2022年高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点 14 极限.数学归纳法.数列的极限.函数的极限.函数的连续性.数学归纳法在数列中的应用.数列的极限.函数的极限.函数的连续性经典易错题会诊命题角度 1 数学归纳法1（典型例题）已知 a>0,数列 an满意 a1=a,an+1=a+ 1 ,n=1,2, . a n已知数列 an极限存在且大于零,求 A= lim a n 将 A 用 a 表示 ；n设 b n=an-A,n=1,2 ,证明： bn+1=-b n ;A b n A 如|bn| 2 1 , n 对 n=1,2 都成立,求 a 的取值范畴；考场错解 由 lim a n,存在,且 A= lim a n（A>0）,对 aa+1=a+ 1 两边取极限得, A=a+ 1 . 解n n a n A得 A= a a 2 4 . 又 A>0, A= a a 2 4 .2 2由 an+bn+A,an+1=a+ 1 得 bn+1+A=a+ 1. a n bn Ab n 1 a A 1 1 1 b n .b n A A b n A A b n A 即 b n 1 b n 对 n=1,2 都成立；A b n A 对 n=1,2, |bn| 2 1 ,就取 n=1 时,n | 1 | 12 ,得 | a 12 a a 2 4 | 12 .| 1 a 2 4 a | 1 . a 2 4 a 1 , 解得 a 3；2 2 2 专家把脉 第问中以特值代替一般,而且不知 bn数列的增减性,更不能以 b1取代 bn. 对症下药 同上；名师归纳总结 令|b 1| 1 , 得 2|a1 aa24|1.第 1 页,共 23 页22|1a24a|1.22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 24a,1解得a3.学习必备欢迎下载2现证明当a3时,|b n|1对 n=1,2, 都成立；22ni 当 n=1 时结论成立（已验证） ；ii假设当 n=kk 1 时结论成立,即|b k|1,那么|b k1|b k|A|A|1A|1.k 2b k2kA b k11故只须证明A|b kA|2,即证 A|bk+A| 2 对 a3 成立 2由于Aaa24a 224a,2而当 a3 时,而当 a23 时,2a24a,1A2 .|b kA|A|b k|21,1即A|bk+A| 2. 2k故当 a3 时,2|b k1|1111.22k2 k即n=k+1时结论成立；依据 i 和ii,可知结论对一切正整数都成立；3, 故|bn| 2 1 对n=1,2, 都成立的 a的取值范畴为 n22 典型例题 已知数列 an 中,a1=3, 前 n 项和 Sn满意条件 想 an的表达式；并证明你的结论；Sn=6-2an+1. 运算 a2、a3、a4, 然后猜 考场错解 当 n2 时, an=Sn-Sn-1=6-2an+1-6-2a n=2a n-2a n+1, 即 an+1= 1 an.由于 a1=3,所以 2a2= 1 a1= 2 3 ,a3= 2 1 a2= 2 3 ,a4= 4 1 a3= 2 3 由此猜想 an= 8 2 n 31 n N * 当 n=1 时, a1= 1 3 =3,结论成立；1 2 假设当 n=kk1时结论成立, 即 ak= 2 k 31 成立,就当 n=k+1 时,由于 ak+1= 2 1 ak,所以 aa kk 1 12 ,又 a1=3,所以 an是首项为 3 公比为 1 的等比数列； 由此得 ak+1=3·（2 1 ）k+1-1= 2 2 k 31 1 ,这说明,当 n=k+1 时结论也成立；名师归纳总结 由、可知,猜想对任意nN* 都成立；第 2 页,共 23 页专家把脉 应由 a1=S1=6-2a2,求得 a2= 2 3 ,再由 an+1= 2 1 ann2求得 a3= 4 3 ,a4= 8 3 ,进而由此猜想an=31nE*. n 2用数学归纳法证明猜想时,没有利用归纳假设ak231,而是依据等比列的通项公式求得k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ak+1=2k31.