2022年高中数学三角函数知识点及试题总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点高考三角函数1. 特殊角的三角函数值：sin0 0 = 0 sin30 0 =13sin0 45 =2,sin60 0 =30sin90 0 =1 036002cos0 0 = 1 cos30 0 =22cos90 0 =0 cos60 0 =1tan0 0 = 0 cos0 45 =2tan900无 意 义222tan60 0 =3tan30 0 =3tan0 45 =1 ,180027030 1 8 02角度制与弧度制的互化：36002003004506009001200135015020 2353643234623.弧长及扇形面积公式弧长公式：l. r扇形面积公式 :S=1l.r2-是圆心角且为弧度制；r- 是扇形半径4.任意角的三角函数设是一个任意角,它的终边上一点p（x,y）, r=x2y2=y1正弦 sin=y余弦 cos =x正切 tanrrx2各象限的符号：名师归纳总结 +y + x y + x y 第 1 页,共 19 页+ O + + cos2sinO + O sincostan- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系： sin 2 + cos 2 =1；（2）商数关系：sin =tancos（k , k z）26.诱导公式： 记忆口诀：把 k的三角函数化为 的三角函数,概括为：奇变偶不变,符号2看象限；1 sin 2ksin, cos 2kcoscos, tan 2 ktantank2 sinsin, coscos, tan3 sinsin, cos, tantan4 sinsin, coscos, tantan口诀：函数名称不变,符号看象限5 sin2cos, cos2sin6 sin2cos, cos2sin口诀：正弦与余弦互换,符号看象限7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8、三角函数公式：名师总结优秀学问点倍角公式名师归纳总结 两角和与差的三角函数关系sin2=2sin·cos第 3 页,共 19 页sin=sin·coscos ·sincos2 =cos 2-sin2cos=cos · cossin·sin=2cos 2-1 tan1tantan=1-2sin2tantantan212tan2tan降幂公式：升幂公式：1+cos =2cos22cos 21cos 221-cos =2sin22sin 21cos 229正弦定理：aAbBcC2R. sinsinsin余弦定理：a2b2c22bccosA; b2c2a22cacosB ; 2 ca2b22abcosC . 三角形面积定理 .S1absinC1bcsinA1casinB . 2221直角三角形中各元素间的关系：如图,在ABC 中, C90° , ABc,ACb,BC a；（1）三边之间的关系：a 2b 2c 2；（勾股定理）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）锐角之间的关系：名师总结优秀学问点AB90° ；（3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sinAcosBa , cosAsinBcb , tanAca ；b2斜三角形中各元素间的关系：在 ABC 中, A、B、C 为其内角, a、b、 c 分别表示 A、B、C 的对边；（1）三角形内角和：ABC ；（ 2）正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等abcC2R；sin A sin B sin（R 为外接圆半径）（ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2c2a 22cacosB；c2a2b22abcosC；a 2b 2c 22bccosA；b3三角形的面积公式：（1） 1aha1bhb1chc（ ha、hb、hc分别表示 a、b、c 上的高）；2 2 21 1 1（2） absinCbcsinAacsinB；2 2 22 2 2（3） a sin B sin Cb sin C sin Ac sin A sin B；2 sin B C 2 sin C A 2 sin A B （4） 2R 2sinAsinBsinC；（R 为外接圆半径）（5） abc；4 R（6） s s a s b s c ；s 1 a b c ；2（7） r·s；4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边） 求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地, 这里所说的元素仍可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：如给出的三角形是直角三角形,就称为解直角三角形；如给出的三角形是斜三角形,就称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设 ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C；（1）角与角关系：A+B+C = ；（2）边与边关系：a + b > c, b + c > a,c + a > b,ab < c,bc < a,ca > b；（3）边与角关系：正弦定理 a b c 2 R（R 为外接圆半径） ；s