2022年近年中考数学压轴题大集合.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载近年中考数学压轴题大集合（二）17.如图,在平面直角坐标系内,C 与 y 轴相切于 D 点,与 x 轴相交于 A （2,0）、B（ 8,0）两点,圆心 C 在第四象限 . （1）求点 C 的坐标；（2）连结 BC 并延长交 C 于另一点 E,如线段BE 上有一点 P,使得AB 2BP· BE ,能否推出 AP BE？请给出你的结论,并说明理由；（3）在直线BE 上是否存在点 Q,使得 AQ 2BQ· EQ？如存在,求出点 Q 的坐标；如不存在,也请说明理由 . 解 （1） C（5,-4）；（ 2 ） 能 ； 连 结 AE , BE 是 O 的 直 径 , BAE=90° . 在 ABE 与 PBA 中, AB2BP· BE , 即ABBE, 又BPABABE= PBA, ABE PBA . BPA= BAE=90° , 即 AP BE . （3）分析： 假设在直线 EB 上存在点 Q,使 AQ 2BQ· EQ. Q 点位置有三种情形：如三条线段有两条等长,就三条均等长 ,于是简单知点 C 即点 Q；如无两条等长, 且点 Q 在线段 EB 上,由 Rt EBA 中的射影定理知点 Q 即为 AQ EB 之垂足；如无两条等长,且当点 Q 在线段 EB 外,由条件想到切割线定理,知 QA 切 C 于点 A.设 Q t , y t ,并过点 Q 作 QRx 轴于点 R,由相像三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法 . 解题过程： 当点 Q1 与 C 重合时, AQ 1=Q 1B=Q 1E, 明显有 AQ 1 2BQ 1· EQ1 , Q15, -4符合题意；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载 当 Q2 点在线段 EB 上, ABE 中, BAE=90°点 Q2为 AQ 2 在 BE 上的垂足,AQ 2=ABAE48= 4.8（或24 ）. 5BE10Q2 点的横坐标是2+ AQ 2· cos BAQ 2= 2+3.84=5.84, 又由 AQ 2· sin BAQ 2=2.88, 点 Q2（5.84,-2.88）, 或146 ,72. 2525方法一 ：如符合题意的点Q3 在线段 EB 外, 就可得点 Q3 为过点 A 的 C 的切线与直线BE 在第一象限的交点由 Rt Q3BR Rt EBA , EBA 的三边长分别为6、8、10, 故不妨设 BR=3t ,RQ 3=4t,BQ 3=5t, 由 Rt ARQ 3Rt EAB 得ARRQ AB3 ,EA即63 t4 t得 t=18 ,786 注 : 此 处 也 可 由tgQ3ARtgAEB3列 得 方 程43 t4 t63； 或由 AQ 3 2 = Q3B· Q3E=Q 3R2+AR2列得方4程5 t105 t4 t23 t62等等Q3 点的横坐标为8+3t=110 , Q3 点的纵坐标为 772 ,7即 Q3（110 ,772 ）. 7方法二 ：如上所设与添帮助线, 直线 BE 过 B8, 0, C5, -4, 直线 BE 的解析式是 y 4 x 32. 3 3设 Q3（ t ,4t 32）,过点 Q3 作 Q3Rx 轴于点 R, 3 3易证 Q3AR = AEB 得 Rt AQ 3RRt EAB, 名师归纳总结 RQ3AB, 即4 3t326, 第 2 页,共 46 页3AREAt28t=110,进而点 Q3 的纵坐标为72 , Q3（7110 ,772 ）. 77方法三 ：如符合题意的点Q3 在线段 EB 外,连结 Q3A 并延长交 y 轴于 F, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Q3AB = Q3EA,tgOAFtg优秀教案tg欢迎下载3, Q3ABAEB4在 R t OAF 中有 OF=2×3= 3 ,点 F 的坐标为（ 0,3）, 4 2 2可得直线 AF 的解析式为 y 3 x 3, 4 2又直线 BE 的解析式是 y 4 x 32, 3 3可得交点 Q3（110 ,72 ）. 7 718.如图 1,抛物线关于 y 轴对称,顶点 C 坐标为（ 0,h ） h>0, 交 x 轴于点 A（d,0）、B（-d,0）（d>0）；（1）求抛物线解析式（用h、d 表示）；x 轴,垂足依次在线段AB 的（2）如图 2,将 ABC 视为抛物线形拱桥,拉杆均垂直6 等分点上； h=9 米；i 求拉杆 DE 的长度；ii 如 d 值增大,其他都不变,如图3；拉杆 DE 的长度会B y F A x 转变吗？ 