2022年高中数学坐标系与参数方程教案新人教A版选修.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 主干学问数学选修 4-4 坐标系与参数方程（老师版）一、坐标系 1平面直角坐标系的建立：在平面上 ,当取定两条相互垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了 平面直角坐标系；2空间直角坐标系的建立：在空间中 ,挑选两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了 空间直角坐标系；3极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 OX,同时确定一个单位长度和运算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向）,这样就建立了一个 极坐标系；（其中 O称为极点,射线 OX称为极轴；） 设 M 是平面上的任一点,表示 OM的长度,表示以射线 OX为始边,射线 OM为终边所成的角；那么有序数对 , 称为点 M的极坐标；其中 称为极径,称为极角；商定：极点的极坐标是 =0,可以取任意角；4直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的 O为极点, x 轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点 P的直角坐标极坐标分别为（x,y）和 , ,就x y2tan二、曲线的极坐标方程1 直 线 的 极 坐 标 方 程 ： 如 直 线 过 点M0,0, 且 极 轴 到 此 直 线 的 角 为, 就 它 的 方 程 为 ：sin0sin0几个特别位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点（2）直线过点 Ma,0 且垂直于极轴（3）直线过M b ,2且平行于极轴图：方程：2圆的极坐标方程：0如圆心为M0,0,半径为 r 的圆方程为：220cos02r20几个特别位置的圆的极坐标方程名师归纳总结 （1）当圆心位于极点（2）当圆心位于M r ,0（3）当圆心位于M r ,2第 1 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图：方程：3直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化利用：x2ytan三、参数方程 1参数方程的意义在平面直角坐标系中,如曲线C上的点P x y 满意xf t ,该方程叫曲线C的参数方程,变量t 是参变yf t 数,简称 参数 2参数方程与一般方程的互化（1）参数方程化为一般方程 常见参数方程化为一般方程,并说明它们各表示什么曲线：x yacos（为参数）；xx 0at t为参数）bsinyy 0bt（3）xsin0,2（4）xat1（t 为参数）2ty2 cos（5）ybt1 t2xarcos（为参数）ybrsin参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为一般方程,不要忘了参数的范畴！（2）一般方程化为参数方程 常见化一般方程为参数方程,1、圆xa2yb2r2的参数方程；2、经过点 Px0,y 0倾斜角为的参数方程3、椭圆x2y21 ab0的参数方程；a2b24、抛物线y22px p0一般方程化为参数方程需要引入参数,挑选的参数不同,所得的参数方程也不一样；二、考点阐述考点 1、极坐标与直角坐标互化例题 1、在极坐标中,求两点2P ,24,Q 2 ,4之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程；,就曲线练习 1.1 、已知曲线C 1,C的极坐标方程分别为cos3 ,4cos0 0,2名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - C 与C 交点的极坐标为【 解 析 】 我 们 通 过 联 立 解 方 程 组cos 34cos2 30,02解 得6, 即 两 曲 线 的 交 点 为23,6；1,就圆心 C的极坐标为 _ 0, 02 12. （宁夏 09）已知圆 C：x12y32答案：（2,2）3,求出以 C为圆心,半径r=2 的圆的极坐标方程（写练习 1.2 （2022 丹东）（1）已知点 c 极坐标为 2,3出解题过程） ；（ 2）P 是以原点为圆心,r=2 的圆上的任意一点,Q6,0 ,M是 PQ中点,当点P 在圆上运动时,求点M的轨迹的参数方程；解：1（ ）如下列图,设 M 为圆上一点,M , ,2就 MOC 或,由余弦定理得 4 4 cos 43 3 3极坐标方程为 = 4cos ；3x 2cos（ 2）依题意 o 的参数方程为 设 M（ , , 点 （2cos ,2sin .y=2sinM 为 PQ 中点,Q（ ,）,M 的参数方程为x 6 2sin2 即 x 3 cosy 2sin y=sin2考点 2、极坐标与直角坐标方程互化名师归纳总结 - - - - - - -例题 2、福建省龙岩市2022 年已知曲线 C 的极坐标方程是4sin以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是x2t2t t为 参数）,点 P 是曲线 C 上的动点,2点 Q 是直线 l 上的动点,求 | PQ | 的最小值y42解：曲线 C 的极坐标方程4sin可化为24sin, 其直角坐标方程为x2y24y0,即x2y224. （ 3分）第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直线 l 的方程为xy40. 