2022年高考数学应用问题的题型与方法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高考数学 应用问题的题型与方法一复习目标：数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一,也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道挑选填空题. 解答这类问题的要害是深刻懂得题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式,排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视 .由于数学问题的广泛性,实际问题的复杂性,干扰因素的多元性,更由于实际问题的专一性,这些都给同学能读懂题目供应的条件和要求,在生疏的情形中找出本质的内容,转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题 .二考试要求：“ 考试说明” 对于“ 解决实际问题的才能” 的界定是：能阅读、懂得对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学学问、思想和方法解决问题,包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题,并能用数学语言正确地加以表述 .并且指出：对数学应用问题,要把握好提出问题所涉及的数学学问和方法的深度和广度,切合中学数学教学实际.应用问题的“ 考试要求” 是考查考生的应用意识和运用数学学问与方法来分析问题解决问题的才能,这个要求分解为三个要点：1、要求考生关怀国家大事,明白信息社会,讲究联系实际,重视数学在生产、生活及科学中的应用,明确“ 数学有用,要用数学”,并积存处理实际问题的体会. 2、考查懂得语言的才能,要求考生能够从一般语言中捕获信息,将一般语言转化为数学语言,以数学语言为工具进行数学思维与沟通 . 3、考查建立数学模型的初步才能,并能运用“ 考试说明” 所规定的数学学问和方法来求解 . 三教学过程：（）基础学问详析（一）高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型,另外,估测运算型和信息迁移型也时有显现 .当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化, 紧扣时代的主旋律,凸显了学科综合的特色 .求解应用题的一般步骤是（四步法）：1、读题 ：读懂和深刻懂得,译为数学语言,找出主要关系；2、建模 ：把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题；3、求解 ：化归为常规问题,挑选合适的数学方法求解；4、评判 ：对结果进行验证或评估,对错误加以调剂,最终将结果应用于现实,作出解释或验证 . 在近几年高考中,常常涉及的数学模型,有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等 . 函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容,现实世界中普遍存在着的最优化问题,常常可归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数学问和方法去解决 . 依据题意,娴熟地建立函数模型；名师归纳总结 运用函数性质、不等式等学问处理所得的函数模型. 第 1 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及肯定图形属性的应用问题,常常需要应用几何图形的性质,或用方程、不等式或用三角函数学问来求解 . 数列模型 在经济活动中, 诸如增长率、 降低率、 存款复利、 分期付款等与年 （月）份有关的实际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决 . 在解应用题时,是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合肯定的规律,可先从特殊的情形入手,再查找一般的规律 . 中学数学各个章节中有关应用问题的内容分别是：1函数： 能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简洁的实际问题 . 2不等式： 把握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简洁的应用 . 3平面对量 : 在立体几何与解析几何中的应用 . 4三角函数： 懂得函数 y=Asin x+ 中 A 、 的物理意义；把握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用运算器解决解三角形的运算问题 . 5数列： 能运用公式解决简洁的问题 . 6直线和圆的方程：明白线性规划的意义,并会简洁的应用 . 7圆锥曲线方程：明白圆锥曲线的初步应用 . 8直线、平面、简洁几何体：平面及其基本性质,平面图形直观图的画法 . 平行直线,对应边分别平行的角,异面直线所成的角,异面直线的公垂线,异面直线的距离 . 直线和平面平行的判定与性质,直线和平面垂直的判定与性质,点到平面的距离,斜线在平面上的射影,直线和平面所成的角,三垂线定理及其逆定理. 平行平面的判定与性质,平行平面间的距离, 二面角及其平面角,两个平面垂直的判定与性质. 多面体、棱柱、 棱锥、 正多面体、球等各部分都有应用. 9排列、组合、二项式定理：把握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简洁的应用问题；懂得排列的意义,把握排列数运算公式,并能用它解决一些简洁的问题 . 懂得组合的意义,把握组合数运算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简洁 的应用问题 . 