2022年高二数学选修-教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第课时总第教案二次备课课型： 新授课主备人：审核人：1 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理一、教学目标：懂得分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简洁的应用问题二、教学重难点：重点：分类计数原理 加法原理 与分步计数原理 乘法原理 难点： 分类计数原理加法原理 与分步计数原理 乘法原理 的精确懂得三、教学方法讲授法四、教学过程一 、新课讲授引入课题先看下面的问题：从我们班上推选出两名同学担任班长,有多少种不同的选法？把我们的同学排成一排,共有多少种不同的排法？要解决这些问题, 就要运用有关排列、组合学问 . 排列组合是一种重要的数学计数方法 . 总的来说,就是讨论按某一规章做某事时,一共有多少种不同的做法 . 在运用排列、 组合方法时, 常常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理 . 这节课,我们从详细例子动身来学习这两个原理 .1 分类加法计数原理（ 1）提出问题问题 1.1 ：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码？问题 1.2 ：从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车. 假如一天中火车有3 班,汽车有2 班. 那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究： 你能说说以上两个问题的特点吗？（ 2）发觉新知分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有N m n种不同的方法 .（ 3）学问应用例 1. 在填写高考理想表时,一名高中毕业生明白到,的强项专业,详细情形如下：.1 A,B 两所高校各有一些自己感爱好名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - A高校 B高校二次备课生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学 假如这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种挑选呢？分析 ：由于这名同学在 A , B 两所高校中只能挑选一所,而且只能挑选一个专业,又由于两 所高校没有共同的强项专业,因此符合分类加法计数原理的条件解：这名同学可以挑选 A , A 高校中有 5 种专业挑选方法,在 B 高校中有 4 种专业挑选方 B 两所高校中的一所在 法又由于没有一个强项专业是两所高校共有的,因此依据分类加法计数原理,这名同学可能 的专业挑选共有 5+4=9（种） . 变式： 如仍有 C 高校,其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学 . 那么,这名同学可能 的专业挑选共有多少种？探究： 假如完成一件事有三类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m 种不同的方法,在第 3 类方案中有 m 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法？假如完成一件事情有 n 类不同方案,在每一类中都有如干种不同方法,那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情,有n 类方法,在第1 类方法中有m 种不同的方法,在第2 类方法中有m 种不同的方法 在第n 类方法中有m 种不同的方法 . 那么完成这件事共有Nm 1m 2mn种不同的方法 . 懂得分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“ 分类” 问题,完成一件事要分为如干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事 . 2 分步乘法计数原理（ 1）提出问题问题 2.1 ：用前 6 个大写英文字母和19 九个阿拉伯数字,以A ,A , ,B ,B , 的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出全部可能的号码：我们仍可以这样来摸索：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有 6 × 9 = 54 个不同的号码探究： 你能说说这个问题的特点吗？（2）发觉新知2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第第 2 类方案中有 n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有1 类方案中有 m 种不同的方法,在二次备课n种不同的方法.Nm（ 3）学问应用例 2. 设某班有男生30 名,女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参与竞赛,共有多少种不同的选法？分析 ：选出一组参赛代表,可以分两个步骤第 l 步选男生第 2 步选女生解 ：第 1 步,从 30 名男生中选出 1 人,有 30 种不同挑选；第 2 步,从 24 名女生中选出 1 人,有 24 种不同挑选依据分步乘法计数原理,共有30× 24 =720 种不同的选法探究： 假如完成一件事需要三个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 m 种不同的方法,做第 3 步有 m 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法？假如完成一件事情需要 n 个步骤,做每一步中都有如干种不同方法,那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情,需要分成n 个步骤,做第1 步有m 种不同的方法,做第2 步有m 种不同的方法 做第n 步有m 种不同的方法 . 那么完成这件事共有Nm 1m 2m n种不同的方法. 懂得分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“ 分步” 问题,完成一件事要分为如干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事 . 