只需写结论 C （3）如图 4,点 G 在线段 OA 上,OG=kd（比例系数k 是常数,0k1）,GF x 轴交抛物线于点F；摸索究 k 为何值时,O G tgFOG= tg CAO ？此时点 G 与 OA 线段有什么关系？图 4 解 （ 1）用顶点式,据题意设y=ax2+h 代入 A （d, 0）得 a=hd2y=hx2+h y=9x2+9 d22ih=9 ,代入（ 1）中解析式得d2据题意 OE=2d,设 D（2d,yD）33点 D 在抛物线上, yD=92d2+9=5, DE=5 米；d23ii 拉杆 DE 的长度不变；名师归纳总结 （3）OG=kd ,点 F 坐标可设（ kd,yF）代入 y=hx2+h ,得：第 3 页,共 46 页d2yF= h1 k2 tgFOG= tg CAO ,h 1k2=hkdd51（ 0<k<1 ,舍）1k21k2k10解得k151k2k22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k51优秀教案欢迎下载,此时点 G 是线段 OA 的黄金分割点；219.已知：抛物线经过A （2,0）、B（8,0）、C（0,163）3（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为P,把 APB 翻折,使点C 3P 落在线段 AB 上（不与 A 、B 重合）,记作P ,/折痕为 EF,设 A/ P = x ,PE = y,求 y 关于 x的函数关系式,并写出定义域；O （3）当点/ P 在线段 AB 上运动但不与A 、B 重合时,能否使EF/ P 的一边与x 轴垂直？如能,恳求出此时点/ P 的坐标；如不能,请你说明理由；解 （ 1）设yax2x8 把0,163代入得a333y3x2x8 即y3x2103x163333（2）顶点 P（5 ,33AP=AB=BP=6 名师归纳总结 作'' P A P0 6 01x,P' G23x第 4 页,共 46 页P'GAP于 G,就AG22又P'EPEy,EG6yy21xy2EG中,3x 2在RtP61x22yx26xx360x6 12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）如EP'x轴就6y优秀教案欢迎下载2x2x 6 x 366 2 x 1x 12 6 3,x 2 12 6 3（舍去）12 xP ' 14 6 3 0, 如 FP ' x 轴 就 6 y 1 x226 x 6 x 36 1x x 3 6 3 6,x 4 6 3 6（舍去）12 x 2P ' 6 3 4 , 0 如 EF x 轴,明显不行能；P ' 14 6 3 0, 或 P ' 6 3 ,4 0 220.已知抛物线 C ：y x 2 mx n （ m , n 为常数,且 m0,n 0）的顶点为 A ,与 y 轴交于点 C ；抛物线 C 与抛物线 C 关于 y 轴对称,其顶点为 B ,连接 AC ,BC ,AB 2注：抛物线 y ax 2bx c a 0 的顶点坐标为 b,4 ac b2 a 4 a（1）请在横线上直接写出抛物线C 的解析式： _ ；名师归纳总结 （2）当m1 时,判定ABC的外形,并说明理由；m 的值；第 5 页,共 46 页（3）抛物线C 上是否存在点P ,使得四边形ABCP 为菱形？假如存在,恳求出x假如不存在,请说明理由y解 （ 1）yx22 mxn （2）当m1 时,ABC为等腰直角三角形理由如下：O如图：点 A 与点 B 关于 y 轴对称,点 C 又在 y 轴上,ACBC 过点 A 作抛物线C 的对称轴交 x 轴于 D ,过点 C 作 CEAD 于 E 当m1时,顶点 A 的坐标为A11,n,CE1又点 C 的坐标为0,n,AE1nn1AECE - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从而ECA45,ACy45优秀教案欢迎下载由对称性知BCyACy45,ACB90BC ABC为等腰直角三角形（3）假设抛物线C 上存在点 P ,使得四边形ABCP 为菱形,就 PCAB由（ 2）知, ACBC ,ABBCAC 从而ABC为等边三角形ACyBCy30四边形 ABCP 为菱形,且点P在C 上,点 P 与点 C 关于 AD 对称PC 与 AD 的交点也为点E ,因此ACE903060点 A,C的坐标分别为A m,2 mn,C0,n,AE2 mnn2 m,CEm在 RtACE中,tan60AE2 m3CEmm3,m3故抛物线C 上存在点 P ,使得四边形ABCP 为菱形,此时m3y21.