i n A s i n B s i n C余弦定理 c 2 = a 2+b 22bccosC,b 2 = a 2+c 22accosB,a 2 = b 2+c 22bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA,sin A a,cos A b 2 c 2 a 2；sin B b 2 bc5三角形中的三角变换三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,仍要留意三角形自身的特点；（1）角的变换由于在 ABC 中, A+B+C= ,所以 sinA+B=sinC ；cosA+B= cosC；tanA+B= 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - tanC；sinA2BcosC,cosA2名师总结C优秀学问点Bsin；22（2）三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理；r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半；（3）在 ABC 中,熟记并会证明：A , B, C 成等差数列的充分必要条件是B=60 ° ； ABC 是正三角形的充分必要条件是A , B, C 成等差数列且a,b,c 成等比数列；四【典例解析】题型 1：正、余弦定理（2022 岳阳一中第四次月考）.已知ABC 中, ABa ,ACb ,a b0,SABC15 4,a3,b5,就BAC（）0 1 ,边A. 30B 150C1500D 30 或1500答案C 42.9cm,解三角形；例 1（1）在ABC 中,已知A0 32.0,B0 81.8,a（2）在ABC 中,已知a20cm,b28cm,A400,解三角形（角度精确到长精确到 1cm）；例 2（1）在ABC中,已知a2 3,c62,B600,求 b 及 A；（2）在ABC中,已知a134.6 cm ,b87.8 cm ,c161.7 cm ,解三角形解析：（ 1）b2a22 c2 accosB=2 32 6222 2 3 62 cos450=12 6224 3 3 1=8b2 2.求 A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理：解法一： cosAb2c2a22 22 62 22 321, 2A0 60 .2 bc2 2 2 62（2）由余弦定理的推论得：名师归纳总结 cosAb2c2a287.82161.72134.620.5543,第 5 页,共 19 页2 bc2 87.8 161.7A0 56 20；b2134.62161.7287.820.8398,Bc2a2cos2 ca2 134.6 161.7B0 32 53；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C1800A0 B 1800 56 20名师总结优秀学问点0 32 530 90 47.例 3在ABC 中, sinAcosA2, AC2 , AB3,求tanA的值和ABC2的面积；名师归纳总结 sinAcosA2cos A452,第 6 页,共 19 页2cos A451.2又 0A180, A4560 ,A105.tanAtan4560 1323, 13sinAsin 105sin 4560sin45cos 60cos 45sin 60246.SABC1ACABsinA123246326 ；224例 4（2022 湖南卷文）在锐角ABC中,BC1,B2 , A 就AC的值等于cosAAC 的取值范畴为. 答案22,3解析设A,B2 .由正弦定理得ACBC,AC1AC2.sin 2sin2coscos3 2,由锐角ABC得 0290045 ,又 01803903060 ,故30452cos2AC2cos2,3.a b c ,例 5（2022 浙江理）（此题满分14 分）在ABC中,角A B C 所对的边分别为且满意cosA2 5,AB AC325- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （I）求ABC 的面积；名师总结c优秀学问点（II ）如b6,求 a 的值名师归纳总结 解（1）由于cosA2 5,cosA2cos2A13,sinA4,又由AB AC3第 7 页,共 19 页25255得bccosA3,bc5,SABC1bcsinA22（2）对于bc5,又bc6,b5,c1或b1,c5,由余弦定理得a2b2c22bccosA20,a2 5例 6（2022 全国卷理）在ABC中,内角 A 、B、C 的对边长分别为a 、 b 、 c ,已知a2c22b ,且 sinAcosC3cosAsinC,求 b解法一：在ABC 中sinAcosC3cosAsinC 就由正弦定理及余弦定理有 :aa22 bc23b22 ca2c,化简并整理得：2a2c22 b .又由已知2ab2bca2c22b4b2 b .解得b4 或b0舍）.