2022年高三数学大一轮复习不等式选讲学案理新人教A版.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载学案 76 不等式选讲 一 肯定值不等式导学目标 ：1. 懂得肯定值的几何意义,并能利用含肯定值不等式的几何意义证明以下不 等式： 1| ab| | a| | b| ,2| ab| | ac| | cb|.2. 会利用肯定值的几何意义求解以下类型的不等式：| axb| c；| ax b| c； | xa| | xb| c. 自主梳理 1含 _的不等式叫做肯定值不等式2解含有肯定值的不等式的方法关键是去掉肯定值符号,基本方法有如下几种：1 分段争论：依据 | f x| fx,fxx,去掉肯定值符号fx,f,2 利用等价不等式：| f x| g x . g x f x g x ；| f x| g x . f x g x 或 f x g x 3 两端同时平方：即运用移项法就,使不等式两边都变为非负数 ,再平方,从而去掉 肯定值符号3形如 | xa| | x b| c a b 与 | xa| | xb| c a b 的肯定值不等式的解 法主要有三种：1 运用肯定值的几何意义；2_ ；3 构造分段函数,结合函数图象求解41 定理：假如 a,b,c 是实数, 就| ac| | a b| | bc| ,当且仅当 _时,等号成立2 重要肯定值不等式| a| | b| | a± b| | a| | b|. 使用时 特殊是求最值时 要留意等号成立的条件,即 | ab| | a| | b| . ab0；| ab| | a| | b| . ab0；| a| | b| | ab| . b ab 0；| a| | b| | ab| . b ab 0；注： | a| | b| | a b| . | a| | a b| | b| . | a b b| | a b| | b| . b ab 0.同理可得 | a| | b| | ab| . b ab 0.自我检测12022· 江西 不等式x2x2 x的解集是 1 t6,ta 的取xA0,2 B , 0 C2 , D , 0 0 ,22022· 天津 已知集合 A xR| x3| | x4| 9 , B x R| x4t 0 , ,就集合AB _. 32022· 潍坊模拟 已知不等式 | x 2| | x3| a 的解集不是空集,就实数值范畴是 Aa<5 Ba5Ca>5 Da54如不等式 | x1| | x2|< a 无实数解,就a 的取值范畴是 _名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载52022· 福建 解不等式 |2 x1|<| x| 1. 探究点一 解肯定值不等式例 1 解以下不等式：11<| x2| 3；2|2 x5|>7 x；3| x 1| |2 x1|<2. 变式迁移 1 2022 · 江苏 解不等式 x|2 x1|<3. 探究点二 肯定值不等式的恒成立问题例 22022· 商丘模拟已知不等式 | x2| | x3|> m. 1 如不等式有解；名师归纳总结 2 如不等式解集为R；第 2 页,共 11 页3 如不等式解集为. 分别求出实数m的取值范畴- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载变式迁移 2 设函数 f x| x1| | x2| ,如 f x> a 对 x R恒成立, 求实数 a 的取值范畴探究点三 肯定值三角不等式定理的应用例 3“ | xA|< 2,且 | yA|< 2” 是“ | xy|< ” x,y,A, R 的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件变式迁移 3 1 求函数 y| x2| | x2| 的最大值；2 求函数 y| x3| | x 2| 的最小值转化与化归思想的应用例 10 分 设 aR,函数 f x ax 2 xa 1 x1 ,5 171 如| a| 1,求证： | f x| 4；2 求 a 的值,使函数 f x有最大值 8 . 5 5 5多角度审题 第1 问| f x| 4. 4f x 4,因此证明方法有两种,一是利用放5 5 5缩法直接证出 | f x| 4；二是证明4f x 4亦可第 2 问实质上是已知 f x 的最大17值为 8,求 a 的值由于 x 1,1 ,f x 是关于 x 的二次函数,那么就需判定对称轴对应的 x 值在不在区间 1,1 上【答题模板】名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2| x| 证明 1 方法一1 x1, | x| 1. 