如图,点 O 是坐标原点, 点 A（n,0）是 x 轴上一动点 n0）以 AO 为一边作矩形 AOBC,点 C 在其次象限,且 OB2OA矩形 AOBC 绕点 A 逆时针旋转 90 o 得矩形 AGDE 过点 A的直线 ykxm 交 y 轴于点 F,FB FA抛物线 y=ax 交于点 H,过点 H 作 HM x 轴,垂足为点 M1求 k 的值；2+bx+c 过点 E、F、G 且和直线 AF名师归纳总结 2点 A 位置转变时,AMH 的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否转变？说明你的理由第 6 页,共 46 页解 （ 1）依据题意得到：E（3n, 0）,G（n, n）当 x0 时, ykxmm,点 F 坐标为（ 0,m）yCBMDGFEAOx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Rt AOF 中, AF2m2n优秀教案欢迎下载2,FBAF ,m2n2-2nm2,化简得： m 0.75n,对于 ykxm,当 x n 时, y0,0kn0.75n,k0.75 （2）抛物线 y=ax 2+bx+c 过点 E、F、G,0 9 n 2 a 3 nb c2n n a nb c0 . 75 c解得： a1 ,b1 ,c 0.75n 4 n 2抛物线为 y= 1x 21x0.75n 4 n 2解方程组：y4 1n x 2 12 x 0 . 75 ny 0 . 75 x 0 . 75 n得： x15n,y1 3n；x20,y2 0.75n H 坐标是：（5n,3n）, HM 3n,AM n5n 4n, AMH 的面积 0.5× HM × AM 6n 2；而矩形 AOBC 的面积 2n2, AMH 的面积矩形AOBC 的面积 3:1,不随着点A 的位置的转变而转变22.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC 的斜边 AB 在 x 轴上, AB=25 ,顶点 C 在 y 轴的负半轴上, tanACO= 3 4,点 P 在线段OC 上,且PO、PC 的长 PO<PC是关于x 的方程x2-2k+4x+8k=O的两根1求 AC、BC 的长；2求 P 点坐标；3在 x 轴上是否存在点Q,使以点A、C、P、Q 为顶点的四边形是梯形.如存在,请直接写出直线 PQ 的解析式；如不存在,请说明理由解 1 ACB=900,COAB , ACO= ABC3 4,Rt ABC 中,设 AC=3a ,BC=4a 就 AB=5a ,5a=25 a=5 AC=15, BC=20 1 1 2 SABC = 2AC· BC= 2OC· AB , OC=12 PO+PC=4+2k=12 k=4 方程可化为 x 2-12x+32=O 解得 x 1=4,x2=8 PO<PC名师归纳总结 PO=4 PO, - 4 第 7 页,共 46 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3存在,直线PQ 解析式为： y=- 优秀教案欢迎下载4 3x- 4 或 y=- 4 27- 4 23.如图,在平面直角坐标系中,点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上,线段 OA 、OB 的长 0A<OB 是方程 x 2-18x+72=0 的两个根,点 C 是线段 AB 的中点,点 D 在线段 OC 上, OD=2CD 1 求点 C 的坐标；2 求直线 AD 的解析式；3P 是直线 AD 上的点,在平面内是否存在点Q,使以 0、A、P、Q 为顶点的四边形是菱形.如存在,请直接写出点 Q 的坐标；如不存在,请说明理由解 1OA=6 , OB=12 点 C 是线段 AB 的中点, OC=AC 作 CEx 轴于点 E OE=1 2OA=3 ,CE=1 2OB=6 点 C 的坐标为 3, 6 2作 DFx 轴于点 F OFD OEC,OD OC=2 3,于是可求得OF=2, DF=4 点 D 的坐标为 2, 4 设直线 AD 的解析式为y=kx+b 0 4把 A6 ,0,D2 ,4代人得6 kb2 kb解得k61b 直线 AD 的解析式为y=-x+6 3 存在Q1-3 2,3 2 Q23 2,-3 2 Q33,-3 Q46,6 二、函数与方程综合的压轴题1.已知抛物线y x2mxm2. AB 5 ,试求 m （1）如抛物线与x 轴的两个交点A、B 分别在原点的两侧,并且的值；（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点, 如抛物线上存在关于原点对称的两点 M 、N,并且 MNC的面积等于 27,试求 m 的值 .