3懂得分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理针对的是“ 分类” 问题,完成一件事要分为如干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“ 分步” 问题,完成一件事要分为如干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成. 3 层放 2 本3 综合应用例 3.书架的第 1 层放有 4 本不同的运算机书,第2 层放有 3 本不同的文艺书,第不同的体育书.从书架上任取1 本书,有多少种不同的取法？从书架的第1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法？从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法？【分析】要完成的事是“ 取一本书”,由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事,因此是分类问题,应用分类计数原理 . 要完成的事是“ 从书架的第 1、2、 3 层中各取一本书”,由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分,只有第 1、2、3 层都取后,才能完成这件事,因此是分步问题,应用分步计数原理 . 要完成的事是“ 取 2 本不同学科的书”,先要考虑的是取哪两个学科的书,如取运算机和文艺书各 1 本,再要考虑取 1 本运算机书或取 1 本文艺书都只完成了这件事的一部分,应用分步计数原理,上述每一种选法都完成后,这件事才能完成,因此这些选名师归纳总结 法的种数之间仍应运用分类计数原理. 1 层取 1 本运算机书, 有 4 种第 3 页,共 33 页解 ： 1 从书架上任取1 本书, 有 3 类方法： 第 1 类方法是从第方法；第2 类方法是从第2 层取 1 本文艺书,有3 种方法；第3 类方法是从第3 层取1 本.3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 体育书,有 2 种方法依据分类加法计数原理,不同取法的种数是N m 1 m 2 m =4+3+2=9; 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书, 可以分成 3 个步骤完成： 第 1 步从第 1 层取 1 本运算机书,有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取 1 本文艺书,有 3 种方法；第 3 步从第 3 层取 1 本体育书,有2 种方法依据分步乘法计数原理,不同取法的种数是Nm 1m 2m =4× 3× 2=24 . 2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,（3）N43423226；例 4. 要从甲、乙、丙3 幅不同的画中选出问共有多少种不同的挂法？解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上,可以分两个步骤完成：第 1 步,从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上,有 3 种选法；第 2 步,从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上,有 2 种选法依据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是N=3× 2=6 . 6 种挂法可以表示如下：五、课后总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题区分在于：分类加法计数原理针对的是“ 分类” 问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事,分步乘法计数原理针对的是“ 分步” 问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事六、作业布置七、教学设计八、板书设计九、课后反思4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第课时总第教案二次备课课型： 习题课主备人：审核人：一、教学目标：懂得分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简洁的应用问题二、教学重难点：重点：分类计数原理 加法原理 与分步计数原理 乘法原理 难点： 分类计数原理加法原理 与分步计数原理 乘法原理 的精确懂得三、教学方法讲授法四、教学过程例 5. 给程序模块命名,需要用 3 个字符,其中首字符要求用字母 AG 或 UZ , 后两 个要求用数字 19问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名,可以分三个步骤：第 1 步,选首字符；第 2 步,选中间 字符；第 3 步,选最终一个字符而首字符又可以分为两类解：先运算首字符的选法由分类加法计数原理,首字符共有 7 + 6 = 13 种选法再运算可能的不同程序名称由分步乘法计数原理,最多可以有13× 9× 9 = = 1053 RNA 分子是一个有着数个不同的名称,即最多可以给1053 个程序命名例 6.核糖核酸 （ RNA）分子是在生物细胞中发觉的化学成分一个百个甚至数千个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据总共有 4 种不同的碱基,分别用A,C,G,U 表示在一个 RNA 分子中,各种碱基能够以任意次序显现,所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关假设有一类 RNA 分子由100 个碱基组成,那么能有多少种不同的 RNA 分子？分析 ：用图 1. 1 一 2 来表示由 100 个碱基组成的长链,这时我们共有 100 个位置,每个位置都可以从A , C , G , U 中任选一个来占据5 .名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二次备课解：100 个碱基组成的长链共有 100 个位置,如图1 . 1一 2 所示从左到右依次在每一个位置中,从 A , C , G , U 中任选一个填人,每个位置有 4 种填充方法依据分步乘法计数原理,长度为 100 的全部可能的不同 RNA 分子数目有4 4 14 2 43 L 41004 100（个）例 7. 电子元件很简洁实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态,而这也是最简洁控制的两种状态因此运算机内部就采纳了每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法,即二进制为了使运算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或多个字节来表示,其中字节是运算机中数据储备的最小计量单位,每个字节由 8 个二进制位构成问：1 ）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符？