又 | a| 1,| f x| | a x 21 x| |a x 21| | x| | x 21| | x| 1 | x| | x| 125 45 4.3分 5 4；3 分 2如 | a| 1,就 | f x| 5 4.5分 方法二设 g a f x ax2xa x21 ax. 1 x1,当 x± 1,即 x210 时, | f x| | g a| 15 4； 1 分 当 1<x<1 即 x 21<0 时, g a x 21 ax 是单调递减函数2 分 | a| 1, 1 a1, g amaxg 1 x2x1 x122g a ming1 x2x1 x125 4.4分 2| f x| | g a| 5 4.5 分 2 当 a0 时,f x x,当1 x1 时,f x 的最大值为a 0.6 分 又 f 1 a1a 1,f 1 a 1a 1. 故 f 1 和 f 1 均不是最大值,7 分 17f x 的最大值 8应在其对称轴上的顶点位置取得,a<0命题等价于1<1 2a<1,9 分 f 1 2a178解得a<1 21a 2或a8f 1 1,不满意题设条件,17a 2. 即当 a 2 时,函数 f x 有最大值 8 .10 分 【突破思维障碍】由于 | a| 1,f x的表达式中有两项含有 a,要想利用条件 | a| 1,必需合并含 a 的项,从而找到解题思路；另外,由于 x 的最高次数为 2,而 a 的最高次数为 1,把 ax 2x a 看作关于 a 的函数更简洁,这两种方法中,对 a 的合并都是很关键的一步【易错点剖析】在第 1 问中的方法一中,假如不合并含 致出错或证不出；方法二也需要先合并含a 的项,就无法正确应用条件 | a| 1,从而导a 的项后,才简洁把 f x 看作 g a 名师归纳总结 解含有肯定值不等式时,去掉肯定值符号的方法主要有：公式法、 分段争论法、 平方法、第 4 页,共 11 页几何法等 这几种方法应用时各有利弊,在解只含有一个肯定值的不等式时,用公式法较为简便； 但是如不等式含有多个肯定值时,就应采纳分段争论法；应用平方法时,要留意只有在不等式两边均为正的情形下才能运用因此, 在去肯定值符号时,用何种方- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载法需视详细情形而定 满分： 75 分 一、挑选题 每道题 5 分,共 25 分 1不等式 | x 2x|<2 的解集为 A 1,2 B 1,1 C 2,1 D 2,2 22022· 郑州期末 设| a|<1 ,| b|<1 ,就 | ab| | ab| 与 2 的大小关系是 A| a b| | ab|>2 B| ab| | ab|<2 C| a b| | ab| 2 3不等式 | x 3| | x1| aD不能比较大小 23a 对任意实数 x 恒成立,就实数 a 的取值范畴为 A , 1 4 , B , 2 5 ,C1,2 D , 1 2 , 4如不等式 |8 x9|<7 和不等式 ax 2bx>2 的解集相等, 就实数 a、b 的值分别为 Aa 8,b 10 Ba 4,b 9 Ca 1,b9 Da 1,b2 5如关于 x 的不等式 | x1| | x3| a 22a1 在 R上的解集为 .,就实数 a 的取值 范畴是 Aa< 1 或 a>3 B 1<a<3 C 1<a<2 D1<a<3 二、填空题 每道题 4 分,共 12 分 6给出以下三个命题：如 | ab|<1 ,就 | a|<| b| 1；如 a、bR,就| ab| 2| a| | ab| ；如 | x|<2 ,x 2 | y|>3 ,就 y< 3. 其中全部正确命题的序号是 _72022· 陕西 不等式 | x3| | x2| 3 的解集为 _82022· 深圳模拟 如不等式 | x1| | x3| a4 a对任意的实数x 恒成立,就实数a 的取值范畴是 _ 三、解答题 共 38 分 912 分2022 · 福建 已知函数 f x | x a|. 1 如不等式 f x 3 的解集为 x| 1 x5 ,求实数 2 在1 的条件下, 如 f x f x5 m对一切实数a 的值；x 恒成立, 求实数 m的取值范畴名师归纳总结 1012 分2022 · 辽宁 设函数 f x | x1| | x a|. 第 5 页,共 11 页1 如 a 1,解不等式f x 3；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2 假如 . x R,f x 2,求 a 的取值范畴1114 分对于任意实数a a 0 和 b,不等式 | ab| | a b| |a|x1| | x2|恒成立,试求实数x 的取值范畴学案 76 不等式选讲 一 肯定值不等式自主梳理名师归纳总结 1肯定值符号3.2零点分区间争论法第 6 页,共 11 页41 ab bc 0自我检测1A x2x2 x,x2 x0, 0x2. x2 x| 2 x5解析| x3| | x4| 9,当 x<3 时, x3 x4 9,即 4 x<3；当3 x4 时, x3 x4 79 恒成立；当 x>4 时, x3x49,即 4<x5.