2022年高中数学知识要点之曲线与方程,圆的方程.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思曲线与方程、圆的方程江苏 郑邦锁1曲线 C 的方程为 :fx,y =0 曲线 C 上任意一点 P（x 0,y0）的坐标满意方程 fx,y=0 ,即f（x0,y 0）=0；且以 fx,y =0 的任意一组解（x 0,y0）为坐标的点 P（x0,y0）在曲线 C 上；依据该定义： 已知点在曲线上即知点的坐标满意曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满意曲线方程；求动点 Px,y 的轨迹方程即求点 P 的坐标 x,y 满意的方程（等式） ；求动点轨迹方程的步骤：建系, 写（设） 出相关点的坐标、线的方程, 动点坐标一般设为 x,y ,分析动点满意的条件,并用等式描述这些条件,化简,验证：满意条件的点的坐标都是方程的解,且以方程的解为坐标的点都满意条件； 举例 1方程xy1x2y240所表示的曲线是：（D ）A B C 解析：原方程等价于：xy10,或x2y24；,此时它表示直2 xy24其中当xy10需x2y24有意义, 等式才成立,即x2y24线xy10上不在圆x2y24内的部分,这是极易出错的一个环节；选D；举例 2 已知点 A（ 1,0）,B（2,0）,动点 M满意 2MAB=MBA,求点 M的轨迹方程；名师归纳总结 解析：如何表达动点M满意的条件2 MAB=MBA A O y M x 第 1 页,共 6 页是解决此题的关键；用动点M的坐标表达2MAB=MBA 的正确载体是直线MA、MB的斜率；设 M（x,y）, MAB= ,就 MBA=2 ,它们是直线B MA、 MB的倾角仍是倾角的补角,与点M在 x 轴的上方仍是下方有关；以下争论：如点 M在 x 轴的上方 , 00,900,y0,此时,直线MA的倾角为,MB的倾角为-2,tankMAxy, 1tan2xy, 2（20 90 ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思tan2tan2,xy212xxyy212,1得：x2y21,MAMB,x1, 此时点 M的坐标为 2,3,它满意上述3当 20 90 时, =450,MAB 为等腰直角三角形方程当点 M在 x 轴的下方时 , y ,同理可得点M的轨迹方程为x2y21 x1 , 3当点 M在线段 AB上时 , 也满意 2MAB=MBA,此时 y=0-1 综上所求点的轨迹方程为x2y21 x1或y01x23巩固 1右图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分,就它的方程是2 2A（x 1 y）· （y 1 x）=0 B（x 1 y 2）· （y 1 x 2）=0 C（x 1 y 2）· （y 1 x 2）=0 D（x 1 y 2）· （y 1 x 2）=0 巩固 2已知点 R（- 3,0）,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满意 RP·PM =0 ,2 PM +3 MQ =0 ,当点 P 移动时,求 M点的轨迹方程；迁移 正方体 ABCD - A 1B 1C1D1的棱长为 1,点 M 是棱 AB 的中点, 点 P 是平面 ABCD 上的名师归纳总结 一动点,且点P 到直线 A 1D1 的距离两倍的平方比到点M 的距离的平方大4,就点 P 的轨迹第 2 页,共 6 页为：A圆B椭圆C双曲线D抛物线2圆的标准方程刻画了圆的位置特点（圆心与半径） ,圆的一般方程反映了圆的代数特点（二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0A=B 0,C=0, 且 D2+E2-4AF>0 ）；判定点 P（x0,y0）与M：x-a2+y-b2= r2 的位置关系, 用|PM| 与 r 的大小,即：|PM|> rx 0- a 2+y 0- b2> r2P在M 外； |PM|< rx 0- a 2+y 0- b2< r 2P 在M 内； |PM| =rx0- a2+y 0- b2= r2P在M 上；过两个定点A、B 的圆 ,圆心在线段AB 的中垂线上； 举例 1 一圆经过 A（4,2）,B（-1 ,3）两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2,就圆的方程为；解析：争论圆在坐标轴上的截距,宜用一般方程（由于与圆心、半径没有直接联系）,设圆- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思的方程为 x2+y 2+Dx+Ey+F=0,圆过点 