例 7ABC的三个内角为A、 、C,求当 A 为何值时, cosA2cosB2C取得最大值,并求出这个最大值；解析：由 A+B+C= ,得B+C 2 =A 2,所以有 cosB+C=sinA 2；2cosA+2cosB+C=cosA+2sinA 2 =12sin2A 2 + 2sinA 2=2sinA 21 2 2+ 3 2；2当 sinA 2 = 1 2,即 A= 3时, cosA+2cosB+C 2取得最大值为 3 2；例 8（2022 浙江文）（此题满分14 分）在ABC中,角A B C 所对的边分别为a b c ,且满意cosA2 5,AB AC325（ I）求ABC 的面积；（II ）如c1,求 a 的值解（）cosA2cos2 A1225521352又A0 ,sinA1cos2 A4 5,而AB.ACAB.AC.cosA3bc3,所5以bc5,所以ABC 的面积为：1bcsinA1542225（）由（）知bc5,而c1,所以b5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以ab2c22 bccosA名师总结1优秀学问点252523例 9在 ABC 中, a、b、c 分别是 A、 B、 C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列,且 a 2c 2=acbc,求 A 的大小及 b sin B 的值；ca、b、c 成等比数列,b 2=ac；又 a 2c 2=acbc, b 2+c 2a 2=bc；2 2 2在 ABC 中,由余弦定理得：cosA= b c a= bc= 1 , A=60° ；2 bc 2 bc 2在 ABC 中,由正弦定理得 sinB= bsin A, b 2=ac, A=60° ,ab sin B b 2 sin 60=sin60° = 3 ；c ac 2例 10在 ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列, 求 tan A tan C 3 tan A tan C2 2 2 2的值；解析：由于 A、B、C 成等差数列,又 A BC180° ,所以 AC120° ,从而 A C 60° ,故 tan A C 3 .由两角和的正切公式,2 2tan A tan C得 2 2 3；1 tan A tan C2 2所以 tan A tan C 3 3 tan A tan C ,2 2 2 2tan A tan C 3 tan A tan C 3；2 2 2 2例 11在 ABC 中,如 2cosBsinAsinC,就 ABC 的外形肯定是（）A. 等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案： C 解析： 2sinAcosBsin（ AB） sin（AB）又 2sinAcosBsinC,sin（AB） 0, AB名师归纳总结 例 12（2022 四川卷文）在ABC 中,A、B为锐角,角 A、 、C所对的边分别为a、 、c,第 8 页,共 19 页且sinA5,sinB10510（ I）求 AB的值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ II）如ab21名师总结优秀学问点,求 a、 、 的值；名师归纳总结 解（ I） A、B为锐角,sinA5,sinB10102.a、 、c,第 9 页,共 19 页510cosA1sin2A2 5,cosB1sin2B3 10510cosABcosAcosBsinAsinB2 53 1055105102 0ABAB4（II ）由（ I）知C3,sinC242由aAbBc得sinsinsinC所对的边分别为5a10b2c ,即a2 , b c5 b又ab212 bb21b1a2 , c521.（2022 四川卷文）在ABC 中, A、B为锐角,角 A、 、C且sinA5,sinB10510102.（ I）求 AB 的值；（ II）如ab21,求 a、 、 的值；解（ I） A、B为锐角,sinA5,sinB10510cosA1sin2A2 5,cosB1sin2B3 10510cosABcosAcosBsinAsinB2 53 1055105102- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0AB名师总结优秀学问点AB4sinC2（II ）由（ I）知C3,42由aAbBc得sinsinsinC2 , b c5 b5a10b2c ,即ab1又ab212 bb21a2 , c5五【思维总结】1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A、B、C）,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求 a、b；（2）已知两边和夹角（如 a、b、c）,应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用 A+B+C = ,求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A）,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = 求C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要留意解可能有多种情形；（4）已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = ,求角 C；2三角形内切圆的半径：r 2S,特殊地,r 直 a b c 斜；a b c 23三角学中的射影定理：在ABC 中,b a cos C c cos A,4两内角与其正弦值：在ABC 中,A B sin A sin B,5解三角形问题可能显现一解、两解或无解的情形,这时应结合“ 三角形中大边对大角定理及几何作图来帮忙懂得”1 假如函数的图像关于点中心对称, 那么的最小值为 （）（A）（B）（ C） D 2、右图所示的是函数 图象的一部分,就其函数解析式是名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - AB名师总结优秀学问点 C D3、已知函数的最小正周期为,就该函数图象A关于直线对称B关于点 ,0 对称的图象,0 对称C关于点 D关于直线对称4、由函数A向左平移个单位 B 向左平移个单位C向右平移个单位 D 向右平移个单位5、如是函数图象的一条对称轴,当取最小正数时A在单调递增 B 在单调递减 C在单调递减 D在单调递增名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、函数（名师总结优秀学问点,如其图像向左平移个单）的最小正周期是位后得到的函数为奇函数,就B的值为（）DAC7、（2022 年高考（新课标理）已知, 函数在上单调递减 .