综上所述, A x| 4 x5 又 x 4t 1 t6,t 0 , ,x24t ·1 t6 2,当 t 1 2时取等号B x| x 2 , AB x| 2 x5 3D 由肯定值的几何意义知| x2| | x3| 5 , ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载因此要使 | x 2| | x3| a 有解集,需 a5.4a3解析 由肯定值的几何意义知 | x1| | x2| 的最小值为 3,而| x1| | x2|< a 无解,知 a3.5解 当 x<0 时,原不等式可化为2x 1<x 1,解得 x>0,又 x<0,x 不存在；1当 0x< 2时,原不等式可化为2x1<x1,解得 x>0,1 1又0 x< 2, 0<x< 2；1当 x2时,原不等式可化为 2x1<x1,解得 x<2,1 1又 x2,2x<2. 综上,原不等式的解集为 x|0< x<2课堂活动区例 1 解题导引 1 肯定值不等式的关键是去掉肯定值符号其方法主要有：利用绝对值的意义；利用公式；平方、分区间争论等2 利用平方法去肯定值符号时,应留意不等式两边非负才可进行3 零点分段法解肯定值不等式的步骤：求零点； 划区间、去肯定值号；分别解去掉肯定值的不等式；取每个结果的并集,留意在分段时不要遗漏区间的端点值| x2|>1解 1 原不等式等价于不等式组,| x2| 3x<1,或 x>3即,1 x5解得 1 x<1 或 3<x5,所以原不等式的解集为 x| 1 x<1,或 3<x5 2 由不等式 |2 x5|>7 x,可得 2x5>7x 或 2x5<7 x ,整理得 x>2,或 x<4. 原不等式的解集是 x| x<4,或 x>2 3 由题意 x1 时, | x1| 0,x1 2时, 2x10 以下分类争论 名师归纳总结 所以当 x<1 2时,原不等式等价于x<1 2,得2 3<x<1 2. 解得1第 7 页,共 11 页x12x1<2,当1 2x1 时,原不等式等价于1 2x1,得1 2 x<0. x12x1<2,当 x>1 时,原不等式等价于x>1,得 x 无解x12x1<2,由得原不等式的解集为 x| 2 3<x<0 变式迁移1 解原不等式可化为2x10,或2x1<0,xxxx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x<4 3或 2<x<1 2. 优秀学习资料欢迎下载所以原不等式的解集是 x| 2<x<4 3 例 2 解题导引 恒成立问题的解决方法1 f x< m恒成立,须有 f x max<m；2 f x> m恒成立,须有 f x min>m；3 不等式的解集为 R,即不等式恒成立；4 不等式的解集为 .,即不等式无解解 由于 | x 2| | x3| 的几何意义为数轴上任意一点 P x 与两定点 A 2 、B 3距离的差即| x2| | x3| | PA| | PB|. 易知 | PA| | PB| max1,| PA| | PB| min 1. 即| x2| | x3| 1,1 1 如不等式有解,m只要比 | x2| | x 3| 的最大值小即可,即 m<1. 2 如不等式的解集为 R,即不等式恒成立,m小于 | x2| | x3| 的最小值即可, 所以m< 1. 3 如不等式的解集为 .,m只要不小于 | x2| | x3| 的最大值即可,即 m1.变式迁移 2 解 由 | x1| | x2| 的几何意义, 即数轴上的点 x 到数轴上的点 1,2 的距离之和知, | x 1| | x2| 1,要使 | x1| | x2|> a 恒成立,只须 1>a. 即实数 a 的取值范畴为 , 1 例 3 解题导引 对肯定值三角不等式| a| | b| | a± b| | a| | b|. 1 当 ab0 时, | a b| | a| | b| ；当 ab0 时, | ab| | a| | b|. 2 该 定 理 可 以 推 广 为 | a b c| | a| | b| | c| , 也 可 强 化 为 | a| | b| | a± b| | a| | b| ,它们常常用于含肯定值的不等式的推证3 利用“ ” 成立的条件可求函数的最值A | xy| | xAyA| ,由三角不等式定理| a| | b| | ab| | a| | b| 得： | xy| | xA| | yA|< 2 2 . 反过来由 | x y|< ,得不出 | xA|< 2且| y A|< 2,应选 A. 名师归纳总结 变式迁移 3 解1| x2| | x2| 第 8 页,共 11 页| x 2 x2| 4,当 x>2 时,“ ” 成立故函数 y| x2| | x2| 的最大值为4. 2| x 3| | x2| | x3 x2| 5. 当2 x3 时,取“ ” 故 y| x3| | x 2| 的最小值为5. 课后练习区1A | x2x|<2 , 2<x2x<2,即x 2x2>0,xR. 1<x<2. x2x2<01<x<22B 方法一把 a 当作变量,要去掉肯定值符号,分区间进行争论,如下列图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载不妨设 b>0 b<0 时同理 1 当 1<a b 时, | ab| | ab| ab ab 2a<2,2 当 b<a b时, | ab| | ab| a bab2b<2,3 当 b<a<1 时,| ab| | a b| a bab2a<2. 