所以,圆心到直线l 的距离d2243 22 1 （6分）所以, PQ 的最小值为 3 22 . （10分）y21的一个交点为P ,点 M 为线段 OP练习 2.1 、（沈阳二中 2022）设过原点 O的直线与圆 C ：x的中点；1 求圆 C的极坐标方程；2 求点 M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线解：圆x2 1y21的极坐标方程为2cos 4 分,0,半径为1 2的圆 10 分设点 P 的极坐标为1,1 ,点 M 的极坐标为 , ,点 M 为线段 OP 的中点,12,1 7 分将12,1代入圆的极坐标方程,得cos点 M 轨迹的极坐标方程为cos,它表示圆心在点12练习 2.2 考点 3、参数方程与直角坐标方程互化名师归纳总结 例题 3：（2022 学年海南省）已知曲线C 的参数方程为x210cos（为参数）,曲线C 的极坐y10sin标方程为2cos6sin第 4 页,共 12 页（ 1）将曲线C 的参数方程化为一般方程,将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ 2）曲线C ,C 是否相交,如相交恳求出公共弦的长,如不相交,请说明理由解：（ 1）由x210cos得y10sinx22y210曲线C 的一般方程为x22y2102cos6sin22cos6sin2x2y2,xcos,ysin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2y22x6y,即x1 2y3 210曲线 C 的直角坐标方程为2 2 x 1 y 3 10 （分）（2）圆 C 的圆心为 2 , 0 ,圆 C 的圆心为 ,1 3 C 1C 2 2 1 2 0 3 2 3 2 2 10两圆相交设相交弦长为 d ,由于两圆半径相等,所以公共弦平分线段. C C2 d 223222102d22公共弦长为22 （10 分）练习 3.1 （本小题满分10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C：x1322cos为参数, 0<2 ,ysin（）将曲线化为一般方程；（）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程（）x2y223x2y0 5分,C2'的参（）23cossin 10 分练习 3.2 （08 海南）已知曲线C1：xcos为参数,曲线 C2：x2t2 t为参数 ；2ysinyt22（ 1）指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明C1 与 C2公共点的个数；（ 2）如把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原先的一半,分别得到曲线C 1',C2'；写出C 1'数方程；C 1'与C 2'公共点的个数和C1与 C2公共点的个数是否相同？说明你的理由；考点 4：利用参数方程求值域例题 4、（ 2022 年宁夏）在曲线C ：xy1cos为参数）上求一点, 使它到直线C ：x12 21 t2 t为参数 ）的距离siny1 2t最小,并求出该点坐标和最小距离；名师归纳总结 解：直线C2 化成一般方程是x+y-22 -1=0 2 分第 5 页,共 12 页设所求的点为P（ 1+cos,sin, 3 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就 C到直线 C2 的距离 d=|1cossin221| 5 分2 =|sin+4+2| 7 分tCBD当43时,即5 = 4时, d 取最小值 1 9 分2此时,点P的坐标是（ 1-2 ,-22 ） 210 分练习 4.1 （09厦门） 在 平面直角 坐标系xOy中,动圆x2+y2-8c o s-6s i +n27+的 圆 心 为P x,0y, 求2x-y的取值范畴 . 【解】由题设得ì .í. .x=4cos ,（ q为参数,Ay=3sinqEOq.R）. 3 分F10 分于是2xy8cos3sin73 cos, 6 分 所以732xy73. 2,（ t 为练习 4.2 （宁夏 09）（本小题满分10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是2sin,设直线 L 的参数方程是x435yt5参数）（）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；MN的最大值 . （）设直线L 与 x 轴的交点是 M , N 曲线 C 上一动点,求答案：（本小题满分10 分）解：（1）曲线 C 的极坐标方程可化为：22siny22,xcos,ysin. 又x2所以,曲线 C 的直角坐标方程为：名师归纳总结 x2y22y0. y4 x 32第 6 页,共 12 页（ 2）将直线 L 的参数方程化为直角坐标方程得：令y0得x2即 M 点的坐标为2 0, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 0 1, ,半径r1,就MC5r51MNMC考点 5：直线参数方程中的参数的几何意义例题 5：2022 年泉州已知直线 l 经过点P 1,1, 倾斜角6,写出直线 l 的参数方程 ; 解设 l 与圆x2y24相交与两点A B ,求点 P 到A B 两点的距离之积. 分（1）直线的参数方程为x1tcos6,即x13t 32y1tsin6y11 2t（ 2）把直线x13t代入x2y24,2y11 2t分得13t211t24,t2 31 t20,t t 1 22, 622就点 P 到A B 两点的距离之积为2 10分练习 5.1 抚顺一中 2022求直线x114tt（ 为参数）被曲线2 cos4所截的弦长 .21分 7.5y35解：将方程x114tt,2cos4分别化为一般方程：5y353 x4y10,x2y2xy0,-51圆心C（1,1）,半径为2圆心到直线的距离d1,弦长 2 r2d22221021005-10分练习 5.2 大连市 2022名师归纳总结 已知直线l是过点 P,12,倾斜角为2的直线. 