2 ）运算机汉字国标码（GB 码）包含了6 763 个汉字,一个汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用多少个字节表示？分析 ：由于每个字节有 8 个二进制位,每一位上的值都有 0,1两种挑选,而且不同的顺序代表不同的字符,因此可以用分步乘法计数原理求解此题解： 1 ）用图 1.1 一 3 来表示一个字节图 1 . 1 一 3 一个字节共有 8 位,每位上有 2 种挑选依据分步乘法计数原理,一个字节最多可以表示 2 × 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2= 2 8 =256 个不同的字符； 2）由（ 1 ）知,用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763 个,我们就考虑用 2 个字节能够表示多少个字符前一个字节有 256 种不同的表示方法,后一个字节也有 256 种表示方法依据分步乘法计数原理,2 个字节可以表示 256 × 256 = 65536 个不同的字符,这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 每个汉字至少要用 2 个字节表示 6 763 所以要表示这些汉字,例 8. 运算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试程序员需要知道究竟有多少条执行路径（即程序从开头到终止的路线）地,一个程序模块由很多子模块组成如图模块问：这个程序模块有多少条执行路径？,以便知道需要供应多少个测试数据一般 1.1 一 4,它是一个具有很多执行路径的程序另外,为了削减测试时间,程序员需要设法削减测试次数你能帮忙程序员设计一个测试方法,以削减测试次数吗？图 1.1 一 4 分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第 1 步是从开头执行到 A 点；第 2 步是从 A 点执行到终止而第 1 步可由子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 来完成；第2 步可由子模块 4 或子模块 5 来完成因此,分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理解：由分类加法计数原理,子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 中的子路径共有 18 + 45 + 28 = 91 （条） ; 子模块 4 或子模块 5 中的子路径共有38 + 43 = 81 （条） . 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又由分步乘法计数原理,整个模块的执行路径共有二次备课91× 81 = 7 371（条） . 在实际测试中,程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱,即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块这样,他可以先分别单独测试 模块的工作是否正常总共需要的测试次数为 18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再测试各个模块之间的信息沟通是否正常,只需要测试程序第 2 步中的各个子模块之间的信息沟通是否正常,需要的测试次数为 3× 2=6 . 5 个模块,以考察每个子1 步中的各个子模块和第假如每个子模块都工作正常,并且各个子模块之间的信息沟通也正常,那么整个程序模 块就工作正常这样,测试整个模块的次数就变为 172 + 6=178 （次） . 明显, 178 与 7371 的差距是特别大的你看出了程序员是如何实现削减测试次数的吗？例 9. 随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量快速增长,汽车牌照号码需交通 治理部门出台了一种汽车牌照组成方法,每一个汽车牌照都必需有 3 个不重复的英文字母和 3 那 个不重复的阿拉伯数字,并且 3 个字母必需合成一组显现,3 个数字也必需合成一组显现么这种方法共能给多少辆汽车上牌照？分析：依据新规定,牌照可以分为 照的字母和数字可以分 6 个步骤 2 类,即字母组合在左和字母组合在右确定一个牌解：将汽车牌照分为 2 类,一类的字母组合在左,另一类的字母组合在右字母组合在左时,分 6 个步骤确定一个牌照的字母和数字：第 1 步,从 26 个字母中选 1 个,放在首位,有 26 种选法；第 2 步,从剩下的 25 个字母中选 1 个,放在第 2 位,有 25 种选法；第 3 步,从剩下的 24 个字母中选 1 个,放在第 3 位,有 24 种选法；第 4 步,从 10 个数字中选1 个,放在第 4 位,有 10 种选法；第 5 步,从剩下的 9 个数字中选1 个,放在第5 位,有 9 种选法；第 6 步,从剩下的 8 个字母中选1 个,放在第6 位,有 8 种选法依据分步乘法计数原理,字母组合在左的牌照共有 26 × 25× 24× 10× 9× 8=11 232 000 （个） . 同理,字母组合在右的牌照也有 11232 000 个所以,共能给 11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个） . 辆汽车上牌照用两个计数原懂得决计数问题时,最重要的是在开头运算之前要进行认真分析 需要分类仍是需要分步分类要做到“ 不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数,最终用分类加法计数原理求和,得到总数分步要做到“ 步骤完整” 完成了全部步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立分步后再运算每一步的方法数,最终依据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数练习1乘积（a 1a2a3b 1b 2b 3c 1c 2c 3c4c 5绽开后共有多少项？2某电话局管辖范畴内的电话号码由八位数字组成,其中前四位的数字是不变的,后四名师归纳总结 位数字都是；到 9 之间的一个数字,那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？