2022年高考数学二轮复习专题辅导资料专题转化与化归思想.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载专题三 ：转化与化归思想【考情分析】转化与化归思想在高考中占有特别重要的位置,数学问题的解决, 总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新学问向旧学问的转化、复杂问题向简洁问题的转化、不同数学问题之间的相互转化、实际问题向数学问题转化等各种变换、详细解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到全部的数学教学内容和解题过程中；数学问题解答题离不开转化与化归,它即是一种数学思想又是一种数学才能,高考对这种思想方法的考查所占比重很大,是历年高考考查的重点；推测 20XX年高考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分别变量,求范畴等；（2）数与形的相互转化：如解析几何中斜率、函数中的单调性等；（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化；（4）显现更多的实际问题向数学模型的转化问题；【学问交汇】转化与化归思想方法, 就是在争论和解决有关数学问题时采纳某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简洁的问题,将难解的问题通过变换转化为简洁求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题；从某种意义上说, 数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化,进而达到解题目的的一个探究过程；1转化有等价转化与非等价转化；等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果；非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根）突破口；2常见的转化方法,它能带来思维的闪光点,找到解决问题的转化与化归思想方法用在争论、解决数学问题时, 思维受阻或寻求简洁方法或从一种状 况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是胜利的思维方式；常见的转化方法有：（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“ 换元” 把非标准形式的方程、不等式、函数转化为简洁解决的基 本问题；（3）参数法：引进参数,使原问题的变换具有敏捷性,易于转化；（4）构造法：“ 构造” 一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重 要途径；（6）类比法：运用类比推理,推测问题的结论,易于确定转化的途径；（7）特别化方法：把原问题的形式向特别化形式转化,并证明特别化后的结论适合原 问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（8）一般化方法：如原问题是某个一般化形式问题的特别形式且有较难解决,可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的；（10）补集法：（正难就反）如过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合 A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集 CU A 获得原问题的解决；3化归与转化应遵循的基本原就：（1）熟识化原就：将生疏的问题转化为熟识的问题,以利于我们运用熟知的学问、经验和问题来解决；（2）简洁化原就：将复杂的问题化归为简洁问题,通过对简洁问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原就：化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式, 或者转化命题, 使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原就：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难就反原就：当问题正面争论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解；4转化与化归的指导思想1把什么问题进行转化,即化归对象；2化归到何处去,即化归目标；3如何进行化归,即化归方法；化归与转化思想是一切数学思想方法的核心；【思想方法】题型 1：集合问题例 1（2022 广东理 2）已知集合 A= x,y|x ,y 为实数,且 x 2y 2 1 ,B=x,y |x ,y为实数,且 y=x,就 A B的元素个数为（）A0 B 1 C2 D3 解析 : 集合 A 表示由圆 x 2 y 21 上的全部点组成的集合 ; 集合 B 表示直线 y x 上的全部点组成的集体 , 由于直线经过圆内的点 O0,0, 故直线与圆有两个交点 , 应选 C.（2）已知函数 f x 4 x 22 p 2 x 2 p 2p 1 , 在区间 1,1 上至少存在一个实数 c 使f c 0 , 求实数p的取值范畴 .