2022年高中数学必修-知识点总汇公式大全.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 数学必修 1-5 常用公式及结论必修 1： 一、集合 1、含义与表示： （1）集合中元素的特点：确定性,互异性,无序性（2）集合的分类；有限集,无限集（3）集合的表示法：列举法,描述法,图示法2、集合间的关系：子集：对任意 x A ,都有 x B ,就称 A 是 B 的子集；记作 A B真子集：如 A 是 B 的子集,且在 B 中至少存在一个元素不属于 A,就 A 是 B 的真子集,记作 A B 集合相等：如：A B B A ,就 A B3. 元素与集合的关系：属于 不属于：空集：4、集合的运算：并集：由属于集合 A 或属于集合 B的元素组成的集合叫并集,记为 A B交集：由集合 A和集合 B中的公共元素组成的集合叫交集,记为 A B补集：在全集 U中,由全部不属于集合 A的元素组成的集合叫补集,记为 C A5集合 a a 2 , , a n 的子集个数共有 2 n 个；真子集有 2 n 1 个；非空子集有 2 n 1 个； 6. 常用数集：自然数集：N 正整数集：N *整数集： Z 有理数集： Q 实数集： R二、函数的奇偶性1、定义：奇函数<=> f x = f x ,偶函数<=> f x = f x （留意定义域）2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；（2）偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形；（3）假如一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；（4）假如一个函数的图象关于 二、函数的单调性y 轴对称,那么这个函数是偶函数1、定义：对于定义域为 D 的函数 f x ,如任意的 x 1, x2 D,且 x1 < x 2 f x 1 < f x 2 <=> f x1 f x2 < 0 <=> f x 是增函数 f x 1 > f x 2 <=> f x1 f x2 > 0 <=> f x 是减函数2、复合函数的单调性 : 同增异减三、二次函数 y = ax 2 +bx + c（a 0）的性质1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、顶点坐标公式：b,4 acb2, 对称轴：xb,最大（小）值：4acab22 a4 a2a42. 二次函数的解析式的三种形式1 一般式f x 2 axbxc a0; 2. 顶点式f x a xh 2k a0; 3 两根式0f x a xx 1xx 2 a四、指数与指数函数1、幂的运算法就：（1）a m . an = am + n ,（ 2）amanamn,（3） a m n = am n （4） ab n = an . b n（5）anann1（8）ann1（6）a 0 = 1 a 0（7）amman（9）ambbnanman2、根式的性质（ 1） n ana . nan|a|a a00. （ 2）当 n为奇数时,nana ；当 n为偶数时,a a4、指数函数y = axa > 0 且 a 1的性质：（1）定义域： R ；值域： 0 , +（2）图象过定点（0,1）Y Y 1 a > 1 aNX abN a0,a1,1 0 < a < 1 X 0 0 5. 指数式与对数式的互化：logbN0.五、对数与对数函数1 对数的运算法就：（1）ab = N <=> b = loga N（ 2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4） log a ab = b（5）alog a N= N 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （6）log a MN = log a M + log a N （7） log a M = log a M - log a N N（8）log a N b = b log a N （9）换底公式： log a N = logbNX logba（10）推论logamn bnlogaba0, 且a1,m n0, 且m1,n1,N0. m（11）log a N = 1a（ 12）常用对数： lg N = log 10 N （13）自然对数： ln A = log e A logN（其中e = 2.71828 ）2、对数函数y = log a x a > 0 且 a 1 的性质：（1）定义域： 0 , + ；值域： R （2）图象过定点（1,0）Y a >1 Y 0 < a < 1 0 1 X 1 0 六、幂函数y = x a 的图象 :（1）依据a 的取值画出函数在第一象限的简图 . 例如：y = x 2a > 1 y0 < a < 1 ya < 0 111 xxxx2七. 图象平移：如将函数yfx的图象右移 a 、上移 b 个单位,x. 得到函数yfxab的图象；规律：左加右减,上加下减八.平均增长率的问题假如原先产值的基础数为N,平均增长率为p ,就对于时间 x 的总产值 y ,有y N1p 九、函数的零点：1. 定义：对于yf x ,把使f x 0的 X 叫yf x 的零点；即3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - y f x 的图象与 X 轴相交时交点的横坐标；2.