第 7 页,共 33 页.7 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二次备课3从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名,有多少种不同的选法？4某商场有 6 个门,假如某人从其中的任意一个门进人商场,并且要求从其他的门出去,共有多少种不同的进出商场的方式？例 1. 一蚂蚁沿着长方体的棱 条？, 从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少解 : 从总体上看 , 如, 蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法 , 从局部上看每类又需两步完成,所以 , 第一类 , m1 = 1× 2 = 2 条其次类 , m2 = 1× 2 = 2 条第三类 , m3 = 1× 2 = 2 条所以 , 依据加法原理 , 从顶点 A 到顶点 C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条例 2 . 如图 , 要给地图 A、B、C、D四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种 , 答应同一种颜色使用多次 , 但相邻区域必需涂不同的颜色 , 不同的涂色方案有多少种？解 : 按地图 A、B、C、D四个区域依次分四步完成 , 第一步 , m1 = 3 种, 其次步 , m2 = 2 种, 第三步 , m3 = 1 种, 第四步 , m4 = 1 种, 所以依据乘法原理 , 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 × 1× 1 = 6 变式1,如图 , 要给地图 A、B、 C、D四个区域分别涂上3 种不同颜色中的某一种, 答应同一种颜色使用多次 , 但相邻区域必需涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？2 如颜色是 2 种, 4 种, 5 种又会什么样的结果呢？75600 有多少个正约数.有多少个奇约数. 成i,2lk3j5k7l的形式,其中解 : 由于 75600=24× 33× 5 2× 7 1 75600的每个约 数都可以写0i4,0j3,0k2,0l1, 即j,l分别在各自的范畴内任取一个于是 , 要确定75600 的一个约数 , 可分四步完成值 , 这样 i 有 5 种取法 , j 有 4 种取法 , k 有 3 种取法 , l 有 2 种取法 , 依据分步计数原理得约数的个数为 5× 4× 3× 2=120 个. ？课堂小结1分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理,是推导排列数、组合数公式的理论依据,也是求解排列、组合问题的基本思想 .8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2懂得分类加法计数原理与分步乘法计数原理,并加区分分类加法计数原理针对的是“ 分类” 问题,其中各种方法相对独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“ 分步” 问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成后才算做完这件事 .3运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的留意点：分类加法计数原理：第一确定分类标准,其次满意：完成这件事的任何一种方法必属于某一类,并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法,即 " 不重不漏 ". 分步乘法计数原理：第一确定分步标准,其次满意： 必需并且只需连续完成这 n 个步骤,这件事才算完成 . 安排问题把一些元素分给另一些元素来接受这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题因为这涉及到两类元素：被安排元素和接受单位而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的,于是遇到这类问题便手足无措了事实上, 任何排列问题都可以看作面对两类元素例如,把10 个全排列,可以懂得为在10 个人旁边,有序号为 1,2, , 10 的 10 把椅子,每把椅子坐一个人,那么有多少种坐法？这样就显现了两类元素,一类是人,一类是椅子；于是对眼花缭乱的常见安排问题,可归结为以下小的“ 方法结构”：m . 每个“ 接受单位”至多接受一个被安排元素的问题方法是 A,这里 n m . 其中 m 是“ 接受单位” 的个数；至于谁是“ 接受单位”,不要管它在生活中原先的意义,只要 n m .少个数为 m 的一个元素就是“ 接受单位”,于是,方法仍可以简化为 A 多. 这里的“ 多” 只要“ 少”. . 被安排元素和接受单位的每个成员都有“ 归宿”是分组问题的运算公式乘以k A. 七、教学设计八、板书设计九、课后反思, 并且不限制一对一的安排问题,方法名师归纳总结 .9 第 9 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第课时总第教案二次备课课型： 新授课主备人：审核人：12 1 排列一、教学目标：1. 明白排列数的意义,把握排列数公式及推导方法,从中体会“ 化归” 的数学思想,并能运用排列数公式进行运算；2. 能运用所学的排列学问,正确地解决的实际问题二、教学重难点：重点：排列、排列数的概念难点：排列数公式的推导三、教学方法讲授法四、教学过程一、复习引入： 1 分类加法计数原理：做一件事情,完成它可以有 n 类方法,在第一类方法中有 m 种不同的方法,在其次类方法中有 m 种不同的方法, ,在第 n 类方法中有 m 种不同的方法 那么完成这件事共有 N m 1 m 2 L m n 种不同的方法2. 分步乘法计数原理：做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m 种不同的方法,做其次步有 m 种不同的方法, ,做第 n 步有 m 种不同的方法,那么完成这件事有N m 1 m 2 L m n 种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理 ,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 ,区分在于 :分类加法计数原理针对的是“ 分类” 问题 ,其中各种方法相互独立 ,每一种方法只属于某一类 ,用其中任何一种方法都可以做完这件事 ;分步乘法计数原理针对的是“ 分步” 问题 ,各个步骤中的方法相互依存 ,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤 ,只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原懂得题 :1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成仍是分步完成 ,“ 类” 间相互独立, “ 步” 间相互联系；3.