这种证明不属于数学归纳法；学习必备欢迎下载1对症下药 由 a1=S1=6-2a2,a1=3,得 a2=3 当 n2 时, an=Sn-Sn-1=6-2a 2n+1-6-2an=2a n-2a n+1, 即an+1=1 an.将 a2= 2 3 代入得 a3= 2 1 a2= 4 3 ,a4= 2 1 a3= 8 3 ,由此猜想an=31nN*.下面用数学归纳法证2 n明猜想成立；当 n=1 时, a1= a 1 3 1 3 ,猜想成立；假设当 n=kk1时结论成立,即 ak= 2 k 3 1 成立,就当 n=k+1 时,由于 ak+1= 2 1 ak,所以ak+1= 2 1 ·2 k 3 1 = 2 3 k 2 k 3 1 1 这说明,当 n=k+1 时结论也成立；由,可知,猜想对 nN* 都成立；3（典型例题）已知不等式1 + 3 1 + + n 1 > 2 1 log 2n, 其中 n 为大于 2 的整数, log 2n表示不超过log2n 的最大整数；设数列an的各项为正,且满意a1=bb>0,annna n1,n=2,3,4, . a n1 证明： an22 b2n ,n=2,3,4,5, ; b log 推测数列 a n 是否有极限？假如有,写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N,使得当 n>N 时,对任意b>0, 都有 an< 5 1 . 考场错解 （1）利用数学归纳法证明不等式：an1fbb.n 1）当 a=3 时,an3a 231311fbb知不等式成立；3a 232a 1 3 b1b.即 n=k+1 时,a 22 a 12）假设 n=kk 3 时, ak1bk b,就a k1k1a kk1k111ffk1 akka k不等式成立； 有极限,且linanan0.n22 b2n 2n,令2n 1b loglog2log25解得 n>10=1024.取 N=1024,有 an< 5 1 . 专家把脉 （1）在运用数学归纳证明时,第 放缩与转化,不能去拼凑；n-k+1 步时,肯定要运用归纳假设进行不等式名师归纳总结 对症下药 （）证法1：当 n2 时, 0<anma n1,第 3 页,共 23 页na n1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1na n1a111,即1a n11学习必备欢迎下载1 n, 于是有a nnan1nna n111,111,1a111,全部不等式两边相加可得11,111 n.a 2a 12a 3a23annnana 123由已知不等式知,当n3 时有,111log2n .ana 12a1<b, 111log2n 2b log2n.anb22 bn bn=3,4,5, . an<22 b2n.b log证法 2：设 fn=111, 第一利用数学归纳法证不等式an1b23nfi 当 n=3 时,由a 33 a 2312311b3 b.知不等式成立；3a 23a 1fa22 a 1ii假设当 n=kk 3 时,不等式成立,即ak1bk b,f就 ak+1k1 a kkk111k1k1kb1k1k1bkbb1fkbk11 b1fb1b,即k1ak1fk1fkakb当 n=k+1 时,不等式也成立；由（ i ）、（ii ）知, an1bn bn=3,4,5, . f又由已知不等式得an11b2nb22 b2n,n=3,4,5, . 2n>10,n>2 10=1024, 故取logb bog21 5,就有 log 2nlog 有极限,且lima n0, n 22b2n2n,令2n b loglog2log2N=1024,可使当 n>N时 , 都有 an<1 5专家会诊 1一般与自然数相关的命题,或有关代数恒等式的证明,三角恒等式、三角不等式、整除性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法；2运用数学归纳法证明时,其次步是关键、必需用到归纳假设,否就就不是数学归纳法的证 明；考场思维训练名师归纳总结 1 用数学归纳法证明 “ n+1n+2 n+n=2n · 1· 3· 5 2n-1nN+ ” 时,从 n=k 到 n=k+1,第 4 页,共 23 页给等式的左边需要增乘的代数式是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A .2 k1B .2 k1学习必备欢迎下载k1C .2k1 2k2 D.2k3k1k1答案：C 解析：略2 曲线 C：xy=1x>0 与直线 l:y=x 依此类推；相交于 A1, 作 A1B1l 交 x 轴于 B1, 作 B1A2 l 交曲线 C于 A2（1）求点 A1、A2、A3和 B1、B2、B3 的坐标；答案： A 11,1、A2（2 +1, 2 -1 ）、A3（3 +2 ,3 -2 ）、B1（2,0 ）、B2（22 ,0 ）、B3（23 ,0 ）（2）猜想 An的坐标,并加以证明；答案： A nnn,1 ,n0,.n1 , 证明略 . （3）lim n|BnB n1.|Bn1 BnB n b n答案：设 An1,a nan由题图： A1（1,1）,B1（2,0） a1=1,b1=2 且bn1a nnn,n1 ）a nan1bn1 An 在直线yxb n1上a nlim n|B nB n1|lim n2a nn1lim nn1nn,分子分母乘以（n1n|B n1B n|2 an1及nlimn1n1lim n11111nnn1111其中 b 是与 nn3 设数列 a1,a2, , an, 的前 n 项的和 Sn 和 an 的关系是 Sn=1-ban-b 无关的常数,且b -1 ；（1）求 an和 an-1 的关系式；名师归纳总结 答案： an=Sn-Sn-1=-ban-a n-1-111banan11bnn2第 5 页,共 23 页1bn1bnb 解得 an=1bban11bn1n 2b（2）猜想 an的表达式（用n 和 b 表示）；答案： a=S1=1-ba 1-11b,a 1b1b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a n1bb1bban21bn1bn1学习必备欢迎下载b b1bb2a n21b 2b1111nbn1bb21bban31bn1bb21b 1b n1bb2a n3bb2nb 3, 1b 1由此猜想 an=1bbn1a 1bb 2 1b 3n1bn1b把 a1=1b2代入上式得ban=bb2bn1b n1bbn1n1 b1 b 1b1n1b1 2n（3）当 0<b<1 时,求极限lim nS n.3 .S n1ba n11n1b1bbnbb 1bn 1b 答案：111nb bb n1 11bn1b1 ,b1blim nS n1.0b1 时,lim nb n,0lim n11bn0 ,命题角度 2 数列的极限1（典型例题）已知数列xn 满意 x2=x 1,xn=1 xn-1+xn-2,n=3,4, 2 . 如lim nx n.=2, 就 x1= 2 A3 B 23 C4 D5 ,由 考场错解 C. x1=4. x2=2,x3=1 x1+x2=3,x4= 2 1 2+3= 2 5 ,x5= 2 1 3+ 2 5 = 4 11 , .当 n趋势可知x n2,应选 C 专家把脉 通过有限项看趋势,并不能精确描述极限；对症下药 B 由 xn=1 xn-1+xn-2可得 2x3=x2+x1,2x4=x3+x2,2x5=x4+x3, ,2xn=xn-1+xn-2,两边相加得：22xn+xn-1=2x2+x1,两边取极限, 2x1=4+2,x1=3. 名师归纳总结 2.05 ,浙江高考卷 lim n123n= （）第 6 页,共 23 页n 2A2 B4 C1D0 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 考场错解 D lim n1232n=lim n学习必备欢迎下载1lim n1lim n2lim n10 .123nn2n2n2nn2n2n 专家把脉 无穷数列的和的极限不能求极限的和； 对症下药 n lim 12 n n2 nn lim n2 n 1 12 .3（典型例题）已知数列 log 2an-1nN* 为等差数列,且 a1=3,a 2=5, 就1 1 1nlim a 2 a 1 a 3 a 2 a n 1 a n = A2 B3 C1 D12 2考场错解 D a1=3,a2=5. log2a1-1=1.log 2a 2-1=2. an-1=2n.an=2an+1. 1n lima n 1 a . 