函数零点存在性定理：假如函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线, 并有 f a f b 0,那么 y f x 在区间 a b内有零点, 即存在 c a b,使得 f c 0,这个 C 就是零点；3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度）（1）确定区间 a b ,验证 f a f b 0 ;2 求 a b 的中点 x 1 a b2（3）运算 f x 1 如 f x 1 0,就 1x 就是零点；如 f a f x 1 0,就零点x 0 a x 1 如 f x 1 f b 0,就零点 x 0 x b ；（4）判定是否达到精确度,如 a b,就零点为 a 或 b 或 a b 内任一值；否就重复（ 2）到（ 4）必修 2： 一、直线与圆1、斜率的运算公式：k = tan = y 2x 2y 1（ 90 °,x 1 x 2）x 12、直线的方程（1）斜截式y = k x + b,k 存在；（2）点斜式y y 0 = k x x 0 ,k 存在；（3）两点式yy 1xx 1（x 1x 2,y 1y ） ；4）截距式xy1（a0,b0）y2y 1x 2x 1ab（5）一般式AxByc0 , A B不同时为 ）3、两条直线的位置关系：l1： y = k1 x + b 1l1： A1 x + B 1 y + C 1 = 0 2x 12x22y 1y22l2： y = k 2 x + b2l2： A2 x + B 2 y + C 2 = 0 重合k 1= k 2 且 b1= b 2A 1B 1C1A2B 2C2平行k 1= k 2 且 b1b2A 1B 1C1A 2B 2C2垂直k1 k 2 = 1 A 1 A2 + B 1 B2 = 0 4、两点间距离公式： 设 P1 x 1 , y 1 、P 2 x 2 , y 2 ,就 | P1 P2 | =5、点 P x 0 , y 0 到直线 l： A x + B y + C = 0 的距离：dAx 0ABy 0CB4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、圆的方程标准方程圆的方程圆心1D2半径24Fx 2+ y 2= r 2（0, 0）r x a 2 + y b 2 = r 2（a, b）r 一般方程x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0 D,EE2228. 点与圆的位置关系点P x 0,y 0与圆xa2yb2r2的位置关系有三种如da: x 02by 02,就 dr点 P 在圆外 ; dr点 P 在圆上 ; dr点 P 在圆内 . 0. 9. 直线与圆的位置关系 圆心到直线的距离为d 直线AxByC0与圆xa2yb2r2的位置关系有三种dr相离0;dr相切0;dr相交10. 两圆位置关系的判定方法d设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r 1,r 2,O 1O 2dr 1r2外离4 条公切线; dr 1r 2外切3 条公切线; r 1r 2dr 1r 2相交2 条公切线; dr 1r2内切1 条公切线; 0dr 1r 2内含无公切线. 11. 圆的切线方程1 已知圆2 xy2DxEyF0F0表示过两个切点的切如已知切点x 0,y 0在圆上,就切线只有一条,其方程是x xy yD x 0xE y0yF0. 22当x 0,y 0圆外时 , x xy yD x0xE y0y 22点弦方程5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 过圆外一点的切线方程可设为yy 0k xx 0,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,留意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线2 已知圆 x 2 y 2 r 2过圆上的 P x 0 0 , y 0 点的切线方程为 x x 0 y y 0 r 2; 斜率为 k 的圆的切线方程为 y kx r 1 k 2二、立体几何（一）、线线平行判定定理：1、平行于同一条直线的两条直线相互平行；2、垂直于同一平面的两直线平行；3、假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行；4、假如两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行；（二）、线面平行判定定理1、如平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,就该直线与此平面平行；2、如两个平面平行,就其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行；（三）、面面平行判定定理：假如一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行；（四）、线线垂直判定定理：如始终线垂直于一平面,就这条直线垂直于这个平面内的全部直线；（五）、线面垂直判定定理1、假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面；2、假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；（六）、面面垂直判定定理 