ × ”1不等式 Ax ByC>0 表示的平面区域肯定在直线 AxByC0 的上方 . × 2不等式 x 2y 2<0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有 y 轴的两块区域 . 3xy6<0,3不等式组xy2>0,表示的平面区域是下图中的阴影部分. × x0,y04线性目标函数的最优解可能是不唯独的. 5线性目标函数取得最值的点肯定在可行域的顶点或边界上. 6目标函数 zaxbyb 0中,z的几何意义是直线axbyz0 在 y 轴上的截距 .× 2.以下各点中,不在xy10 表示的平面区域内的是A.0,0 B. 1,1 C.1,3 D.2 , 3 答案C 解析把各点的坐标代入可得 1,3不适合,应选C. xy 1,3.如实数 x,y 满意不等式组xy1,就该约束条件所围成的平面区域的面积是 3xy 3,A.3 答案 解析B.5C.2 D.22 2C 由于直线 xy 1 与 xy1 相互垂直,所以如下列图的可行域为直角三角形,易得 A0,1,B1,0,C2,3,名师归纳总结 故|AB|2,|AC|2 2,其面积为1 2× |AB|× |AC|2. 第 2 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载y2x,4.2022·湖南 如变量 x,y 满意约束条件xy1,就 x2y 的最大值是 y 1,A.5B.0 C.5D.5 21 2z,当直线 y1 2x2过点 M 1 3,2 3时, z 取最大值23答案C y1 2x解析画出可行域如图. 设 zx2y,平行移动直线5 3,所以 x2ymax5 3. xy2 0,5.2022·浙江 设 z kxy,其中实数 x,y 满意x2y40,如 z 的最大值为12,就实数2xy40.k_. 答案 2 解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当 0k<1 2时,直线 y kx z 经过点 M4,4时 z 最大,所以 4k 412,解得k2舍去 ；当 k1 2时,直线 y kxz 经过点 0,2时 z 最大,此时z 的最大值为2,不合题意；当 k<0 时,直线y kxz 经过点 M4,4时 z 最大,所以4k412,解得 k2,符合题意 .综上可知, k2. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题型一二元一次不等式学习必备欢迎下载组表示的平面区域x0,例 1 如不等式组 x3y4,所表示的平面区域被直线 ykx4 3分为面积相等的两部分,3xy4就 k 的值是 7 3 4 3A. 3 B. 7 C. 3 D. 44 4思维启发 画出平面区域,明显点 0,3在已知的平面区域内,直线系过定点 0,3,结合图形查找直线平分平面区域面积的条件即可 . 答案 A 解析 不等式组表示的平面区域如下列图 . 由于直线 ykx4 3过定点 0,4 3 .因此只有直线过 AB 中点时,直线 ykx4 3能平分平面区域. 名师归纳总结 由于 A1,1,B0,4,所以 AB 中点 D 1 2,5 2 . .测试点可第 4 页,共 18 页当 ykx4 3过点2, 5 2时, 5 2 k 24 3,所以 k7 3. 思维升华二元一次不等式组表示平面区域的判定方法：直线定界,测试点定域. 留意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线以选一个,也可以选多个,如直线不过原点,就测试点常选取原点.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如图,在平面直角坐标系中,已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A0,1,B2,2,C2,6,试写出ABC 及其内部区域所对应的二元一次不等式组 . 解 由已知得直线 AB、BC、CA 的方程分别为直线 AB： x2y2 0,直线 BC：xy 40,直线 CA：5x2y 20,原点 0,0不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左端,结合式子的符号可得不等xy40式组为x2y 20. 5x2y20题型二 求线性目标函数的最值x4y 3例 2设 x,y 满意约束条件：3x5y25,求 zx y 的最大值与最小值. x1思维启发 作可行域后,通过平移直线 l0：xy0 来查找最优解,求出目标函数的最值 . 解 先作可行域,如下列图中 ABC 的区域,且求得 A5,2、B1,1、C1,22 5 ,作出直线 l 0：xy0,再将直线 l0 平移,当l0 的平行线 l1 过点 B 时,可使 zx y 达到最小值；当 l0 的平行线 l 2 过点 A 时,可使 zxy 达到最大值 . 故 zmin2,zmax7. 