故 lim 1 1 1 1 1n a 2 a 1 a 3 a 2 a n 1 a n a 2 a 1 2 专家把脉 无限项数列和的极限应变成有限项数列的极限,不能求极限的和；名师归纳总结 对症下药 C a1=3,a2=5. log2a1-1=1,log2a 2-1=2. 第 7 页,共 23 页an-1=2n,an=2n+1. 111a21a 3a2an1a n2212 1212 22 n12n1111111n22 122 22 n12nlima 21a 1a 31a2an1a n1 =nlim111n=1 22 1124 典型例题 运算：lim n3 n122 n=_；3 nn1 考场错解 lim n3 n122 n=lim n1322n=1 33 nn12 3 n 专家把脉 lim n2n0,而不是 1；3 对症下药 nlimn 312n 2=nlim112 32 n 3n=3 33 nn1113- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5 （典型例题）已知 un=an-1b+a n-2b 2+ +abn-1 +bnn N*,a>0,b>0 . 当 a=b 时,求数列 u n 的前项 n 项和 Sn；（）求lim nun1；n-1+n+1an. 就u n 考 场 错 解 （ ） 当a+b时 , r n=n+1an. Sn=2a+3a 2+4a 3+ +naaSn=2a2+3a3+4a 4+ +nan+n+1an+1. 两式相减：Sn=n1 a n2n2an1a22a1a2 nlimun1=nlimn1n a=nliman1 =a. uan1nun 专家把脉 （）问运用错位相减时忽视a=1 的情形；（） a=b 是（）的条件,当a b 时,极限明显不肯定是a. 对症下药 （）当 a=b 时, un=n+1aSn=2a+3a2+4a 3+ +nan-1+n+1an. n. 这时数列 u n 的前 n 项和式两边同乘以a, 得 aSn=2a 2+3a3+4a4+ +na n+n+1an+1n=nlima n1=a. 式减去式,得（1-a ）Sn=2a+a2+a 3+ +a n-n+1an+1如 a 1,1-aS n=a 1an-n+1an+1+a 1aa 1a naan1a n1Sn= 1na 2an21an1a 22 a1 n2 n1 a1a2如 a=1,Sn=2+3+ +n+n+1=nn3 2由（）,当 a=b 时, un=n+1an,就nlimu n1=nlimunuan1n当 a b 时, un=a n+an-1b+ +ab n-1 +b n=a n1+bb2bn aaa=an1bn1a1ba n1bn1此时,un1a n1bn1.a1bu na nbna.a或 a>b>0, lim nun1=lim nan1bn1=lim nab bab ann abn1nun如 b>a>0, nlimun1=nlima a nb a nbbb.un1专家会诊名师归纳总结 1充分运用数列的极限的四就运算及几个重要极限nlim C=C.C 为常数 .nlim1 =0. n第 8 页,共 23 页nlim qn=0,|q|<1. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2. 对于 型的数列极限,分子分母同除以最大数的最高次项,然后分别求极限；3运算法就中各个极限都应存在,都可推广到任意有限个极限的情形,不能推广到无限个；考场思维训练1 如 q 为二项式（x2 3 1x）8 的绽开式的常数项,就n limq qn n1 11 =_. 答案： 1/7 解析：可求得 q=7, n lim7 7n n1 11 17 .2 已知点 A（0,2 ）、B（0,-2 ）、C（4+ 2 ,0）其中 n 为正整数,设 Sn 为三角形 ABC外接n n n圆的面积,就 lim Sn=_. n答 案 ： 4 解 析 ； 设 外 接 圆 的 半 径 为 Rn, 就 （2 ）2+ （ 4+ 2 -Rn ）2=Rn 2, n nRn=2 n 2 1n 1n 2 所以n lim R n ,2 所以n lim S n 43 已知等比数列 xn 的各项为不等于 y4=17,y7=11. 