假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直；（七）证明直线与直线的平行的摸索途径（ 1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（ 3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行 . （八）证明直线与平面的平行的摸索途径（ 1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （九）证明平面与平面平行的摸索途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直 . （十）证明直线与直线的垂直的摸索途径（ 1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）利用三垂线定理或逆定理；（十一）证明直线与平面垂直的摸索途径（ 1）转化为该直线与面内任始终线垂直；（ 3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（十二）证明平面与平面的垂直的摸索途径. P （ 1）转化为判定二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直三、空间几何体（一）、正三棱锥的性质a,就有A D B O C 1、底面是正三角形,如设底面正三角形的边长为图形外接圆半径内切圆半径面积A 正三角形B O OA3aOD3aS3 a 42D 362、正三棱锥的帮助线作法一般是：作 PO底面 ABC 于 O,就 O 为 ABC 的中心, PO 为棱锥的高,取 AB 的中点 D,连结 PD、 CD,就 PD 为三棱锥的斜高,CD 为 ABC 的 AB 边上的高,且点 O 在 CD 上；POD 和 POC 都是直角三角形,且POD =POC = 90°（二）、正四棱锥的性质名师归纳总结 1、底面是正方形,如设底面正方形的边长为a,就有面积D P A E 7 B 第 7 页,共 18 页图形外接圆半径内切圆半径C O - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 正方形O A OB =2aOA = aS = a 2B 222、正四棱锥的帮助线作法一般是：作 PO底面 ABCD 于 O,就 O 为正方形 ABCD 的中心, PO 为棱锥的高, 取 AB 的中点 E,连结 PE、OE、OA ,就 PE 为四棱锥的斜高,点O 在 AC 上；POE 和 POA 都是直角三角形,且 POE =POA = 90 °（三）、长方体长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和；特别地,如正方体的棱长为a ,就这个正方体的一条对角线长为3 a ；（四）、正方体与球1 、 设 正 方 体 的 棱 长 为a, 它 的 外 接 球 半 径 为R1, 它 的 内 切 球 半 径 为R2 , 就3 a2 R 1,a2R 2D1C1O A 1B1D CAB（五）几何体的表面积体积运算公式21、圆柱 : 表面积 :2 R +2 Rh 体积 : R2h 2、圆锥 : 表面积 : R2+ RL 体积 : R2h/3 L 为母线长 2 23、圆台：表面积 : r R r R l 体积： V hR2Rrr2/3 4、球： S球面= 4 R 2 V球= 4 R 3 （其中 R 为球的半径）35、正方体：a边长,S6a2 ,Va36、长方体 a长 ,b宽 ,c高 S2ab+ac+bc Vabc 7、棱柱：全面积 =侧面积 +2X 底面积 V Sh 8、棱锥：全面积 =侧面积 +底面积 V Sh/3 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9、棱台：全面积=侧面积 +上底面积 +下底面积V1 3s 1s1s2s h四、三视图 1.投影：把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；把在一束平行光线照耀下形成的投影,影面,可以分为斜投影和正投影两种；称为平行投影； 平行投影依据投射方向是否正对着投2、光线从几何体的前面对后面正投影,得到投影图 ,这种投影图叫做几何体的正视图也叫主视图 ；光线从几何体的上面对下面正投影,得到投影图 ,这种投影图叫做几何体的俯视图；光线从几何体的左面对右面正投影 ,得到投影图 ,这种投影图叫做几何体的侧视图 或左视图 3、“ 长对正 ,高平齐 ,宽相等 ” 是三视图之间的投影规律 ,是画图和读图的重要依据 . 画几何体的三视图时 ,能观察的轮廓线和棱用实线表示,不能观察的轮廓线和棱用虚线表示；必修 3: 第一章 算法初步1、算法概念：在数学上,现代意义上的“ 算法” 通常是指可以用运算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必需是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成 . 