思维升华1线性目标函数的最大小值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取得. 2求线性目标函数的最优解,要留意分析线性目标函数所表示的几何意义,明确和直线的纵截距的关系 . 名师归纳总结 0 x2,给定 .如第 5 页,共 18 页1已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组y 2,x2y Mx,y为 D 上的动点,点A 的坐标为 2,1,就 zOM · OA 的最大值为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.3 B.4 C.32 学习必备欢迎下载D.42 x1,22022·课标全国 已知 a>0,x,y 满意约束条件xy3,如 z2xy 的最小值ya x3 ,为 1,就 a 等于 A.1B.1C.1 D.2 42答案1B2B 0x2,解析1由线性约束条件y 2,x2y画出可行域如图阴影部分所示,目标函数zOM·OA 2x y,将其化为 y2x z,结合图形可知,目标函数的图象过点 2, 2时,、z 最大,将点 2, 2的坐标代入z2xy 得 z 的最大值为4. 2作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分 . 易知直线 z2xy 过交点 A 时, z 取最小值,由得x 1,y a x3 ,x 1,y 2a,zmin22a1,解得 a1 2,应选 B. 50 亩,投入资金不超过54题型三实际生活中的线性规划问题例 32022·江西 某农户方案种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表名师归纳总结 黄瓜年产量 /亩年种植成本 /亩每吨售价第 6 页,共 18 页4 吨1.2 万元0.55 万元韭菜6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润总利润总销售收入总种植成本最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积 单位：亩 分别为 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.50,0 B.30,20 学习必备欢迎下载C.20,30 D.0,50 思维启发 依据线性规划解决实际问题,要先用字母表示变量,找出各量的关系列出约束条件,设出目标函数,转化为线性规划问题 . 答案 B xy50,解析设种植黄瓜x 亩,韭菜y 亩,就由题意可知1.2x0.9y54,求目标函数zxx,yN ,0.9y 的最大值,依据题意画可行域如图阴影所示 . 当目标函数线 l 向右平移,移至点 A30,20处时,目标函数取得最大值,即当黄瓜种植 30亩,韭菜种植 20 亩时,种植总利润最大 . 思维升华 线性规划的实际应用问题,需要通过审题懂得题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格, 找出线性约束条件,写出所争论的目标函数,转化为简洁的线性规划问题,再按如下步骤完成：1作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条 l；2平移 将 l 平行移动,以确定最优解的对应点 A 的位置；3求值 解方程组求出 A 点坐标 即最优解 ,代入目标函数,即可求出最值 . 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7辆载重量为 6 吨的乙型卡车 .某天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只能送一次 .派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人, 运输一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运输一次可得利润350 元,该公司合理方案当天派用两类卡车的车辆名师归纳总结 数,可得最大利润z 为B.4 700 元 第 7 页,共 18 页A.4 650 元C.4 900 元D.5 000 元- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案C 学习必备欢迎下载解析设该公司合理方案当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为x,y,就依据条件得x,yxy12,2xy 19,满意的约束条件为10x 6y72,目标函数z450xx8,y7,xN*,yN*,350y.作出约束条件所表示的平面区域如图,然后平移目标函数对应的直线 450x350y0即 9x7y 0知,当直线经过直线 x y12 与 2xy19 的交点 7,5时,目标函数取得最大值, 即 z450× 7350× 54 900.