分析 : 运用补集概念求解；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解答：设所学习必备p欢迎下载范围为A,就求的C IAp在 1,1上函数fx4x22 p2 x2p2p10留意到函数的图象开口向上 ；AC IApf 1 2p223p90pp3 或p3f1 2pp102P3P3通过转化, 将不熟识和难解的集合问题转化为熟知的易解的2点评： 对于很多集合问题,问题,将抽象的问题转化为详细的直观的问题,便于将问题解决；题型 2：函数问题名师归纳总结 x例 2（2022 天津理 21）已知函数fxx exxRx1对称证明当第 3 页,共 10 页（）求函数fx 的单调区间和极值；（）已知函数yg x 的图象与函数yfx 的图象关于直线1时,fxg x ；F（）假如x 1x ,且fx 1fx 2,证明x 1x 22；1；解析：（）fx1xex令fx1xex0,就x当x变化时,fx,fx 的变化情形如下表：x,111,fx0fx增极大值减x1对称,所以fx 在区间,1 内是增函数,在区间1,内是减函数；函数fx 在x1处取得极大值f1且f11e（）由于函数yg x 的图象与函数yfx 的图象关于直线所以g xf2x ,于是g x2xx e2xx2 2,e记F xfxg x,就F xx exxx12 ex21 ex,当x1时,2x20,从而2 ex210,又ex0,所以Fx0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是函数F x在区间1,学习必备欢迎下载上是增函数由于F1e1e10,所以, 当x1时,F xF10因此fxx 1g x （） 1 如x 11x 210,由（）及fx 1fx 2,得x 1x ,与x 矛盾；2 如 x 1 1 x 2 1 0,由由（）及 f x 1 f x 2 ,得 x 1 x ,与 x 1 x 冲突；依据 1,2可得 x 1 1 x 2 1 0不妨设 x 1 1, x 2 1由（）可知 f x 2 g x 2 f 2 x 2,所以 f x 1 f x 2 g x 2 f 2 x 2由于 x 2 1,所以 2 x 2 1,又 x 1 1,由（）,f x 在区间 ,1 内是增函数,所以 x 1 2 x ,即 x 1 x 2 2点评：函数、方程与不等式就像“ 一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮忙,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值 围题型 3：不等式问题 例 3值域 问题,从而求出参变量的范（1）（2022 四川文 11）某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车某天需运往 A地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运输一次派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运输一次可得利润 450元；派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人, 运输一次可得利润 350 元,该公司合理方案当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为B（A） 4650 元江 苏（B）4700 元Ax,（C）4900 元（D）5000 元（ 2 ）（ 202214 ） 设 集 合y|mx22y2m2,x,yR , 2x ,y|2mxy2m,1x ,yR , 如AB,就 实 数m的 取 值 范 围 是_；名师归纳总结 u解析：（ 1）C：设派用甲型卡车x（辆）,乙型卡车y（辆）,获得的利润为u（元）,第 4 页,共 10 页xy12,2xy19,450x350y, 由 题 意 , x 、 y 满 足 关 系 式10x6y72,作 出 相 应 的 平 面 区 域 ,u0x8,0y7,450x350y509x7 y 在由xxyy12,确定的交点 7,5 处取得最大值4900 元,选 C219评析：将最大值转化为y 轴上的截距,将m 等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载C,此题主要考察了用平面区域二元一次不等式组,属中档题；以及简洁的转化思想和数形结合的思想,（2）解析：当m0时,集合 A 是以（ 2,0）为圆心,以m 为半径的圆,集合B 是在两条平行线之间；22 m1m12m20,由于AB,此时无解；当m0时,22集合 A 是以（ 2,0）为圆心,以m 和 m 为半径的圆环,集合 2B 是在两条平行线之间,必；有2 2m1m；2 22 mm221m21 .又由于mm2,1m21222【温馨提示】此题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分别变量转化为最值的方法求解；构造函数解题是数学中的常用方法,通过奇妙地构造帮助函数,把原先的问题转化为争论帮助函数的性质,从而达到解题目的；题型 4：三角问题例 4（1）（2022 四川理 6）在ABC中sin22 sinBsin2CsinBsinC . 就 A 的取值范畴是 A02,6 B bC6,2 c0析,3 D 13, 正0弦定；理答：解意案；：由题a2bc2bc2c2abcb2c2a2cosA1A3bc2点评：本小题主要考查解三角形学问,并突出了边角互化这一转化思想的 应用；（2）如 04,sincosa,sincosb ,就（a2）的大小A abB aba 与 b 大小比较转化为与b2C ab1D ab2解析：如直接比较a 与 b 的大小比较困难,如将比较就简洁多了；名师归纳总结 由于 a21sin2,b21sin2第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又由于 0222学习必备欢迎下载所以 sin2bsin2,所以 a2b2又由于 a,0 ,所以 ab应选（ A）；点评：表达在三角函数中是切割化弦、最值、比较大小等问题；题型 5：数列问题统一角、统一函数名称、 换元等手段处理求值 （域）、例 5（2022 辽宁理数, 16）已知数列a n满意a 133,a n1an2 , n 就na的最小n值为 _. 【答案】212【命题立意】此题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判定函数单调性,考查了同学们综合运用学问解决问题的才能；【解析】 an=an-an-1+an-1-an-2+ +a2-a1+a1=21+2+ n-1+33=33+n 2-n所以 a n 33 n 1n n设 f n 33 n 1,令 f n 332 1 0,就 f n 在 33, 上是单调递增,n n在 0, 33 上是递减的,由于 nN+, 所以当 n=5 或 6 时 f n 有最小值；又由于 a 5 53,a 6 63 21,所以,a n 的最小值为 a 6 215 5 6 6 2 n 6 2 .