2022年高中数学通用模型解题精编版.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学解题方法1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“ 确定性、互异性、无序性”；如：集合Ax ylgx,By ylgx,C , | x y ylgx,A、B、C中元素各表示什么？A 表示函数 y=lgx 的定义域, B 表示的是值域,而C 表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集的特殊情形 留意借助于数轴和文氏图解集合问题；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集；如：集合Ax x22x30,Bx ax1B 只能是 -1 或者 3；依据如BA,就实数 的值构成的集合为（答：1, ,1）3明显,这里很简洁解出A=-1,3. 而 B 最多只有一个元素；故条件, 可以得到 a=-1,a=1/3. 但是, 这里千万当心, 仍有一个 不要把它搞遗忘了；3. 留意以下性质：B 为空集的情形, 也就是 a=0,（ ）集合 a 1,a 2, ,an 的全部子集的个数是 2 n；要知道它的来历：如 B 为 A 的子集, 就对于元素 a1来说, 有 2 种挑选 （在或者不在） ；同样,对于元素 a2, a3, an,都有 2 种挑选,所以,总共有 2 n 种挑选,即集合 A 有 2 n 个子集；当然,我们也要留意到,这2 n 种情形之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为2n1,非空真子集个数为n 22（2）如ABABA,ABB；（3）德摩根定律：C UABCUAC UB,CUABC UAC UB有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂名师归纳总结 ABAB ABAB第 1 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于 x 的不等式 ax2 5 0 的解集为 M,如 3 M 且 5 M,求实数 ax a的取值范畴；（3 M,a·2 3 503 aa 1,59,25）5 M,a·2 5 50 35 a留意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过；如告知你函数fx=ax 2+bx+ca>0 在 ,1 上单调递减,在 1, 上单调递增,就应当立刻知道函数对称轴是 x=1.或者,我说在上,也应当立刻可以想到 m, n 实际上就是方程 的 2 个根5、熟识命题的几种形式、可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或” , “ 且” 和 “ 非”.如pq为真,当且仅当p、 均为真如pq 为真,当且仅当p、 至少有一个为真如p为真,当且仅当p为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假；6、熟识充要条件的性质（高考常常考）A x | x 满意条件 p ,B x | x 满意条件 q ,如；就 p 是 q 的充分非必要条件 A_ B；如；就 p 是 q 的必要非充分条件 A_ B；如；就 p 是 q 的充要条件 A _ B；如；就 p 是 q 的既非充分又非必要条件 _；7. 对映射的概念明白吗？映射 f：AB,是否留意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - （一对一,多对一,答应 B 中有元素无原象； ）留意映射个数的求法；如集合 的映射个数有 n m 个；A 中有 m 个元素,集合B 中有 n 个元素,就从A 到 B如：如A,12 ,34 ,Ba ,b,c ；问： A 到 B 的映射有个, B 到 A 的映射有个； A到 B 的函数有个,如A1 2,3, ,就 A 到 B 的一一映射有个；函数yx的图象与直线xa交点的个数为个；8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样两点必需同时具备9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数yx4x的定义域是lgx32（答：0,22,33,4）函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零；正切函数ytanxxR ,且xk,k2,k余切函数ycotxxR ,且xk反三角函数的定义域函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1,值域是,函数 yarccosx 的定义域是 1, 1 ,值域是 0, ,函数 yarctgx 的定义域是 R ,值域是 .,函数 yarcctgx 的定义域是R ,值域是0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域；10. 如何求复合函数的定义域？名师归纳总结 如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数Fxf x fx的定第 3 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 义域是 _；（答：a,a）1复合函数定义域的求法：已知yfx的定义域为m,n,求yfgx的定义域,可由mgx n解出 x 的范畴,即为yfgx的定义域；y；例如函数yfx的定义域为1,2,就flog 2 x的定义域为2分析： 由函数yfx的定义域为1,2可知：1x2；所以flog 2 x中有22log2x2；2解： 依题意知：1log2x22解之,得2x4flog 2 x的定义域为x|2x411、函数值域的求法 1、直接观看法 对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到；例 求函数 y=1 的值域 x2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例、求函数y=2 x -2x+5 ,x-1 ,2 的值域；3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行 