圆方程2cos3.第 7 页,共 12 页3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ I ）求直线 l 的参数方程；（ II ）设直线 l 与圆相交于 M、N两点,求 |PM| ·|PN| 的值；2x 1 t cos ,解：（） l 的参数方程为 3 t 为参数 ,y 2 t sin 2 .31x 1 t ,即 2 t 为参数 ； 5 分y 2 3 t .2cos x ,（）由sin y .2 2可将 2cos ,化简得 x y x 3 y 0；3将直线 l 的参数方程代入圆方程得 t 23 2 3 t 6 2 3 0.t t 1 2 6 2 3,| PM | | PN | | t t 1 2 | 6 2 3； 10分x 1 2 t练习 5.3 （宁夏 09）如直线的参数方程为（t 为参数）,就直线的斜率为（）y 2 3 tA3 B2 C3 D22 3 2 3答案：（C ）3、（宁夏 09）极坐标方程 =cos 和 =sin 的两个圆的圆心距是（）A 2 B2 C 1 D22答案：（ D ）一、挑选题名师归纳总结 1如直线的参数方程为x12 t t 为参数3 t,就直线的斜率为（x）y1第 8 页,共 12 页y2A2 3 B2 C3 2 D3322以下在曲线xsin 2sin为参数上的点是（）ycosA1 2,2 B3 1 ,4 2 C 2,3 D 1, 33将参数方程x2sin2为参数化为一般方程为（）ysin220Ayx2 B yx2 C yx22x3 D y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4化极坐标方程2 cos0 为直角坐标方程为（）Ax2y20或y1 B x1 C x2y20 或 x1 D y1,5点 M 的直角坐标是 1, 3 ,就点 M 的极坐标为（）A 2, B 2,36极坐标方程 cos3 C 2, 2 D 2,23表示的曲线为（k）3,kZ2sin 2A一条射线和一个圆 B 两条直线 C 一条直线和一个圆 D 一个圆7圆5cos5 3 sin的圆心坐标是（）A 5,4 B 5,3 C 5,3 D 5,533二、填空题8直线x34t t为参数的斜率为 _ ；y45t9参数方程xt et eettt 为参数的一般方程为 _ ；y2e10已知直线l 1:x1 3 t t为参数与直线l2: 2x4y5相交于点 B ,又点A1,2y24 t就 AB_；11直线x211ttt为参数被圆x2y24截得的弦长为 _；2y1212直线xcosysin0的极坐标方程为_；13极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为_；三、解答题2 21已知点 P x y 是圆 x y 2 y 上的动点,（1）求 2x y 的取值范畴；（2）如 x y a 0 恒成立,求实数 a 的取值范畴；2求直线l1:x1t3 tt为参数 和直线 l2:xy2 30的交点 P 的坐标,及点Py5名师归纳总结 与Q1, 5的距离；第 9 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3在椭圆x2y21上找一点,使这一点到直线x2y120的距离的最小值；16124、（宁夏 09）已知椭圆 C的极坐标方程为R 23cos2124sin2,点 F1,F2为其左,右焦点,直线l 的参数方程为x22t t 为参数,t2y2t2（ 1）求直线 l 和曲线 C的一般方程；（ 2）求点 F1,F2 到直线 l 的距离之和 . 数学选修 4-4 坐标系与参数方程一、挑选题1D ky23 t30,3时,y11sinx12t22B 转化为一般方程：y21x ,当x423C 转化为一般方程：yx2,但是x2,3,y0,14C cos10,2 xy2或cosx5C 2, 2k2,kZ 都是极坐标4sin,即2436C cos4sincos ,cos0,或就k2,或x2y24y二、填空题名师归纳总结 15 4y2ky45 t5yet得txyt 2 e,0xyxy 245第 10 页,共 12 页x34 t42x21,x2xt e2y416t eetxy2 et22235 2将x13 t代入 2x451,就B5,而A1,2,得ABy24 t222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 414直线为xy10,圆心到直线的距离d12,弦长的一半为2222 14,222252得弦长为14cossinsin0,cos0 ,取2cos三、解答题名师归纳总结 1解：（1）设圆的参数方程为xcos,3 分第 11 页,共 12 页y1sin2xy2cossin15 sin1512xy51（ 2）xyacossin1a0acossin12 sin41a212解：将x15t3 t代入xy2 30得t2 3,y得P 12 3,1,而Q1, 5,得PQ232624 33解：设椭圆的参数方程为x4cos,d4cos4 3sin125y2 3 sin4 5cos3sin34 52cos3355当 cos31时,dmin4 5,此时所求点为2,3 ；54 解 : （）直线 l 一般方程为yx2； 曲线 C 的一般方程为x2y21 6 分437 分（）F 1 1,0,F 21,0, 点F 到直线 l 的距离d 11023 2 , 2 8 分2点F 到直线 l 的距离d 21022 , 2 9 分2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - d 1d 22 2. 10 分名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页