点评： 数列是一种特别的函数,动态的函数观点是解决数列问题的有效方法；数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数；如等差数列 a n 的通项公式 a n a 1 n 1 d dn a 1 d ,前 n 项的和公式S n na 1 n n 1 d d n 2 a 1 d n；当 d 0 时,可以看作自变量 n 的一次和二次2 2 2函数；因此利用函数的思想方法去争论数列问题不仅能加深对数列的懂得,也有助于同学解题思维才能的培育及增强应用函数思想解题的意识；题型 6：立体几何问题例 6（1）假如,三棱锥 P ABC 中,已知 PABC,PA=BC=l ,PA,BC 的公垂线 ED=h 求证三棱锥 PABC 的体积 V 1 l h ；26分析：如视 P 为顶点, ABC 为底面,就无论是S ABC 以及高 h 都不好求 如名师归纳总结 果观看图形, 换个角度看问题, 制造条件去应用三棱锥体积公式,就可走出困境第 6 页,共 10 页解析：如图,连结EB,EC,由 PABC,PAED,EDBC=E ,可得 PA面 ECD 这样,截面ECD 将原三棱锥切割成两个分别以ECD 为底面,以PE、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载AE 为高的小三棱锥,而它们的底面积相等,高相加等于PE+AE=PA=l ,所以V PABC =V PECD+V AECD=1 3SECD.AE+ 1 3SECD.PE=1 3SECD .PACD上, M是侧棱 SC MAB；（ 83 年全国高=1 3.1 2BC· ED· PA=V12 l h ；6点评：帮助截面ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解；（2）如图,在三棱锥S-ABC中, S 在底面上的射影N位于底面的高上的一点,使截面MAB与底面所成角等于NSC；求证： SC垂直于截面考）分析：由三垂线定理简洁证明 SCAB,再在平面 SDNC中利用平面几何学问证明 SCDM；证明：由已知可得：SN底面 ABC,ABCD,CD是斜线 SC在底面 AB的射影, ABSC； ABSC、 ABCD AB平面 SDNC MDC就是截面 MAB与底面所成的二面角 由已知得 MDC NSC 又 DCM SCN DCM SCM DMC SNCRt即 SCDM 所以 SC截面 MAB；点评：立体几何中有些问题的证明,可以转化为平面几何证明来解决,即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何学问；题型 7：解析几何问题名师归纳总结 例 7（1）设 x、y R且 3x2 2y2 6x,求 x2y2 的范畴；k 范畴的第 7 页,共 10 页分析：设 kx2y2 ,再代入消去y,转化为关于x 的方程有实数解时求参数问题；其中要留意隐含条件,即x 的范畴；解析：由 6x3x22y2 0 得 0x2；设 kx2 y2,就 y2kx2 ,代入已知等式得：x2 6x2k0 ,即 k1 2x23x,其对称轴为x3；由 0x2 得 k0,4；所以 x2y2 的范畴是： 0x2 y2 4；另解：数形结合法（转化为解析几何问题）：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由 3x2 2y2 6x 得x 1学习必备欢迎下载其一个顶点在坐标原点；2 2 y 31,即表示如下列图椭圆,2x 2 y 2的范畴就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方；由图可知最小值是 0, 距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点；设圆方程为 x 2 y 2 k,代入椭圆中消 y 得 x 2 6x 2k0；由判别式 368k0 得 k4, 所以 x 2y 2 的范畴是： 0x 2 y 2 4；再解：三角换元法,对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：2 x 1 cos由 3x 2 2y 2 6x 得x 1 2 y31,设y 6sin,就2 2x 2 y 212cos cos 2 3 sin 2 13 2cos 1 cos 2 2 2 21 cos 2 2cos 50,4 2 2所以 x 2 y 2 的范畴是： 0x 2 y 2 4；点评： 题运用多种方法进行解答,实现了多种角度的转化,联系了多个学问点,有助于提高发散思维才能；此题仍可以利用均值换元法进行解答；各种方法的运用, 分别将代数问题转化为了其它问题,属于问题转换题型；（2）（2005 全国卷（理）第 15 题）： ABC的外接圆的圆心为 O ,两条边上的高的交点为 H, OH m（ OA OB OC ）,就实数 m分析： 假如用一般的三角形解决此题较难,不妨设 ABC是以 A 为直角的直角三角形,就 O 为斜边 BC上的中点, H 与 A 重合, OA OB OC OA OH ,于是得出 m1；点评：这种通过特别值确定一般性结果的思路仍有很多,如归纳、猜想、证明的方法,过定点问题,定值问题也可以用这样的思路；题型 8：详细、抽象问题例 8（2004 浙江卷（理）第 12 题）：如 f（x）和 g（ x）都是定义在实数集 R 上的函数,且方程 xfg（x） 0 有实数解,就 gf（x）不行能是（）（ A）x 2x1（B） x 2x1（C）x 21（D）x 215 5 5 5分析：此题直接解不简洁,不妨令 f（x） x,就 f g（x） g（x）,gf（x） g（x）,xfg（x） 0 有实数解即 xg（x） 0 有实数解；这样很明显得出结论,B 使 xg（x） 0 没有实数解,选 B 这种从抽象到详细再到抽象,使同学从心理上感到特别轻松,象这样常见抽象函数式仍有一次函数型 f（xy） f（x） f（y） m,对数函数型 f（ xy） f（x） f（y）,幂函数型 f（xy） f（x）f（y）；名师归纳总结 点评：把抽象问题详细化是在数学解题中常有的化归途径,它是对抽象问题的懂得和再第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载熟识,在抽象语言与详细事物间建立联系,从而实现抽象向详细的化归；题型 9：正难就反转化问题例 9（ 2022 山东理 20）等比数列 a n 中,a a 2 , a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a a 2 , a 中的任何两个数不在下表的同一列 . 