把握二项式定理和二项绽开式的性质,并能用它们运算和证明一些简洁的问题 . 这部分主要解决不同类问题 可重复排列问题, 不行重复排列问题, 组合问题 的辩析；多类多步排列组合问题的解决方法,主要是两个特元以上的特元法或特位法、排除法的 应用10概率：明白随机大事的发生存在着规律性和随机大事概率的意义；明白等可能性大事的概率的意义,会用排列组合的基本公式运算一些等可能性大事 的概率；明白互斥大事相互独立大事的意义,会用互斥大事的概率加法公式与相互独立大事 的概率乘法公式运算一些大事的概率； 11会运算大事在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 . 概率与统计：明白随机变量、离散型随机变量的意义,会求出某些简洁的离散型随机变量的分布 列；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载明白离散型随机变量的期望值、方差的意义,会依据离散型随机变量的分布列求出 期望值、方差；会用抽机抽样,系统抽样,分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本；会用样本频率分布去估量总体分布；明白正态分布的意义及主要性质；明白假设检验的基本思想；会依据样本的特点数估量总体；明白线性回来的方法 . 12极限、导数、复数：明白导数概念的某些实际背影（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等） ,把握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义； 留意事项 对应用题,要求能阅读、懂得陈述的材料,能结合应用所学数学学问、思想方法解决 问题,包括解决带有实际意义的或者相关学科、生产、生活中的数学问题 .并能用数学语言 正确的加以表述 .考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的才能上 . 实际问题转 化为数学问题,关键是提高阅读才能即数学审题才能,审出函数、方程、不等式、等式,要求我们读懂材料,辨析文字表达所反应的实际背景,领会从背景中概括出来的数学实质,抽象其中的数量关系,将文字语言表达转译成数学式符号语言,建立对应的数学模型解答 .可以说,解答一个应用题重点要过三关：一是事理关,即读懂题意,需要肯定的阅读懂得 才能；二是文理关,即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关,即构建相应的数 学模型,构建之后仍需要扎实的基础学问和较强的数理才能 . 在解答应用问题中,最常见的是以上的几种模型,即：函数模型、不等式模型、数列 模型、三角模型 . 此外,其它的几种应用问题模型有：与排列组合有关的应用问题,特点比 较明显,属于排列组合模型,解答时肯定要分清晰是分类仍是分步,是排列仍是组合,是 否有重复和遗漏；与光学、力学、轨迹等有关方面的应用问题,可通过建立适当的坐标系,运用曲线的学问来建立数学模型来解答,且曲线争论主要是二次曲线,所以可称之为二次 曲线模型 . （） 20XX年高考应用问题综合题选（20XX年高考北京卷理科19）某段城铁线路上依次有A 、B、C 三站,AB=5km ,BC=3km ,在列车运行时刻表上,规定列车8 时整从 A 站发车, 8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟, 8时 12 分到达 C 站.在实际运行中,假设列车从 A 站正点发车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同一速度 vkm h 匀速行驶, 列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的肯定值称为列车在该站的运行误差 . （I）分别写出列车在 B、C 两站的运行误差 ; （II ）如要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 v 的取值范畴 . 解：（I）列车在 B, C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是名师归纳总结 |3 0 0 7 v|和 |48011 |. 2 分钟,所以第 3 页,共 32 页v（II）由于列车在B, C 两站的运行误差之和不超过- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载11, 2, |3007| |48011 |2. （*）vv当 0v300时,（*）式变形为3007480112, 7vv解得 39v300; 当300 7v480时,（*）式变形为 7300480711vv解得300 7v480; 当 v480时,（*）式变形为 7001148021111vv. 解得480 11v195. 4综上所述, v 的取值范畴是 39,195 4 说明： 此题主要考查解不等式等基本学问,考查应用数学学问分析问题和解决问题的才能2（ 20XX年高考江苏卷（ 19）制定投资方案时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能显现的亏损 .某投资人准备投资甲、乙两个项目 . 依据推测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100 和 50 ,可能的最大亏损率分别为 30 和 10 . 投资人方案投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 资多少万元,才能使可能的盈利最大？1.8 万元 . 问投资人对甲、乙两个项目各投解：设投资人分别用x 万元、 y 万元投资甲、乙两个项目. xy10 ,由题意知0 .3x0.1y1 .8 ,x0 ,y0 .目标函数 z=x+0.5y. 