解（1）设点（ x 1,0）,Bx2,0 . y C 就 x1 ,x 2 是方程 x 2mxm20 的两根 . x 1 x2 m ,x 1·x 2 =m2 0 即 m2 N x 名师归纳总结 O M 第 8 页,共 46 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又 AB x1 x 2 （x 12 + ）2优秀教案欢迎下载4 x x25m 24m3=0. 解得： m=1 或 m=3舍去 , m 的值为 1. （2）设 Ma,b,就 N a, b . M 、 N 是抛物线上的两点, a2mam2b ,2amam2b .得： 2a 22m40 . a 2 m 2. 当 m2 时,才存在满意条件中的两点 M 、N. a 2 m . 这时 M 、N 到 y 轴的距离均为 2 m , 又点 C 坐标为（ 0,2m）,而 S M N C = 27 , 名师归纳总结 2×1 2×（2 m）×2m =27. 第 9 页,共 46 页解得 m=7 . 2. 已知二次函数yx2pxqp,q为常数,=p24q0的图象与x 轴相交于A1x,0,Bx2,0两点,且A , B 两点间的距离为d ,例如,通过争论其中一个函数yx25x6及图象 如图 ,可得出表中第2 行的相交数据；（1）在表内的空格yx2pxqpqx1x2d中填上正确的数；（2）依据上述表内yx25x65 6 1 2 3 1 d 与 的值, 猜想它们之yx21x111间有什么关系？再举一2242个 符 合 条 件 的 二 次 函数,验证你的猜想；yx2x22 2 3 （ 3 ） 对 于 函 数yx2pxqp,q为常数,=p24q0证明你的猜想解 （ 1）第一行q0,x10；d12第三行p1, =9,x21；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）猜想：d2优秀教案欢迎下载例如：yx2x2中；p,1 q2,9；由x2x2x20得x 12,x2,1d,3d29,d2（3）证明；令y0,得x2pxq0, >0 设x2pxq0的两根为x ,2x就x +x2p,x 1x2qd2x 1x 22x 1x22x 1x 224x 13. 已知：二次函数yp24qp24qn1x22mx1图象的顶点在x 轴上（1）试判定这个二次函数图象的开口方向,并说明你的理由；（2）求证：函数 y m 2 x 2 2 n 1 x 1 的图象与 x 轴必有两个不同的交点；（3）假如函数 y m 2 x 2 2 n 1 x 1 的图象与 x 轴相交于点 A（x1,0）、 B（x2,0）,与 y轴相交于点 C,且 ABC 的面积等于 2求这个函数的解析式解 （ 1）二次函数 y n 1 x 2 2 mx 1 图象的顶点在 x 轴上,n 1 0,4 m 2 4 n 1 0m 2 n 1 0又m 2 0,n 1 0这个函数图象的开口方向向上（另解：这个二次函数图象的顶点在x 轴上,且与y 轴的正半轴相交,这个函数图象的开口方向向上（2）m2n0,这个函数是二次函数m204n124m2m210,n120, >0名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数ym2x22n1 优秀教案欢迎下载x1的图象与 x 轴必有两个不同的交点（3）由题意,得x 1x 22n21,x 1x21mm2m2n1,x 1x22n21 216m而ABx 1x2,点 C 的坐标为（ 0,-1）1x 1x 2122x 1x 24x 1x22x 1x224x 1x2224m2m213n113所求的函数解析式为y1x22x1334. 已知二次函数yax2bxc. （1）如 a =2,c = -3,且二次函数的图像经过点（-1,-2）,求 b 的值；（2）如 a =2,b + c = -2,b > c,且二次函数的图像经过点（p , -2）,求证： b0；x = q +4 . （3）如 a + b + c = 0,a > b > c,且二次函数的图像经过点（q , - a）,试问当自变量时,二次函数yax2bxc所对应的函数值y 是否大于 0？请证明你的结论解（1）当 a = 2,c = -3 时,二次函数为y2x2bx3,该函数的图像经过点（-1,-2）,2212b13,解得 b=1.（2）当 a = 2,b + c = -2 时,二次函数为y2x2bxb2该函数的图像经过点（p,-2）,22p2bpb2,即2p2bpb0于是, p 为方程2x2bxb0的根,判别式=b28bb b80又 b + c = -2,b > c,b > -b -2,即 b > -1,有 b + 8 > 0 名师归纳总结 b0. 