1 的正数,数到 yn 满意 yn=2logaxna>0,a 1, 设1 求数列 y n 的前多少项最大,最大为多少？答案：由已知得,数列为关数列,y 4=17,y 7=11, ,yn0, 当n13 时,yn0 ,数列 yn 的公差 d=113172,yny4n4 d252n ,当 1n12 时前 12 项最大,最大为144. （2）设 bn=2yn,sn=b1+b2+ +bn,求nlims n252的值；答案：bn=2yn,Sn=b1+b2+ bn, bn 为等比数列 . 且公比为 q=1 , 4nlim Sn=1S 1q2 23225334名师归纳总结 lim nS n2 251.2 nna1+C na+ +C nan第 9 页,共 23 页34 设 an=1+q+q 2+ +q n-1n N+,q ± ,An=C 1 1用 q 和 n 表示 An; 答案： q 1, an=1q n1q- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - An1qC1 n1q2C n 21qnCn n学习必备欢迎下载1q1q1q11qC1 nC n 2C n nqC1 nq 2C2 n2 C2 nq nC n nn n11qC0 nC 1nC n nC0 nqC1 nqqn C11q2n1q nq1的值；,12当-3<q<1 时,求 limA n2n3q答案：A n11q112qn,2n|12q |<1, xlimA n=11q2 n命题角度3 函数的极限1（典型例题）如 limx 1（1 ax 1 bx 2）=1,就常数 a,b 的值为（ ）A a=-2,b=4 Ba=2,b=-4 C a=-1,b=-4 Da=2,b=4 考场错解 A x lim1 a 11 xx 2 b = limx 1 1 axx a1 bx 1 . 故能约去（ 1-x ） , a=-2,b=4. 专家把脉 （ax+a-b ）中有在式（ 1-x ）的求解中,留意 a、b 的符号； 对症下药 C x lim1 a 11 xx 2 b = limx 1 1 axx a1 bx 1 .故 ax+a-b 中必有因式（ 1-x ）,且极限为 1；故 a=-2,b=-4. 2（典型例题）如 lim f x 11 , 就 lim x 1（）x 1 x 1 x 1 f 2 2 x A -1 B1 C -1 D12 2 考场错解 D lim f x 1 ,1 就 lim x 1 lim x 1 1 .x 1 x 1 x 1 f 2 2 x x 1 f 2 x 1 2考场把脉 错误懂得极限存在的条件；函数fx中必有因式（ x-1）；名师归纳总结 对症下药 Clim x 1fx1,1故 fx-1=x-1. ）= （）第 10 页,共 23 页x1fx=x. lim x 1x11 2.222x13（典型例题）lim x 1（x23x2x24 x3A -11 B 21 C - 61 D 62- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 考场错解 B 原式 =lim x 1x1 1xx学习必备欢迎下载31.3 =lim x 11x2 x2x2 专家把脉 在运算中留意符号的变化； 对症下药 A lim x 1x3x2xx23 =lim x 1x1 1x3=lim x 1x131.x1 2 x2x2 x24（典型例题）lim xx3= （）3 x291 D 3A-1B0 C1 66考场错解 B 当 x -3,x+3=0,故lim xx3=0；3 x 29 专家把脉 求函数极限时,分母为 对诊下药 A lim x3 x1316专家会诊0 的因式应约去才可代入；1求函数的极限时, 假如 xx0 即 x0 是连续的点； 即使函数 fx有意义的点, 只需求 fx 0的值；就是函数的极限值；2当 fx在 x0处不连续时,即x=x0 代入后使式子fx无意义,应考虑约去此因式,使之有意义时再求 fx0的值,即为极限值；3已知函数的极限,求出函数中的系数时,应满意两个条件,即存在性与极限值同时考虑；考场思维训练1 设 fx在 x0处可导, fx0=0 就nlimnfx0- n 1 =_. 答案： -f x 0 解析：nlimnfx 01n=xlimfx 01fx 0f'x 0.n1n2 lim