名师归纳总结 上述不等式组表示的平面区域如下列图,阴影部分（含边界）即可行域yz ,. R,第 4 页,共 32 页作直线l0:x0 .5y0,并作平行于直线0l 的一组直线x05.z与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M 点,且与直线x0 .5y0的距离最大,这里M 点是直线xy10和0 .3x0.1y1 .8的交点 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1.8 万元解方程组xy10 ,1 8. ,得 x=4,y=6 0 . 3 x.0 1 y此时z140 5.67（万元） . 70当 x=4,y=6 时 z 取得最大值 . 答：投资人用4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过的前提下,使可能的盈利最大. 说明： 此题主要考查简洁线性规划的基本学问,以及运用数学学问解决实际问题的才能；3（20XX年高考辽宁卷（20）甲方是一农场,乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以补偿经济缺失并获得肯定净收入,在乙方不赔付甲方的情形下,乙方的年利润 x（元）与年产量 t（吨）满意函数关系 x 2000 t . 如乙方每生产一吨产品必需赔付甲方 s 元（以下称 s 为赔付价格）,（）将乙方的年利润 w（元）表示为年产量 t（吨）的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量；（）甲方每年受乙方生产影响的经济缺失金额y0. 002t2（元）,在乙方依据获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少？（I）解法一：由于赔付价格为s 元/吨,所以乙方的实际年利润为：=2000tst1000210002,所以当t10002 2 分由于=2000ts t2st时, 取得最大值sst所以乙方取得最大年利润的年产量t10002吨 4 分s解法二：由于赔付价格为s 元/吨,所以乙方的实际年利润为：名师归纳总结 =2000tst 2 分第 5 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由1000s1000tst优秀学习资料欢迎下载,令0 t2得 t t 0 1000s当 t t0 时,0；当 tt0 时,0,所以 t=t0 时,取得最大值2因此乙方取得最大年利润的年产量 t 0 1000（吨） 4 分s（II ）设甲方净收入为 元,就=st0.002t 2 6 分2将 t 1000代入上式,得甲方净收 与赔付价格 s 之间的函数关系式s2 310002 2 10004 8 分s s2 3 2 3又 10002 8 10005 1000 80005 s ,s s s令 =0,得 s=20当 s20 时,0；当 s 20 时,0,所以 s=20 时,取得最大值因此甲方向乙向要求赔付价格 s=20 元/吨时,获最大净收入 12 分注：如将 s 1000 代入 的表达式求解,可参照上述标准给分t4（ 20XX年高考广东卷（20）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置 .假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上 解：如图,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载yPCx 轴、 y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、AoBx以接报中心为原点O,正东、正北方向为C 分别是西、东、北观测点,就A（ 1020,0）,B（1020,0）,C（0,1020）设 P（x,y）为巨响为生点,由A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声, 故|PB| |PA|=340× 4=1360 由双曲线定义知P 点在以 A 、B 为焦点的双曲线x2y21上,a2b2依题意得 a=680, c=1020,2 2 2 2 2 2b c a 1020 680 5 3402 2故双曲线方程为 x2 y2 1680 5 340用 y= x 代入上式,得 x 680 5, |PB|>|PA|, x 680 5 , y 680 5 , 即 P 680 5 , 680 5 , 故 PO 680 10答：巨响发生在接报中心的西偏北 45 0 距中心 680 10 m 处 . 5. （ 20XX年高考重庆卷文科（20）某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x （吨）与每吨产品的价格 p （元 /吨）之间的关系式为：p 24200 1x ,且生产 2x 吨的成本为5R 50000 200 x（元） .问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润 =收入 成本）名师归纳总结 解：每月生产x 吨时的利润为fx 242001x2x 50000200x第 7 页,共 32 页5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载且最1x324000x50000x05由fx 3x2240000 解得x 1200,x2200 舍去.5因fx在 0, 内只有一个点x200使fx0,故它就是最大值点,大值为：f2001200324000200500003150000元5答：每月生产200 吨产品时利润达到最大,最大利润为315 万元 . 6（ 20XX年高考湖北卷理科（21）某突发大事,在不实行任何预防措施的情形下发生的概率为 0.3,一旦发生,将造成 400 万元的缺失 . 