题型四求非线性目标函数的最值就y x的最大值为 _. xy20,例 41 设实数 x,y 满意x2y40,2y30,xy2,2已知 O 是坐标原点,点A1,0,如点 Mx,y为平面区域x1,上的一个动点,y2,就|OA OM |的最小值是 _. 思维启发 与二元一次不等式 组表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成 . 答案 13 2 23 2 2解析 1y x表示点 x,y与原点 0,0连线的斜率,在点 1,3 2处取到最大值 . 2依题意得, OA OM x 1,y,|OA OM |x1 2y 2可视为点x,y与点 1,0间的距离,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的名师归纳总结 平面区域,结合图形可知,在该平面区域内的点中,由点1,0向直线|OA OM |的最第 8 页,共 18 页xy2 引垂线的垂足位于该平面区域内,且与点 1,0的距离最小,因此- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 小值是|102|322 2 . 学习必备欢迎下载思维升华 常见代数式的几何意义有1 x 2y 2表示点 x,y与原点 0,0的距离；2 xa 2 yb 2表示点 x,y与点 a,b之间的距离；y3 x表示点 x, y与原点 0,0连线的斜率；yb4 表示点 x,y与点 a, b连线的斜率 . xax1,设不等式组x2y3 0,所表示的平面区域是 1,平面区域 2 是与 1 关yx,于直线 3x4y90 对称的区域,对于1 中的任意一点A 与 2 中的任意一点B,|AB|的最小值等于 A.28B.4 C.12D.2 55答案B 解析由题意知,所求的|AB|的最小值,即为区域1 中的点到直线 3x4y90 的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如下列图,可看出点 1,1到直线 3x4y90 的距离最小,故|AB|的最小值为 2×|3× 14× 19| 54,选 B. 线性规划问题中忽视参数范畴致误典例： 5 分已知 x,y 满意约束条件 |x|2|y|2,且 z ymxm 0的最小值等于2,就实数 m 的值等于 _. 易错分析 此题简洁显现的错误主要有两个方面：1没有将肯定值不等式转化为不等式组,画不出正确的可行域；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2没有对参数学习必备欢迎下载m1. m 的取值情形进行分类争论,造成漏解,只得到解析 原不等式等价于以下四个不等式组：x0,x0,y0,y0,x2y2,x2y2,x0,x0,y0,y0,x2y2,x2y 2,因此可画出可行域 如图 ：由 zymx 得 y mxz. 1当 m>1 2时,由图形可知,目标函数在点 A2,0处取得最小值,因此 202m,解得 m1. 2当 0<m1 2时,由图形可知,目标函数在点因此 2 1m× 0,m 无解 . D0, 1处取得最小值,3当 m<1 2时,由图形可知,目标函数在点C2,0处取得最小值,因此 202m,解得 m 1. 4当1 2m<0 时,由图形可知,目标函数在点D0, 1处取得最小值,因此 2 1m× 0,m 无解 . 综上,实数 m 的值等于 1 或 1. 答案 1 或 1 温馨提示 1含肯定值不等式表示区域的画法含有肯定值的不等式所表示的平面区域,应当依据变量的取值情形,将不等式中的肯定值符号去掉,化为几个不等式组,把每一个不等式表示的平面区域画出后合并起来就是相应的含肯定值不等式所表示的平面区域 . 2正确运用分类争论的方法此题是线性规划的逆问题,这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数,当在目名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载标函数中含有参数时,参数的不同取值将要影响到最优解的位置,因此要依据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系,对参数的取值情形进行分类争论,在运动变化中查找问题成立的条件,从而得到参数的取值.假如在约束条件中含有参数,那么随着参数的变化,可行域的外形可能就要发生变化,因此在求解时也要依据参数的取值对可行域的各种情形进行分类争论,以免显现漏解 . 方法与技巧1.平面区域的画法：线定界、点定域 留意实虚线 . 2.求最值：求二元一次函数 zaxby ab 0的最值,将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：ya bx z b,通过求直线的截距 zb的最值间接求出 z 的最值 .最优解在顶点或边界取得 . 3.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示变量,列出线性约束条件；写出要争论的函数,转化成线性规划问题 . 