综上可知 | a b| | ab|<2. 2方法二 | ab| | ab|4a 2,a 2>b 2,2a 22b 22| a 2b 2| 4b 2,a 2b 2,| ab| | ab|<2. 3A 由| x3| | x1| 的几何意义知,2| x3| | x 1| 4,4 ,即| x3| | x1| 的最大值是 4,要使 | x3| | x1| a3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a 23a4 恒成立刻可 所以 a ,1 4 , 4B 由|8 x9|<7 ,得 7<8x9<7,1即 16<8x< 2, 2<x<4. 1由题意知 2,4为方程 ax 2bx20 的两根,b a 214,a 4. 2 1 b 9a4 .5B 由 | x1| | x3| 的几何意义知 | x1| | x3| 2,即| x 1| | x3| 的最小值为 2. 当 a 22a1<2 时满意题意,a 22a3<0,即 a1 a3<0 , 1<a<3. 6解析 | a| | b| |ab|<1 , | a|<| b| 1；| ab| 2| a| | ab| |2 a| |ab2a| | ba| | ab| ；| y|>3 ,| y| < 3,| y| < 3,即 | x y|< 3. 1 | x| 2 1故、都正确7 x| x1解析原不等式可化为： x| x1 x 3,或3<x<2,x3x23x3x23或x2,x3x23,x.或 1 x<2 或 x2. 不等式的解集为8 , 0 2 名师归纳总结 解析由| x 1| | x3| 的几何意义知,第 9 页,共 11 页| x1| | x 3| 4 , , a4 a4.当 a>0 时, a4 a4,当且仅当a2 时,取等号,当 a<0,明显符合题意9解方法一1 由 f x 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料得| xa| 3,解得 a3 xa 3.3 分 欢迎下载又已知不等式f x 3 的解集为 x| 1 x5 ,所以a3 1,解得 a 2.6分 a35,2 当 a2 时, f x | x2| ,设 g x f x f x5 ,于是 g x | x2| | x3| 2x1, x<3,5,3 x2,8 分 2x1,x>2.所以当 x< 3 时, g x>5；当3 x2 时, g x 5；当 x>2 时, g x>5. x 恒成立,就m的取值范畴为 综上可得, g x 的最小值为5.10分 从而如 f x f x5 m,即 g x minm对一切实数, 5 12 分 方法二 1 同方法一 6 分 2 当 a2 时, f x | x2|. 设 g x f x f x5 | x2| | x3|. 由| x2| | x3| | x2 x3| 5 当且仅当 3 x2 时等号成立 得,g x 的最小值为 5.10 分 从而,如 f x f x5 m,即 g xminm对一切实数 x 恒成立,就 m的取值范畴为 , 5 12 分 10解 1 当 a 1 时, f x | x1| | x1|. 由 f x 3 得 | x1| | x1| 3.1x 1x3,即 2x3. 当 x 1 时,不等式化为x 1,3 不等式组 f x 的解集为,2 .2 分 当 1<x1 时 , 不 等 式 化 为 1 x x 13 , 此 不 等 式 不 成 立 , 不 等 式 组1<x1 的解集为 .4 分 f x当 x>1 时,不等式化为x1x13,即 2x3.不等式组x>1,的解集为3 2,. .6 分 fx综上得, f x 3 的解集为,3 23 2,2 如 a1,f x 2| x1| ,不满意题设条件2xa1,x a,如 a<1,f x 1a,a<x<1,8 分 f x 的最小值为2xa,x1.1 a.9 分 2xa1,x1,名师归纳总结 如 a>1,f x a1,1<x<a,11 分 第 10 页,共 11 页2xa,xa.f x 的最小值为a 1. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载所以 . xR. f x 2 的充要条件是 12 分 | a1| 2,从而 a 的取值范畴为 , 1 3 ,11解由题知, | x1| | x2| | ab| | ab|恒成立| a|故| x1| | x2| 不大于| a b| | ab| | a|的最小值2 分 | ab| | ab| | abab| 2| a| ,当且仅当 ab ab 0 时取等号,| ab| | ab| 的最小值等于 2.6 分 | a|x 的取值范畴即为不等式| x1| | x2| 2 的解名师归纳总结 解不等式得1 2x5 2.14分 第 11 页,共 11 页- - - - - - -