有无特殊条件的限制二、讲解新课：问题 1从甲、乙、丙3 名同学中选取2 名同学参与某一天的一项活动,其中一名同学参与上午的活动,一名同学参与下午的活动,有多少种不同的方法？名师归纳总结 .分析：这个问题就是从甲、乙、丙3 名同学中每次选取2 名同学,依据参与上午的活动在前,第 11 页,共 33 页参与下午活动在后的次序排列,一共有多少种不同的排法的问题,共有6 种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙,其中被取的对象叫做元素11 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二次备课解决这一问题可分两个步骤：第 1 步,确定参与上午活动的同学,从 3 人中任选 1 人,有 3 种方法；第 2 步,确定参与下午活动的同学,当参与上午活动的同学确定后,参与下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选,于是有 2 种方法依据分步乘法计数原理,在 3 名同学中选出 2 名,依据参与上午活动在前,参与下午活动在后的次序排列的不同方法共有 3× 2=6 种,如图 1.2 一 1 所示图 1.2 一 1 把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题可表达为：从3 个不同的元素 a , b ,；中任取 2 个,然后依据肯定的次序排成一列,一共有多少种不同的排列方法？全部不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3 × 2=6 种3 个排成一个三位数,共可得到多少个不同问题 2从 1,2,3,4这 4 个数字中, 每次取出的三位数？分析 ：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数,在 4 个字母中任取 1 个,有 4种方法；其次步确定中间的数,从余下的 3 个数中取,有 3 种方法；第三步确定右边的数,从余下的 2 个数中取,有 2 种方法由分步计数原理共有：4× 3× 2=24 种不同的方法,用树型图排出,并写出全部的排列 由此可写出全部的排法明显,从 4 个数字中,每次取出 3 个,按“ 百”“ 十” “ 个” 位的次序排成一列,就得到一个三位数因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分三个步骤来解决这个问题：第 1 步,确定百位上的数字,在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个,有 4 种方法；第 2 步,确定十位上的数字,当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取,有 3 种方法；第 3 步,确定个位上的数字,当百位、 十位上的数字确定后,个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取,有 2 种方法依据分步乘法计数原理,从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中,每次取出 3 个数字,按“ 百” “ 十” “ 个” 位的次序排成一列,共有4× 3× 2=24 种不同的排法,因而共可得到24 个不同的三位数,如图1. 2 一 2 所示由此可写出全部的三位数：123, 124, 132, 134, 142, 143,213, 214, 231, 234, 241, 243,12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二次备课312,314, 321, 324, 341, 342,412,413, 421, 423, 431, 432 ；同样,问题 2 可以归结为：从 4 个不同的元素a, b, c, d 中任取 3 个,然后依据肯定的次序排成一列,共有多少种不同的排列方法？全部不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有 4× 3× 2=24 种. 树形图如下 a b 2排列的概念：从 n 个不同元素中,任取 m（ m n ）个元素（这里的被取元素各不相同）依据肯定的次序 排 成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素,按肯定的次序排列；（2）两个排列相同的条件：元素完全相同,元素的排列次序也相同 3排列数的定义：从 n 个不同元素中, 任取 m（ m n）个元素的全部排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素m 的排列数,用符号 A 表示留意区分排列和排列数的不同：“ 一个排列” 是指：从 n 个不同元素中,任取 m 个元素依据一 排成一列,不是数； “ 排列数” 是指从 n 个不同元素中,任取 m （ m n ）个元素的m 全部排列的个数,是一个数 所以符号 A 只表示排列数,而不表示详细的排列4排列数公式及其推导：由2 A 的意义：假定有排好次序的2 个空位,从 n 个元素a a2,Kan中任取 2 个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,全部不同的填法的种数就是排列数n n1种填法,2 A = n n12 A 由分步计数原理完成上述填空共有由此,求3 A 可以按依次填3 个空位来考虑,3 A = n n1n2,求m A n以按依次填 m 个空位来考虑m A nn n1n2Lnm1,排列数公式：名师归纳总结 .m A nn n1 n2Lnm113 第 13 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （m nN,mn ）二次备课说明：（1）公式特点：第一个因数是n ,后面每一个因数比它前面一个少 1,最终一个因数是 n m 1,共有 m 个因数；（ 2）全排列：当 n m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列n全排列数：A n n n 1 n 2 L 2 1 n .（叫做 n 的阶乘）另外,我们规定 0. =1 . 五、课后总结排列的特点：一个是“ 取出元素” ；二是“ 依据肯定次序排列” , “ 肯定次序” 就是与位置有关,这也是判定一个问题是不是排列问题的重要标志；依据排列的定义,两 个排列相同,且仅当两个排列的元素完全相同,而且元素的排列次序也相同 . 明白排列 数的意义,把握排列