失误与防范1.画出平面区域 .防止失误的重要方法就是第一使二元一次不等式标准化 . 2.在通过求直线的截距 zb的最值间接求出 z 的最值时,要留意：当 b>0 时,截距z b取最大值时,z 也取最大值；截距 b取最小值时, z 也取最小值；当 z b<0 时,截距z b取最大值时, z 取最小值；截距z b取最小值时, z 取最大值 . A 组 专项基础训练时间： 40 分钟 一、挑选题名师归纳总结 yx1所表示的平面区域的面积为3 2,就 t 的值为 第 11 页,共 18 页1.在直角坐标平面内,不等式组y00xtC.1 D.3 A.3或3 B. 3 或 1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案C 学习必备欢迎下载yx 1解析不等式组y0所表示的平面区域如图中阴影部分所示. 0x ty x1由 解得交点 Bt,t1,在 yx1 中,令 x0 得 y1,x t即直线 yx1 与 y 轴的交点为 C0,1,由平面区域的面积 S1t1 × t23 2,得 t 22t30,解得 t1 或 t 3不合题意,舍去 ,应选 C. x0,2.直线 2xy10 0 与不等式组y0,表示的平面区域的公共点有 xy 2,4x3y 20A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.很多个答案 B 解析 在坐标平面内画出直线 2xy10 0 与不等式组表示的平面区域,易知直线与此区域的公共点有 1 个. 3x y60,3.2022·天津 设变量 x,y 满意约束条件xy20,就目标函数z y2x 的最小值为y30,A.7 B.4 C.1 D.2 l0 知,当直线l 过 A 点时, 答案A 解析可行域如图阴影部分含边界 令 z0,得直线 l 0： y2x0,平移直线z 取得最小值 . 由y 3,得 A5,3. x y20zmin32× 5 7,选 A. 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.O 为坐标原点,点学习必备欢迎下载x 2y 24,就OM·ON 的M 的坐标为 1,1,如点 Nx,y的坐标满意2xy 0,y0,最大值为 A.2 B.22 C.3 D.23 答案B 解析如图,点 N 在图中阴影区域内,当 O、M、N 共线时, OM ·ON最大,此时N2,2,OM·ON 1,1 ·2,222,应选 B. 2xy20,5.2022·山东 在平面直角坐标系xOy 中, M 为不等式组x2y10,所表示的区域上3xy80一动点,就直线OM 斜率的最小值为D.1 A.2 B.1 C.132答案C . 解析画出图形,数形结合得出答案2xy2 0,如下列图,x 2y1 0,3xy8 0所表示的平面区域为图中的阴影部分 . x 2y10,由 得 A3, 1. 3xy80,当 M 点与 A 重合时, OM 的斜率最小, kOM1 3. 二、填空题yx,6.已知 z2xy,式中变量x,y 满意约束条件xy1,就 z 的最大值为 _. x2,名师归纳总结 答案5 第 13 页,共 18 页解析在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线2x y0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点2, 1时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 相应直线在x 轴上的截距最大,此时学习必备欢迎下载z2x y 取得最大值,最大值是 z2× 215. x y07.设 z2xy,其中 x,y 满意x y0,如 z 的最大值为6,就 k 的值为 _,z 的0yk最小值为 _. 答案 2 2 解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x y6,结合图形分析可知,要使 z2xy 的最大值是 6,直线 yk 必过直线 2xy6 与 xy 0 的交点,即必过点2,2,于是有 k2；平移直线 2xy6,当平移到经过该平面区域内的点 2,2时,相应直线在 y 轴上的截距达到最小,此时 z2xy 取得最小值,最小值是 z2× 222. 8.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c如表：某冶炼厂至少要生产a b万吨 c百万元 2万吨 ,就购买铁矿石的A 50%13 B 70%0.56 1.9万吨 铁,如要求CO2 的排放量不超过最少费用为 _百万元 . 答案15 A、 B 分别为 x 万吨, y 万吨,购买铁矿石的费解析设购买铁矿石用为 z百万元 ,就0.5x 0.7y1.9x0.5y2,x0y0目标函数 z3x6y,名师归纳总结 由0.5x0.7y1.9,得x1,记 P1,2,第 14 页,共 18 页x 0.5y2,y2.