2、构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和终止,是任何流程图输入、输出框不行少的；表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置；赋值、运算,算法中处理数据需要的算式、处理框 公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内；判定某一条件是否成立,成立时在出口处标判定框 明“ 是” 或“Y ” ；不成立时标明“ 否” 或“ N” ；9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、算法的三种基本规律结构：次序结构、条件结构、循环结构； 结构图请看教材4、（1）、辗转相除法： 用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数,继续做上面的除法,直到大数被小数除尽,这个较小的数就是最大公约数；（2）、更相减损术； 以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数； 连续这个操作, 直到所得的数相等为止,就这个数 （等数） 就是所求的最大公约数；（3）进位制 以 k 为基数的 k 进制换算为十进制：n n 1 1 0a a n 1 . a a 0 k a n k a n 1 k a k a k十进制换算为 k 进制：除以 k 取余,倒序排列其次章 统计 1 总体和样本： 在统计学中 , 把讨论对象的全体叫做总体把每个讨论对象叫做个体把总体中个体的总数叫做总体容量为了讨论总体的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分：,讨论,我们称它为样本其中个体的个数称为样本容量2、简洁随机抽样,也叫纯随机抽样；就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随机地抽取调查单位；特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同；（总体个数较少）3、简洁随机抽样常用的方法：（1）抽签法；随机数表法；运算机模拟法；4、系统抽样（等距抽样） ：把总体的单位进行排序,再运算出抽样距离,然后依据这一固定的抽样距离抽取样本；第一个样本采纳简洁随机抽样的方法抽取；K（抽样距离） =N （总体规模） /n（样本规模）（总体个数较多）5、分层抽样：先将总体中的全部单位依据某种特点或标志（性别、年龄等）划分成如干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采纳简洁随机抽样或系统抽样的方法抽取一个子样本,最终, 将这些子样本合起来构成总体的样本；先以分层变量将总体划分为如干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取；（总体中差异明显）6、总体分布的估量：一表二图：频率分布表 数据详实频率分布直方图 分布直观 频率分布折线图 便于观看总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1；茎叶图： 茎叶图适用于数据较少的情形,从中便于看出数据的分布,以及中位数、众位数等；个位数为叶,十位数为茎,右侧数据依据从小到大书写,相同的数重复写；7、用样本的数字特点估量总体的数字特点（s 为标准差）10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）、平均值：xx 1x2nx n（2）、sx 1x 2x 22 x x n2 x n8、两个变量的线性相关（1）、概念 :（ 1）回来直线方程：yab xnb x（2）回来系数：bii1x yinx y, ayn 12 x inx2第三章（3）应用直线回来时留意：回来分析前 ,最好先作出散点图；概率一、概念 1 、大事：试验的每一种可能的结果,用大写英文字母表示；（1）必定大事：在条件S 下,肯定会发生的大事,叫相对于条件S 的必定大事；（2）不行能大事：在条件S 下,肯定不会发生的大事,叫相对于条件S 的不行能事件；（3）随机大事：在条件S 下可能发生也可能不发生的大事,叫相对于条件S 的随机大事；2、古典概型：基本领件：一次试验中可能显现的每一个基本结果；古典概型的特点：基本领件可列举；每个基本领件都是等可能发生概率运算公式：一次试验的等可能基本领件共有n 个,大事 A 包含了其中的m 个基本领件,就大事 A 发生的概率p Amn3、几何概型：特点：全部的基本领件是无限个；每个基本领件都是等可能发生；构成大事 A 的区域长度（面积或体 积）几何概型概率运算公式：试验的全部结果所构成 的区域长度（面积或体 积）；4、如 A B= ,即不行能同时发生的两个大事,那么称大事 A 与大事 B 互斥；5、如 A B 为不行能大事,两个大事,那么称大事A B 为必定大事,即不能同时发生且必有一个发生的 A 与大事 B 互为对立大事；二、概率的基本性质：1）必定大事概率为1,不行能大事概率为0,因此0PA1；2）当大事 A 与 B 互斥时,满意加法公式：PA B= PA+ PB ；3）如大事 A 与 B 为对立大事,就A B 为必定大事,所以PAB= PA+ PB=1 ,于是有 PA=1 PB；11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4）互斥大事与对立大事的区分与联系,互斥大事是指大事A 与大事 B 在一次试验中不会同时发生,详细包括三种不同的情形：（ 1）大事 A 发生且大事 B 不发生；（2）大事 A 不发生且大事 B 发生；（3）大事 A 与大事 B 同时不发生,而对立大事是指大事 A 与大事 