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采纳 . 单独采纳甲、 乙预防措施所需的费用分别为45 万元和 30 万元, 采纳相应预防措施后此突发大事不发生的概率为 0.9 和 0.85. 如预防方案答应甲、乙两种预防措施单独采纳、联合采纳或不采纳,请确定预防方案使总费用最少 . （总费用=实行预防措施的费用 +发生突发大事缺失的期望值 .）解：不实行预防措施时,总费用即缺失期望为400× 0.3=120（万元）；如单独实行措施甲,就预防措施费用为 45 万元,发生突发大事的概率为10.9=0.1 ,缺失期望值为 400× 0.1=40（万元）,所以总费用为 45+40=85（万元）如单独实行预防措施乙,就预防措施费用为 30 万元,发生突发大事的概率为 10.85=0.15,缺失期望值为 400× 0.15=60 （万元）,所以总费用为 30+60=90（万元）；如联合实行甲、乙两种预防措施,就预防措施费用为 45+30=75（万元）,发生突发事件的概率为（ 10.9）（10.85）=0.015,缺失期望值为 费用为 75+6=81（万元） . 400× 0.015=6（万元）,所以总综合、,比较其总费用可知,应挑选联合实行甲、乙两种预防措施,可 使总费用最少 . 说明：此题考查概率的基本学问和数学期望概念及应用概率学问解决实际问题的才能；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（）范例分析例 1（1996 年全国高考题）某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现有增加22,人均粮食产量比现在提高 10,假如人口年增长率为 1,那么耕地每年至多只能削减多少公顷（精确到 1 公顷）？总产量 总产量（粮食单产；人均粮食产量）耕地面积 总人口数分析： 此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景,给出两组数据,要求考生从两条线索抽象数列模型,然后进行比较与决策 . 解：1. 读题： 问题涉及耕地面积、粮食单产、 人均粮食占有量、总人口数及三个百分率,其中人均粮食占有量 P粮食单产× 耕地面积总人口数,主要关系是： P实际 P规划 . 2. 建模：设耕地面积平均每年至多削减 x 公顷,现在粮食单产为 a 吨公顷,现在人口数为 m,就现在占有量为 a× 10 4,10 年后粮食单产为 a1 0.22 ,人口数为 m10.01 10 ,m耕地面积为（ 10 4 10x）. a 1 0 22 10 410 10 x a× 10 4（10.1 ）m 1 0 01 m即 1.22 （10 410x） 1.1 × 10 4 × （ 10.01 ）103. 求解： x 10 3 11× 10 3 × （ 10.01 ）10122（10.01 ）10 1C10 1 × 0.01 C10 2 × 0.01 2 C10 3 × 0.01 3 1.1046 x 10 3995.9 4（公顷）4. 评判：答案 x4 公顷符合掌握耕地削减的国情,又验算无误,故可作答 . （答略）另解： 1. 读题：粮食总产量单产× 耕地面积；数；而主要关系是：粮食总产量粮食总占有量粮食总占有量人均占有量× 总人口名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2. 建模：设耕地面积平均每年至多削减 x 公顷,现在粮食单产为 a 吨公顷,现在人口数为 m,就现在占有量为 a× 10 4,10 年后粮食单产为 a1 0.22 ,人口数为 m10.01 10 ,m耕地面积为（ 10 4 10x）. a1 0.22 × 1O 410x a× 10 4× 1 0.1 × m10.01 10m3. 求解： x 10 3 11× 10 3 × （ 10.01 ）10122（10.01 ）10 1C10 1 × 0.01 C10 2 × 0.01 2 C10 3 × 0.01 3 1.1046 x 10 3995.9 4（公顷）4. 评判：答案 x4 公顷符合掌握耕地削减的国情,又验算无误,故可作答 . （答略）说明： 此题主要是抓住各量之间的关系,留意3 个百分率 . 其中耕地面积为等差数列,总人口数为等比数列模型,问题用不等式模型求解. 此题两种解法, 虽都是建立不等式模型,但建立时所用的意义不同,这要求敏捷把握,仍要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似运算等学问娴熟. 此种解法可以解决有关统筹支配、正确决策、最优化等问题 . 此种题型属于不等式模型,也可以把它作为数列模型,相比之下,主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式 . 在解答应用问题时,我们强调“ 评判” 这一步不行少！它是解题者的自我调剂,比如此题求解过程中如令 1.01 10 1,算得结果为 x98 公顷,自然会问：耕地削减这么多,符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控,检查发觉是错在 1.01 10 的近似运算上 . A 例 2某校有教职员工 150 人,为了丰富教工的课余生活,每天定时开放健身房和消遣室 .据调查统计,每次去健身房的人有 M C D B 10%下次去消遣室,而在消遣室的人有20%下次去健身房 .请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳固？名师归纳总结 解:引入字母,转化为递归数列模型. bn,就anb n150. 130. 第 10 页,共 32 页设第 n 次去健身房的人数为an,去消遣室的人数为an9an12b n19an12 150an17an17 10a30 即an1010101010n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载an1007a n1100 ,于是an100a11007 10n110即an1007n1 a1100. 