就的取值范畴 B C D（）是A8、（2022 年高考 （福建文） ）函数的图像的一条对称轴是（）A B C D9、以下命题中的真命题是A函数内单调递增B函数的最小正周期为 2C函数的图象是关于点（, 0）成中心对称的图形D函数的图象是关于直线x=成轴对称的图形10、已知,就等于名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - A B名师总结优秀学问点D25 C5 11、已知正六边形ABCDEF的边长为1,就的值为 A B C D12、已知平面对量,与垂直,就是（）A. 1 B. 2 的最小值 C. 2 D. 1 ,O为坐标原点,如A、B、C 三13、设点共线,就是A2 B 4 C6 D8 14、设 POQ=60° 在 OP、OQ上分别有动点A,B,如·=6, OAB的重心是G,就| 的最小值是 D 4 ,就A.1 B 2 C 3 15、如是夹角为的单位向量,且A.1 B. 4 C. D.名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16、已知圆 O的半径为名师总结优秀学问点的数量,圆周上两点A、B与原点 O恰构成三角形,就向量积是AB C D17、如图,已知点O 是边长为1 的等边ABC的中心,就（）· （）等于（A）B C D 18、（ 2022 年高考（大纲文）如函数 是偶函数 , 就A（） C D B 19、如<0,且<0,就有在A. 第一象限 B. 其次象限C. 第三象限 D 第四象限20、函数 y=cosxo x,且 x 的图象为21、在中,内角A、 B、C的对边长分别为、,已知,且求 b. 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 22、已知函数名师总结优秀学问点（）求函数的单调递增区间；（）已知中,角所对的边长分别为,如,求的面积23、已知向量（I ）如, 求的值 ; （II ）记,在中,角的对边分别是,且满意24、设,求函数的取值范畴；=3,运算：（ 1）；（ 2）25、已知向量,（1）当时,求的值；（2）求在上的值域 . 26、已知函数 fx=（）求函数fx的最小正周期及单调增区间；求实数 m的最的图像向右平移mm0 个单位后, 得到的图像关于原点对称,（） 如函数 fx小值 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点27、已知函数（1）求函数 的最小正周期；（2）如对,不等式恒成立,求实数m的取值范畴 . 28、函数 的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 , 1 求函数的解析式 ; 2设, 就, 求的值 . 29、已知函数的最小正周期为,且当时,函数的最小值为0；（I ）求函数的表达式；（II ）在ABC,如的值；30、设函数（I ）求函数的最小正周期；（ II ）设函数对任意,有,且当时,； 求函数在上的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 31、已知函数名师总结优秀学问点（）求函数 的最小正周期和值域；（）如为其次象限角,且,求的值32、已知两个不共线的向量a,b 夹角为,且为正实数；（1）如垂直,求；（2）如,求的最小值及对应的x 值,并指出向量a 与 xab 的位置关系；（3）如为锐角,对于正实数m,关于 x 的方程有两个不同的正实数解,且的取值范畴；33、设的内角所对边的长分别为,且有；（）求角A 的大小；（ 如,为的中点,求的长；34、已知函数,；1 求函数的最小正周期,并求函数在上的最大值、最小值；2 函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数的图像名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 35、已知向量名师总结优秀学问点,函数·,（）求函数 的单调递增区间；（）假如ABC的三边 a、b、c 满意,且边 b 所对的角为,试求的范畴及函数的值域的值为；36、37、设向量, 就|=_. 38、已知平面对量,就与的夹角余弦值等于39、已知 A、 B、C 的坐标分别为A3 ,0 、B0 , 3 、C ,1 如,求角的值；的值,求2 如1、应选 A 2、 A 3、B 4、B5、A 6、C 7、8、C 9、C10、C 11、D 12、D 13、D14、B 15 、C 16 、C17、D 18 、 C 19 、D20、C 21、；m的取值范畴为33、（）名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（II ）名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 19 页