A、B, 4D+2E+F+20=0 , -D+3E+F+10=0 ,圆在 x 轴上的截距即圆与 x 轴交点的横坐标,当 y=0 时, x 2+Dx+F=0,x 1+x2=-D 圆在 y 轴上的截距即圆与 y 轴交点的纵坐标,当 x=0 时, y 2+Ey+F=0,y 1+y2=-E 由题意知： -D-E=2 ,解得 D=-2,E=0,F=-12 ； 举例 2 如存在实数 k 使得直线 l ：kx-y-k+2=0 与圆 C：x 2+2ax+y 2-a+2=0 无公共点,就实数a 的取值范畴是：；解析：此题看似直线远的位置关系问题,其实不然；留意到直线 l 对任意的实数 k 恒过定点M（1,2）,要存在实数 k 使得直线 l 与 C相离,当且仅当 M点在圆外； 方程 x 2+2ax+y 2-a+2=0 变形为： x+a 2+y 2= a 2+a- 2, M 点在 C外 1+a 2+4>a 2+a- 2>0,解得： -7<a<-2 或 a>1. 注：此题中 a 2+a- 2>0 是极易疏漏的一个潜在要求； 巩固 1 过点 A（3,-2 ）, B（2,1）且圆心在直线 x-2y-3=0 上的圆的方程是； 巩固 2 已知定点 Mx0,y 0 在第一象限, 过 M点的两圆与坐标轴相切,它们的半径分别为 r 1,r2, 就 r1r2= ； 迁移 关于曲线 C x 4 y 2 1 给出以下说法： 关于直线 y 0 对称；关于直线 x 0 对称；关于点 0,0 对称；关于直线 y x 对称；是封闭图形,面积小于；是封闭图形,面积大于；就其中正确说法的序号是3涉及直线与圆的位置关系的问题,宜用圆心到直线的距离d 来争论； d = r （ r 为圆的半名师归纳总结 径）直线与圆相切； 过圆 x2+y2=r2 上一点 Mx 0,y0的切线方程为x 0x+y 0y=r2；过圆 x2+y2=r2第 3 页,共 6 页外一点 Mx 0,y0作圆的两条切线,就两切点A、B 连线的直线方程为x0x+y 0y=r2；过A 外一点 P 作圆的切线PQ （Q 为切点）,就 |PQ| =|PA2|r2； d < r直线与圆相交,弦长|AB| =2r2d2;过直线 A x +By+C=0 与圆：x2y2DxEyF=0 的交点的圆系方程：x2y2DxEyF+（A x +B y +C ）=0 ； d > r直线与圆相离 ,圆周上的点到直线距离的最小值为d - r ,最大值为 d + r ； 举例 1从直线 x- y+3=0 上的点向圆x2 2y2 21引切线,就切线长的最小值是A.322B.14C.342D. 32-1 22解析：圆x2 2y2 21的圆心 A（- 2,- 2）,直线 x- y+3=0 上任一点 P,过引圆的切线 PQ（Q为切点）,就 |PQ| =|PA2 |1,当且仅当 |PA| 最小时 |PQ| 最小,易见 |PA| 的最小值即 A 到直线 x- y+3=0 的距离,为322,此时 |PQ|=14 ,选 B；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思举例 2 能够使得圆2 xy22 x4y10上恰有两个点到直线2xyc0距离等于1 的 c的一个值为： A 2 5 C3 D 3 5解析： 此题假如设圆上一点的坐标,用点到直线的距离公式得到一个方程,进而争论方程解的个数,将是特别麻烦的；留意到圆心M （1,- 2）,半径 r =2,结合图形简单知道,当且名师归纳总结 仅当 M到直线 l ： 2xyc0的距离 d （ 1,3）时, M上恰有两个点到直线l 的距离第 4 页,共 6 页等于 1,由 d =| c|（ 1,3）得：c35,553,5 ,选 C；5巩固 1 如直线 1+ax+y+1=0 与圆 x 2+y22x=0 相切,就 a 的值为（）（A ）1, 1（B）2, 2（C）1（D） 1 巩固 2直线 l1：y=kx +1 与圆 C：x 2+y2+2kx+2my=0的两个交点A、B 关于直线l2：x+y=0对称,就CACB= ；迁移 实数 x,y 满意x2y22x2y10,就y4的取值范畴为（）x2A 4,B0,4C,4D4,033334判定两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、差的大小； M、N 的半径分别为1r 、2r ,|MN|>1r +2r外离, |MN| =1r +2r外切, |1r -2r |<|MN|<1r +2r相交,此时,如 M：x2y2D 1xE 1yF 10,N：x2y2D2xE2yF20,过两圆交点的圆 （系）的方程为：x2y2D 1xE 1yF 1+（x2y2D2xE2yF 2）=0（N 除外）；特殊地： 当= -1 时,该方程表示两圆的公共弦；连心线垂直平分公共弦；|MN| =|1r -2r |内切, |MN| <|1r -2r |内含；举例 1已知两圆 O1：x2+y2=16,O2：x-12+y+22=9,两圆公共弦交直线O1O2于 M 点,就O1分有向线段MO 2 所成的比 = （）A6B5C-6D-55656解析：直线O1 O2：y= - 2x,两圆公共弦：x-2y=6 ,于是有： M （6 ,512）,有定比分点5坐标公式不难得到 的值,选 C； 举例 2 如Ax ,y|x2y216 ,Bx ,y|x2y2 2a1且ABB ,就 a 的取值范畴是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思Aa1 B a5 C 1a5 Da5解析：集合 A、B 分别表示两个圆面（a=1 时集 B 表示一个点） ,AB=B B A,即两圆内含；有两圆圆心分别为原点和（0,2）,半径分别为 4 和 a 1,于是有： 24-a 1 ,解得：1 a 5,选 C；2 2 2 2巩固 1 圆心在直线 x y 4 0 上 , 且经过两圆 x y 4 x 3 0 , x y 4 y 3 0的交点的圆的方程为（）Ax 2 y 2 6 x 2 y 3 0 Bx 2 y 2 6 x 2 y 3 0Cx 2 y 2 6 x 2 y 3 0 Dx 2 y 2 6 x 2 y 3 0巩固 2如圆 xa 2+y b 2=6 始终平分圆 x 2+y 2+2x+2y 3=0 的周长,就动点 Ma,b的轨迹A.a 2+b 22a2b+1=0 B.a 2+b 2+2a+2b+1=0C.a 2+b 22a+2b+1=0 D.a 2+b 2+2a 2b+1=0 2 2迁移 与圆 x + y 2 x =0 外切且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为；5. 圆的参数方程的本质是 sin 2+ cos 2=1；参数方程的重要用途是设圆上一点的坐标时,可以削减一个变量,或者说坐标本身就已经表达出点在圆上的特点了,而无需再借助圆的方程来表达横纵坐标之间的关系；名师归纳总结 举例 已知圆x2y121上任意一点Px、y都使不等式x+y+m0 成立,就 m 的取值第 5 页,共 6 页范畴是： A .2,1B , 0C 2 , D 12,（）解析：不等式x+y+m0 恒成立m- （x+y ）恒成立,以下求- （x+y）的最大值：记 x= cos、y=1+ sin,- （x+y）= - cos+1+ sin= - 1-2 sin+4- 1+2 , 选 A；巩固 1 f2sin的最大值为；cos巩固 2在 ABC 中,已知cosBa3,c=10,P 是 ABC 的内切圆上一点,就 PA2+PB2cosAb4+PC2 的最大值为迁移 动点 P,Q 坐标分别为 pcos,sin,Q3sin,1cos,（是参数）,就|PQ|的最大值与最小值的和为答案1巩固 1 D, 巩固 2y2=4x x>0, 迁移 在平面 ABCD 上建立平面直角坐标系,选C；2、 巩固 1 x-12+y+12= 5, 巩固 2 点 M在第一象限, 过点 M与两坐标轴相切的圆的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思方程可设为： x- r2+y- r2= r2 , 圆过 Mx0,y0 点, x 0- r 2+y0-r2= r2,整理得：r 2-2x 0+y0r+ x 0 2+y0 2=0, 由题意知 r 1,r 2为该方程的两根,故 r 1r 2= x 0 2+y0 2； 迁移 在曲线 C上任取一点 Mx0,y0 ,x 0 4+y0 2=1, |x 0| 1, x0 4x 0 2, x0 2+y0 2 x0 4+y0 2=1,即点 M 在圆x 2+y 2=1 外,选；3、巩固 1D ,巩固 2-1 , 迁移 A； 4、巩固 1A ,巩固 2圆 x 2+y 2+2x+2y3=0 的圆心 A（ - 1,- 1）,半径为 5 , M 始终平分 A 的周长即两圆的公共弦是A 的直径, A 在直线： 2a+1+2b+1y-a 2+b 2+3=0 上,将 a 点坐标代入即得,选 B；迁移 y 2 4 x x 0 和 y 0 x 0 ,5、巩固 11, 巩固 2易知 ABC为直角三角形,a=6,b=8,c=10, 就内切圆半径 r=2,以 C 为原点建系,设 P2cos ,2sin , PA 2+PB 2+PC 2=80-8sin ,最大值为 88, 迁移 |PQ|的最大、最小值分别为 10 2,和为2 10,注：题中参数 是同一个,因此点 P,Q 是相互有关联的,不是分别在两上圆上的任意点因此借助图形去直观地求解很简单出错；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页