第一列 其次列 第三列第一行 3 2 10 其次行 6 4 14 第三行 9 8 18 （）求数列 a n 的通项公式；（）如数列 b n 满意：b n a n 1ln a ,求数列 b n 的前 2n项和 S 2n . 【解析】（）当 a 1 3 时,不合题意；当 a 1 2 时,当且仅当 a 2 6, a 3 18 时,符合题意；当 a 1 10 时,不合题意；由题意知 a 1 2, a 2 6, a 3 18 , 由于 a n 是等比数列 , 所以公比为 3, 所以数列 a n 的n 1通项公式 a n 2 3 . （）由于 b n a n 1 ln a = 2 3 n 1 1ln 2 3 n 1, 所以 S n b 1 b 2 b nn a 1 a 2 a n ln a 1 ln a 2 ln a n = 21 3 -ln a a a n = 3 n1-1 3n 1 2 n 1ln2 1 3 3 3 = n n 13 n1-ln2 n3 2 , 所 以2 2 n 1S 2n = 3 2 n1-ln2 2 n3 2 =9 n1-2 ln 2 2 n 2n ln 3；点评：一些数学问题,假如从条件动身,正面考虑较难较繁,不妨调整摸索方向,从问题的结论入手, 或从问题的条件与结论的反面入手进行摸索,迂回地得到解题思路,这叫做“正难就反 ” ；“正难就反 ”是一种重要的解题策略,敏捷用之,能使很多难题、趣题和生活中的问题获得巧解；题型 10：实际应用问题例 10把一块钢板冲成上面是半圆形,下面是矩形的零件,其周长是 P,怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积；分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决；名师归纳总结 解析：如图,设矩形的一边长为x,就半圆的周长为xA ·O D 第 9 页,共 10 页2B x C - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 矩形的另一边长为AB1P学习必备=欢迎下载42 xxx 22P2设零件的面积为S,就1 S=24x2x2P2 x=84x2Px2AB=P4；42a0 当xb2 P时, S有最大值,这时2 a4当矩形的两邻边AB 与 BC之比为 12 时, Smax=8P；2点评：实际问题转化为数学问题,用数学结果说明最终的实际问题；【思维总结】1娴熟、扎实地把握基础学问、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏微小的观看、 比较、类比是实现转化的桥梁；培育训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、 公式、法就有本质上的深刻懂得和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发觉事物之间的本质联系；“ 抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙；2为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去熟识问题,又可以从几何的角度去解决问题；3留意紧盯化归目标,保证化归的有效性、规范性化归作为一种思想方法,应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素；因此,化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、挑选好方法,而设计目标是问题的关键； 设计化归目标时, 总是以课本中那些基础学问、基本方法以及在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据,而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化） ；化归能不能如期完成,与化归方法的挑选有关,同时仍要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性；因此,在解题过程中,必需始终紧紧盯住化归的目标,即应当始终考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的；在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的,盲目地挑选化归的方向与方法必将走入死胡同；4留意化归的等价性,确保规律上的正确化归包括等价化归和非等价化归,等价化归后的新问题与原问题实质是一样的,不等价化归就部分地转变了原对象的实质,需对所得结论进行必要的修正；高中数学中的化归大多要求等价化归, 等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的,又是必要的, 以保证转化后的结果为原题的结果；假如在解题过程中没有留意化归的等价性,就会犯不合实际或偷换论题、 偷换概念、以偏概全等错误；例如在解应用题时要留意原题中数量的实际意义,在经过数学变换后, 应将所得的结果按实际意义检验；否仍旧保持；解方程或不等式时应留意变换的同解性是数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程,没有一个统一的模式可以遵循,而是在多方领会、反复应用的基础上形成的,化归也不例外；同学在解题过程中,必需依据问题本身供应的信息,利用动态的思维,多方式、多途径、有方案、有步骤地反复渗透,要善于反思解题过程, 倒摄解题思维, 回味解题中所使用的思想,方法；正如笛卡尔所说的：走过两遍的路就是方法；去寻求有利于问题解决的化归途径和名师归纳总结 - 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