10lim nan100. 故随着时间的推移,去健身房的人数稳固在100 人左右 . 说明： 上述解法中提炼的模型an7an130, 使我们联想到了课本典型习题：10已知数列an的项满意aa 1b ,d（其中c0 c1）,n 1can证明这个数列的通项公式是：anbcndb cn1d.c1这是一个重要的数列模型,用此模型可以解决很多实际应用题,如 20XX 年全国高考解答题中的应用题下文例 14就属此类模型 . 例 3（1991 年上海高考题） 已知某市1990 年底人口为100 万,人均住房面积为5m 2 ,假如该市每年人口平均增长率为2,每年平均新建住房面积为10 万 m 2,试求到2000 年底该市人均住房面积（精确到0.01 ）？分析： 城市每年人口数成等比数列,每年住房总面积成等比数列,分别写出2000 年后的人口数、住房总面积,从而运算人均住房面积. 解： 1. 读题：主要关系：人均住房面积总住房面积 总人口数2. 建模： 2000 年底人均住房面积为10010451010410100104 1210 3. 求解：化简上式610,102 1.0210 1C10 1 × 0.02 C10 2 × 0.022 C10 3 × 0.023 1.219 人均住房面积为610 4.92 102第 11 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载4. 评判：答案 4.92 符合城市实际情形,验算正确,所以到 为 4.92m 2 . 2000 年底该市人均住房面积说明 ：一般地,涉及到利率、产量、降价、繁衍等与增长率有关的实际问题,可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列仍是等比数列,然后用两个基础数列的学问进行解答 . 此种题型属于应用问题中的数列模型 . 例 4如图,一载着重危病人的火车从 O 地动身,沿射线 OA 行驶,其中1tg , 在距离 O 地 5a（a 为正数）公里北偏东 角的 N 处住有一位医学专家,其中3sin = 3 现有 110 指挥部紧急征调离 , O 地正东 p 公里的 B 处的抢救车赶往 N 处载上医学5专家全速追逐乘有重危病人的火车,并在 C 处相遇,经测算当两车行驶的路线与 OB 围成的三角形 OBC 面积 S 最小时,抢救最准时 . （1）求 S 关于 p 的函数关系；（2）当 p 为何值时,抢救最准时. 5aa ta25 a210 a40a2,当且解：（1）以 O 为原点,正北方向为y 轴建立直角坐标系,就l OA:y3x设 N（ x0,y0）,x 05 sin3ay05 cos4aN3 ,4 又 B（ p, 0）,直线 BC 的方程为：y34apxpa由y3xapxp得 C 的纵坐标y34ay c312apap5a,S1|OB|y c|36 ap2a,pp5352p3（2）由（ 1）得S6ap22 ap2a,令tp5a t0S29 t333p5 ap5 33仅当t25 a2,即t5 a,此时p10a时,上式取等号,当p10公里时,抢救最准时. 9t333例 5通过争论同学的学习行为,专家发觉, 同学的留意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开头时,同学的爱好激增；中间有一段时间,同学的爱好保持较抱负的状态,名师归纳总结 随后同学的留意力开头分散,设ft表示同学留意力随时间t（分钟）的变化规律（ft越大,说明同学留意力越集中）,经过试验分析得知：第 12 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ftt224t1000t优秀学习资料欢迎下载t10240 10207t38020t40（1）讲课开头后多少分钟,同学的留意力最集中？能连续多少分钟？（2）讲课开头后 5 分钟与讲课开头后 25 分钟比较,何时同学的留意力更集中？（3）一道数学难题,需要讲解 24 分钟,并且要求同学的留意力至少达到 180,那么经过适当支配,老师能否在同学达到所需的状态下讲授完这道题目？解：（ 1）当0t10 时,ftt224t100t122244是增函数,且5f 10240；当20t40 时,ft7 t380是减函数,且f20240. 所以,讲课开头 10 分钟,同学的留意力最集中,能连续10 分钟 . （ 2）f5 195 ,f25205,故讲课开头25 分钟时,同学的留意力比讲课开头后分钟更集中 .当0tf10时,tftt224 tt100.180,就t4；当20t40,（ 3）令 t73818282,就57,就同学留意力在180 以上所连续的时间28. 574=24. 57 24,所以,经过适当支配,老师可以在同学达到所需要的状态下讲授完这道题 . 例 6（1997 年全国高考题）甲、乙两地相距S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米时,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v （千米时）的平方成正比,比例系数为 b；固定部分为 a 元. 把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米时）的函数,并指出函数的定义域； 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶？分析 ：几个变量 （运输成本、 速度、 固定部分） 有相互的关联, 抽象出其中的函数关系,并求函数的最小值 . 解：（读题）由主要关系：运输总成本每小时运输成本× 时间,名师归纳总结 （建模）有ya bv2S v第 13 页,共 32 页（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米时）的函数关系式是：ySa vbv ,其中函数的定义域是v0 ,c . a整理函数有ySa v bv