第 11 页,共 46 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）二次函数yax2bxc优秀教案欢迎下载的图像经过点（q,-a） , aq2bqca0. q 为方程aq2bqca0的根,于是,判别式=b24 a ac0又abc0 =b24 abb b4 b3ac 0又abc0, 且 a > b > c,知 a > 0,c < 0 3a -c > 0 b04ab. 24ab. q 为方程ax2bxca0的根,qbb24 ab或qbb22a2aa4当xq4时,ya q42b q4caq28 aq16 abq4 bc2 aqbqca8 aq15 a4 bb8 aq15 a4 b如qbb24 ab,就2ay8 abb24ab15a4 b152aa > b 0,名师归纳总结 2 b+4abpa2+4a a5a2,即2 b+4abp5 a,-42 b+4 abf-4 5 a第 12 页,共 46 页yf15 a-4 5 a= 15-4 5af04b24ab0. qbb24ab,就如2a15a8 abyb24ab15a4 b2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当xq4时,二次函数yax优秀教案c欢迎下载0.2bx所对应的函数值大于5. 已知：如图, A（0,1）是 y 轴上肯定点, B 是 x 轴上一动点,以 AB 为边,在 OAB 的外部作 BAE OAB ,过 B 作 BCAB ,交 AE 于点 C.1当 B 点的横坐标为 3 时,求线段 AC32当点 B 在 x 轴上运动时,设点 C 的纵、横坐标分别为 y、x,试求 y 与 x 的函数关系式（当点 B 运动到 O 点时,点 C 也与 O3设过点 P（0,-1）的直线 l 与2中所求函数的图 象有两个公共点 M 1x 1,y 1、M 2x 2,y2,且 x1 2+x 226x 1+x 2=8,求直线 l解 1 方法一：在Rt AOB 中,可求得AB 233 OAB BAC , AOB ABC=Rt , ABO ABC ,AO AB,由此可求得：AC 4AB AC 3y 3 A 方法二：由题意知：tanOAB=3 C x OB 3,由勾股定理可求得 AB2 3 O D B H OA 3 3 G 3 4在 ABC 中,tan BAC tan OAB,可求得 AC=3 32方法一：当 B 不与 O 重合时,延长 CB 交 y 轴于点 D,过 C 作 CH x 轴,交 x 轴于点H,就可证得 AC AD ,BD232 AO OB ,AB BD, ABO BDO ,就 OB 2AO × OD,即 x1 y22 2化简得： y= x,当 O、 B、C 三点重合时, y=x=0 , y 与 x 的函数关系式为：y= x4 4方法二：过点 C 作 CGx 轴,交 AB 的延长线于点 H,就 AC 2 1y 2+x 2=1+y 2,化简即可得；名师归纳总结 3设直线的解析式为y=kx+b ,就由题意可得：ykxb,消去 y 得： x2-4kx-4b=0 ,就有第 13 页,共 46 页y1 x 42x 1x24k,由题设知：x 1x24bx12+x 2 2-6x1+x2=8,即4k2+8b-24k=8 ,且 b=-1,就 16k2-24k -16=0 ,解之得： k 1=2,k2=1,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载当 k1=2、b=-1 时, 16k2+16b=64-16>0 ,符合题意；当k2=1,b=-1 时, 16k2+16b=4-16<0 ,不合题意2（舍去）,所求的直线 l 的解析式为： y=2x- 1 6.已知抛物线 y =x 2+mx-2m 2m 01求证：该抛物线与 x 轴有两个不同的交点；2过点 P0,n作 y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点 B点 A 在点 P 的左边 ,是否存在实数m、n,使得 AP=2PB.如存在,就求出m、n 满意的条件；如不存在,请说明理由解 （ 1）m24 1 2 m29m2n0.m00该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）由题意易知点A 、 B 的坐标满意方程：x2mx2m2n ,即x2mx2m2由于方程有两个不相等的实数根,因此0 ,即m24 1 2m2n09m24n0 由求根公式可知两根为：xAABm9 m24n,xBm9m24 m24n4n92 m4n22xBxAm9m24 nm9m22PBxBx Pm9m24n0m9m222分两种情形争论：第一种：点 A在点 P 左边,点 B 在点 P 的右边AP2PB92 m4n9m24 n3m .AB3 PB9m24n3m2m0 .由式可解得n0 .其次种：点 A、 B 都在点 P 左边名师归纳总结 AP2PB第 14 页,共 46 页- - - - - - -精选学习资料 - -