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 画出可行域可知,当目标函数学习必备欢迎下载15. z3x6y 过点 P1,2时, z 取到最小值三、解答题9.如直线 xmym0 与以 P1, 1、Q2,3为端点的线段不相交,求 m 的取值范畴 . 解 直线 x mym0 将坐标平面划分成两块区域,线段 PQ 与直线 x mym0 不相交,1mm>01mm<0,就点 P、 Q 在同一区域内,于是,或 所以, m 的取2 3mm>0 2 3mm<0,值范畴是 m<1 2. 7x5y23010.已知 x,y 满意条件x7y 110,求 4x3y 的最大值和最小值. 4xy 1007x5y 230解不等式组x7y110表示的区域如下列图. 4xy100可观看出 4x3y 在 A 点取到最大值,在 B 点取到最小值 . 解方程组7x5y230 4xy100,得x 1,y 6就 A1, 6. 名师归纳总结 解方程组x7y11 0,得x 3. 14, 18. 第 15 页,共 18 页4xy10 0y2就 B3,2,因此 4x 3y 的最大值和最小值分别为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载B 组 专项才能提升时间： 30 分钟 1.2022·课标全国 已知正三角形 ABC 的顶点 A1,1,B1,3,顶点 C 在第一象限,如点 x,y在 ABC 内部,就 z xy 的取值范畴是 A.1 3,2 B.0,2 C. 31,2 D.0,1 3 答案 A 解析 如图,依据题意得 C13,2. 作直线 xy0,并向左上或右下平移,过点 B1,3和C13,2时,z x y 取范畴的边界值, 即 13 2<z<1 3,z xy 的取值范畴是 13,2. x4y42.2022·广东 给定区域 D：xy4. x0令点集 T x0,y0D|x0,y0Z,x0, y0是 zxy 在 D 上取得最大值或最小值的点 ,就 T 中的点共确定 _条不同的直线 . 答案 6 解 析 线 性 区 域 为 图 中 阴 影 部 分 , 取 得 最 小 值 时 点 为 0,1 , 最 大 值 时 点 为0,41,32,23,14,0 ,故共可确定 6 条. x2y 30,3.已知变量x, y 满意条件x3y30,如目标函数zaxy其中 a>0仅在点 3,0处取y10,名师归纳总结 得最大值,就a 的取值范畴是 _. 第 16 页,共 18 页答案1 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解析 画出 x、y 满意条件的可行域如下列图,要使目标函数z axy 仅在点 3,0处取得最大值,就直线 y ax z 的斜率应小于直线 x2y 30 的斜率,即 a<1 2,a>1 2. x0,4.当 x,y 满意约束条件yx,k 为负常数 时,能使 zx3y 的最大值为 12,试2x yk0,求 k 的值 . 解在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域如图所示. 当直线 y1 3x1 3z 经过区域中的点A 时,截距最大 . 乙两地间的长途客运业务,每车每由y x得 xyk 3. 2xyk 0,点 A 的坐标为 k 3, k 3. 就 z 的最大值为k 33k 34 3k,令4k 312,得 k 9. 所求实数k 的值为 9. 5.2022·湖北 某客运公司用A、B 两种型号的车辆承担甲、天来回一次 .A、B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,公司拟组建一个不超过21 辆车的客运车队,并要求B 型车不多于 A 型车 7 辆 .如每天运输人数不少于 那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆？900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,名师归纳总结 解设 A 型、B 型车辆的数量分别为x,y 辆,相应营运成本为z 元,就 z1 600x 2 400y.第 17 页,共 18 页由题意,得x,y 满意约束条件- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载xy21,yx7,36x60y900,x,y0, x,yN.作可行域如下列图,可行域的三个顶点坐标分别为P5,12,Q7,14,R15,6. 由图可知,当直线 z1 600x2 400y 经过可行域的点 P 时,直线 z1 600x2 400y 在 y轴上的截距 2 400最小,即 z 取得最小值 . z故应配备 A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆. 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 18 页