化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - a yb2型：直接用不等式性质k+xb. yx2xbxn型, 先化简,再用均值不等式mx例： yx111+x2x+12c yx2mxxn n型 通常用判别式x2mxd. yx2mxn型n法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉例： yx2xx12 1 （ x+1） （ x+1）+1 （x+1）x111211x14、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域；例 求函数 y=3 x4值域；5x65、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域；我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性；例 求函数 y=ex1,y2sin1,y2sin1的值域；第 5 页,共 22 页ex11sin1cos1yx e1x e1y0x e11yy2sin1| sin| |1y| 1,y1sin2yy2sin12sin1y1 cos 1cos2sinycos1y4y2sinx 1y, 即sinx 42 y又由sinx 1 知1y142 y解不等式,求出y,就是要求的答案名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6、函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容x 例求函数 y=25log3x1（2x10）的值域7、换元法 通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型；换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用；例 求函数 y=x+x1的值域；8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这 类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目；例：已知点P（x.y ）在圆 x2+y2=1 上,的直线 .R 1xy2的取值范畴 2y-2x 的取值范畴解:1 令xy2k,就yk x2,是一条过 -2,0 dR d为圆心到直线的距离 ,R为半径 2令y-2xb , 即y2xb0, 也是直线 d d例求函数 y=x2 2+x8 2的值域；解：原函数可化简得：y= x-2 + x+8 上式可以看成数轴上点P（x）到定点 A（2）,B（-8 ）间的距离之和；由上图可知：当点P 在线段 AB上时,y= x-2 + x+8 = AB =10 当点 P 在线段 AB的延长线或反向延长线上时,y= x-2 + x+8 AB =10 4x5的值域x2 2 012第 6 页,共 22 页故所求函数的值域为：10 ,+）例求函数 y=x26x13+ 2 x解：原函数可变形为：y=x2 3 02 2 +名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上式可看成x 轴上的点 P（x,0）到两定点A（3,2）,B（-2 ,-1 ）的距离之和,由 图 可 知 当 点 P 为 线 段 与 x 轴 的 交 点 时 ,2 2y min = AB = 3 2 2 1 = 43 ,故所求函数的值域为 43 ,+）；2 2例求函数 y= x 6 x 13 -x 4 x 5 的值域2 2 2 2解：将函数变形为：y= x 3 0 2 - x 2 0 1上式可看成定点 A（3,2）到点 P（x,0 ）的距离与定点 B（-2 ,1）到点 P（x,0）的距离之差； 即：y= AP - BP由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线AB与 x 轴的交点时,如点P1,就构成ABP1,依据三角形两边之差小于第三边,有 AP1 - BP1 AB = 32 2 212= 26A,B 在 x即： -26 y26（ 2）当点 P恰好为直线AB与 x 轴的交点时,有 AP - BP = AB = 26 ；综上所述,可知函数的值域为：（-26 ,-26 ）；注：求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B 两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,就要使两点轴的同侧；9 、不等式法名师归纳总结 利用基本不等式a+b2ab ,a+b+c33abc（a,b,c R）,求函数的最值,其题型特点解析式第 7 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项和两边平方等技巧；例：x22 xx013133 者的乘积变成常数） =x21133x2xxxx 应用公式a+b+c3abc时,留意使x 3-2x0<x<1.5 =xx 3-2xxx+3-2x313者之和变成常数）3 应用公式abcabc3 时,应留意使3倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况例求函数 y=0x2的值域21220y1x3yx2x3x20 时,1xx21xy2x2x20 时, =0y1 2多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法；12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特殊是做大题时,肯定要留意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不 要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂名师归纳总结 如：fx1txexx,求f x .第 8 页,共 22 页令t1,就t0x21f t et2 1t21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x e x21x21x013. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数f x x1xxx00 0的反函数x2x（答：f1 1x1）x在更多时候, 反函数的求法只是在挑选题中显现,大便利；请看这个例题：这就为我们这些喜爱偷懒的人供应了2004.全国理 函数 y x 1 1 x 1 的反函数是（B ）Ay=x 22x+2x<1 By=x 22x+2 x1Cy= x 22x x<1 Dy=x 2 2x x1当然,心情好的同学,可以自己渐渐的运算,我想,一番心血之后,假如不显现运算问题的话,答案仍是可以做出来的；惋惜,这个不合我胃口,由于我一向懒散惯了,不习惯运算；下面请看一下我的思路：原函数定义域为 x=1,那反函数值域也为 y>=1. 排除选项 C,D.现在看值域；原函数至于为 y>=1, 就反函数定义域为 x>=1, 答案为 B.我题目已经做完了,似乎没有动笔（除非你拿来写 *书）；思路能不能明白呢？14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、 反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y）2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x）3、 反函数的图像和原函数关于直线 y=x 对称=x 对称（难怪点（ x,y）和点（ y,x）关于直线互为反函数的图象关于直线 yx 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；设yfx的定义域为A,值域为C,aA,bC,就fa = bf1 af1f a f1 a,f f1 f a b由反函数的性质,可以快速的解出许多比较麻烦的题目,如名师归纳总结 （ 04. 上 海 春 季 高 考 ） 已 知 函 数fx log342, 就 方 程f1 x 4的 解第 9 页,共 22 页xx_.1呵呵； 已知反函数的y,不就是原函数的x 吗？那对于这一类题目,其实方法特殊简洁,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 代进去阿, 答案是不是已经出来了呢？（也可能是告知你反函数的x 值,那方法也一样,呵呵；自己想想,不懂再问我15 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判定函数单调性的方法有三种：1 定义法：依据定义,设任意得x1,x 2,找出 fx1,fx2 之间的大小关系可以变形为求f x 1f x2的正负号或者f x 1与 1 的关系x 1x 2f x 22 参照图象：如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线 x a 对称,就函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间里具有相反的单调性； （特例：偶函数）3 利用单调函数的性质：函数 fx 与 fxcc 是常数 是同向变化的函数 fx 与 cfxc 是常数 ,当 c 0 时,它们是同向变化的；当 c0 时,它们是反向变化的；假如函数f1x ,f2x 同向变化,就函数f1xf2x 和它们同向变化； （函数相加）假如正值函数 f1x ,f2x 同向变化,就函数 f1xf2x 和它们同向变化；如果负值函数 f12 与 f2x 同向变化, 就函数 f1xf2x 和它们反向变化；（函数相乘）函数 fx 与 f 1 x在 fx 的同号区间里反向变化； 如 函 数 u x , x , 与 函 数 y Fu , u , 或u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x 是递增的；如函数 u x,x , 与函数 yFu ,u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数yF x 是递减的；（同增异减）如函数 yfx 是严格单调的, 就其反函数xf1y 也是严格单调的, 而且,它们的增减性相同；fgylog 1gx2 xfgxfx+gxfx*gx 都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减如：求x2的单调区间2名师归纳总结 （设ux22x,由u0就0x2第 10 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 且log 1u,ux121,如图：2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x1,2 时,u,又log1u,y2 ）16. 如何利用导数判定函数的单调性？在区间 a,b 内,如总有 f ' x 0 就 f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如 f ' x 0 呢？如：已知 a 0,函数 f x x 3ax 在 1,上是单调增函数,就 a 的最大值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3（令f ' x 3 x 2a 3 x a x a 03 3a a就 x 或 x3 3a由已知 f x 在 1, 上为增函数,就 1,即 a 33a 的最大值为 3）17. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）名师归纳总结 如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称第 11 页,共 22 页如函数图象关于y轴对称fxf x 总成立f x 为偶函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 留意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；求（2）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；f x 42x1,如：如f x a·2xa2为奇函数,就实数a2x1,1 时,（f x 为奇函数,xR,又0R,f 0即a·20a20,a1）021又如：f x 为定义在1,1 上的奇函数,当x0xf x 在1,1上的解析式；（令x1,0,就x0,1,fx42x1x又f x 为奇函数,f x 42x112xxx42xx1,0 又f 0,f x 44x11x0,1）2xx0x判定函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇 （偶）函数, 其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件.