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形；（1）大事 A 发生 B 不发生；（2）大事 B 发生大事 A不发生,对立大事是互斥大事的特别情形；必修 4 一、三角函数与三角恒等变换1、三角函数的图象与性质函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域R R x| x 2+k ,k Z值域 - 1,1 - 1,1 R 周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间 -2+2k ,2+2k 增区间 - +2k , 2k 增区间减区间 2k , +2k -2+k ,2+k 减区间 2+2k ,3+2k k Z 2 k Z 对称轴x = 2+ k k Z x = k k Z 无12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对称中心 k ,0 kZ 2+ k ,0 k Z k2,0 kZ 2、同角三角函数公式sin 2 + cos 2 = 1 tansintan cot =1 cos3、二倍角的三角函数公式sin2 = 2sin cos cos2 =2cos2 - 1 = 1- 2 sin 2 = cos 2 -sin2 t an 212t an 2sin21cos21- cos2 = 2 sin22 t an4、降幂公式cos21cos2221 + cos2 =2 cos25、升幂公式1± sin2 = sin ± cos 6、两角和差的三角函数公式sin ± = sin cos 土 cos sintantantan1tantan7、两角和差正切公式的变形：cos ± = cos cos 干 sin sintan ± tan = tan ± 1 干 tan tan 1tan=tan4545tan= tan 4+ 1tan=tan4545tan= tan 4- 1tan1tantan1tan1tantan8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）asinbcosa22 bsin（其中tanb）a9、半角公式：sin21cosc o s 21c o s22tan21cossin1cos1cos1cossin10、三角函数的诱导公式“ 奇变偶不变,符号看象限；”sin = sin ,cos = cos ,tan = tan ；sin + = sincos + = costan + = tansin 2 = sincos 2 = costan 2 = tansin = sincos = costan = tansin 2 = coscos 2 = sin tan 2 = cotsin 2+ = coscos 2+ = sintan 2+ = cot13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11. 三角函数的周期公式函数ysinx,xR 及函数ycosx,xRA, ,为常数,且A 0,2,kZ A, ,为常数,且A 0 的周期T2；函数ytanx,xk 0, 0 的周期 T. 二、平面对量（一）、向量的有关概念1、向量的模运算公式： （1）向量法： |a| =aax2a2；y2（2）坐标法：设a=（x,y）,就 |a| =2、单位向量的运算公式：（1）与向量 a =（ x,y）同向的单位向量是xxy2,x2yy2；y2；2（2）与向量 a =（ x,y）反向的单位向量是x2xy2yx23、平行向量规定：零向量与任一向量平行；设a=（x1,y1）,b=（x2,y2）, 为实数向量法： a b （ b 0 ）<=> a= b坐标法： a b （ b 0 ）<=> x 1 y2 x2 y1 = 0 <=> x 1x 2（y1 0 , y 2 0）y 1y24、垂直向量规定：零向量与任一向量垂直；设a=（x1,y1）,b=（x2,y2）向量法： a b <=> a ·b = 0 坐标法： a b <=> x 1 x 2 + y1 y 2 = 0 5. 平面两点间的距离公式dA B=|AB|AB ABx 2x 12y 2y 12Ax 1,y 1,B x 2,y 2. （二）、向量的加法（1）向量法：三角形法就（首尾相接首尾连）,平行四边形法就（起点相同连对角）名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）坐标法：设 a =（x1,y1）, b =（x2, y2）,就 a+ b =（x 1+ x 2 ,y1+ y 2）（三）、向量的减法（1）向量法：三角形法就（首首相接尾尾连,差向量的方向指向被减向量）（2）坐标法：设 a =（x1,y1）, b =（x2, y2）,就 a- b =（x1 - x2 ,y 1- y2）（3）、重要结论： | |a | - |b | | |a ± b | | a| + |b | （四）、两个向量的夹角运算公式：（1）向量法： cos= |a|b|2y2ab（2）坐标法：设 a =（x1,y1）, b =（x2, y2）,就 cos=2 x 1x 1x22y1yyx2 2（五）、平面对量的数量积运算公式：（1）向量法： a ·12b= |a| |b| cos （2）坐标法：设 a =（x 1,y 1）, b =（x2,y2）,就 a ·b = x 1 x2 + y 1 y2（3） a· b 的几何意义：数量积 a·b 等