如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算f x,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性 .名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 这种方法可以做如下变形fx+f-x =0 fx-f-x=0 奇函数 偶函数偶函数奇函数fx f-x1 fx f-x1 三、复合函数奇偶性fggxfgxfx+gxfx*gx奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（T0）,在定义域内总有f xTf x ,就f x 为周期函数, T 是一个周期； ）如：如f xaf x ,就2a 为f x 的一个周期）（答：f x 是周期函数,T我们在做题的时候, 常常会遇到这样的情形：告知你 fx+fx+t=0, 我们要立刻反应过来,这时说这个函数周期2t. 推导：fxtfxt00fxfx2 ,fxfx2 同时可能也会遇到这种样子：fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x. 其实这都是说同样一个意思：函数fx 关于直线对称,对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到；比如,fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x 就都表示函数关于直线x=a 对称；又如：如f x 图象有两条对称轴xa,xb即f ax f ax,f bx f bx f x f2 ax f2ax f2 bx f x f2 bx 令t2 ax ,就2 bxt2 b2 , a f t f t2 b2 即f x f x2 b2 所以 函数f x 以2|ba|为周期 因不知道a b 的大小关系,为保守起见 我加了一个肯定值如：名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 19. 你把握常用的图象变换了吗？f x 与 f x 的图象关于 y 轴 对称 联想点（ x,y） ,-x,yf x 与 f x 的图象关于 x 轴 对称 联想点（ x,y ）,x,-yf x 与 f x 的图象关于 原点 对称 联想点（ x,y）,-x,-y1f x 与 f 的图象关于 直线 y x 对称 联想点（ x,y）,y,xf x 与 f 2 a x 的图象关于 直线 x a 对称 联想点（ x,y）,2a-x,yf x 与 f 2 a x 的图象关于 点 a,0 对称 联想点（ x,y）,2a-x,0将 y f x 图象 左移 a a 0 个单位 y f x a 右移 a a 0 个单位 y f x a 上移 b b 0 个单位 y f x a b下移 b b 0 个单位 y f x a b（这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我仍是写出来吧；对于这种题目,其实根本不用这么麻烦；你要判定函数 y-b=fx+a 怎么由 y=fx 得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标；了；）留意如下“ 翻折” 变换：看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹名师归纳总结 fx |fx 把 轴下方的图像翻到上面 | x第 14 页,共 22 页fx f |x 把 轴右方的图像翻到上面 | y如： f x log 2x1作出ylog2x1及ylog2x1的图象- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y y=log 2x O 1 x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k<0 yk>0 y=b O Oa,bx x=a （ ）一次函数：ykxkb k00k 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 bybxkak0是中心O a,（ ）反比例函数：yk推广为x的双曲线；名师归纳总结 （ ）二次函数yax2bxc a0a x2b24 aca2 b图象为抛物线第 15 页,共 22 页2 a4顶点坐标为b,4 acb2,对称轴xb2 a4 a2 a开口方向：a0,向上,函数ymin4 acab4a0,向下,ymax4acab24根的关系：xb2ax 1x 2b,x 1x 2c,|x 1x2|a|aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数的几种表达形式：f x ax2bxc 一般式轴f x a xm2n顶点式,（m, ）为顶点 nf x a xx 1xx 2x x2是方程的2个根）f x a xx 1xx 2h 函数经过点（x h x2, 应用：“ 三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bxc0,0时,两根x1、x2为二次函数yax2bxc 的图象与x的两个交点,也是二次不等式ax2bxc00 解集的端点值；求闭区间 m, n上的最值；区间在对称轴左边（nb）fm a xfm ,fm i nfn 2a区间在对称轴右边（mb）fm a xfn ,fm i nfm2a区间在对称轴2边 （nbm）2afm i n4acb2f ,m a xm a x f n , 4 a也可以比较m , n 和对称轴的关系, 距离越远,值越大 只争论a0 的情形）求区间定（动） ,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk2af k 0y a>0 O k x1x 2x 一根大于k,一根小于kf k 0名师归纳总结 - -