2022年高考数学二轮复习知识点总结椭圆双曲线抛物线3.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载椭圆、双曲线、抛物线高考对本节学问的考查主要有以下两种形式：1. 以挑选、 填空的形式考查, 主要考查圆锥曲线的标准方程、性质 特殊是离心率 ,以及圆锥曲线之间的关系,突出考查基础学问、基本技能,属于基础题 .2. 以解答题的形式考查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解, 直线与圆锥曲线的位置关系,经常在学问的交汇点处命题,有时以探究的形式显现,有时以证明题的形式显现该部分题目多数为综合性问题,考查同学分析问题、解决问题的才能,综合运用学问的才能等,属于中、高档题,一般难度较大圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆x双曲线抛物线定义| PF1| | PF2| | PF1| | PF2| | PF| | PM| 点 F 不在2a2 a>| F1F2| 2a2 a<| F1F2| 直线 l 上,PMl 于 M标准方程2 2xa 2y b 2 1 a>b>0 2 22y b 2 1 a>0, b>0 y22px p>0 a图形几何性质范畴| x| a, | y| b| x| ax0 第 1 页,共 17 页 顶点 ± a, 0 ,0 ,± b ± a, 0 0,0对称性关于 x 轴, y 轴和原点对称关于 x 轴对称焦点 ± c, 0 p 2,0 轴长轴长 2a,短轴长 2b实轴长 2a,虚轴长 2bec a1b a2ec a1b a2细心整理归纳 精选学习资料 离心率e1 220< e<1 e>1 xp 2准线y±b ax渐近线 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -考点一圆锥曲线的定义与标准方程学习必备欢迎下载例 1 2 2 21 设椭圆x 2y m1 和双曲线 y 3x21 的公共焦点分别为F1、F2,P 为这两条曲线的一个交点,就 | PF1| · | PF2| 的值等于 _2 已知直线 y k x2 k0 与抛物线 C：y 28x 相交于 A、B 两点,F 为 C的焦点 如| FA| 2| FB| ,就 k_. 2 2答案 13 2 3解析 1 焦点坐标为 0 ,± 2 ,由此得 m24,故 m6. 依据椭圆与双曲线的定义可得| PF1| | PF2| 2 6,| PF1| | PF2| 2 3,两式平方相减得 4| PF1| PF2| 4× 3, 所以| PF1| · |PF2| 3. 2 方法一抛物线 C：y28x 的准线为 l ：x 2,直线 yk x2 k 0 恒过定点P 2,0 如图,过 A、B分别作 AMl 于点 M,BNl 于点 N. 由| FA| 2| FB| ,就 | AM| 2| BN| ,点 B 为 AP的中点1连接 OB,就 | OB| 2| AF| ,|OB| | BF| ,点 B 的横坐标为 1,故点 B的坐标为 1,2 2 2 2 0 2 2k13 . 方法二 如图,由图可知,BB BF,AA AF,又| AF| 2| BF| ,| BC| | AC| BB | | AA |1 2,即 B 是 AC的中点细心整理归纳 精选学习资料 2xBxA2,与 第 2 页,共 17 页 2yByAy2 A8xA,y2 B8xB, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -联立可得 A4,42 , B1,2学习必备欢迎下载2 kAB422222 3 . 411 对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,仍要深化懂得细节部分：比如椭圆的定义中要求| PF1| | PF2| | F1F2| ,双曲线的定义中要求 焦点的距离与到准线的距离相等的转化2 留意数形结合,提倡画出合理草图| PF1| | PF2| | F1F2| ,抛物线上的点到2 212022 · 山东 已知椭圆 C：x a 2yb 21 a>b>0 的离心率为 2 . 双曲线 3x 2y 21 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,就椭圆 C的方程为 2 2 2 2A.x 8y 21 B.x 12y 61 2 2 2 2C.x 16y 41 D.x 20y 51 2 如图,过抛物线 y 22px p>0 的焦点 F的直线交抛物线于点 A,B,交其准线 l 于点 C,如 | BC| 2| BF| ,且 | AF| 3,就此抛物线的方程为 Ay 29x By 26xCy 23x Dy 23x答案 1D 2C a 2b 3 2解析 1 椭圆的离心率为 2, c aa2,a2b. 椭圆方程为 x 24y 24b 2. 双曲线 x 2 y 2 1 的渐近线方程为 x± y0,渐近线 x± y0 与椭圆 x 2 4y 24b 2 在第一象限的交点为 2 5b,2 5b ,52 5 2 5由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 5b×5b4, b 25,a 24b 220. 2 2椭圆 C的方程为x 20y 51. 2 如图,分别过 A,B 作 AA1l 于 A1,BB1l 于 B1,由抛物线的定义知, | AF| | AA1| ,| BF| | BB1| ,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载|BC| 2| BF| ,| BC| 2| BB1| , BCB 130° , AFx60° .连接 A1F,就 AA1F为等边三角形,过 F 作 FF1AA1 于 F1,就 F1为 AA1的中点,设 l 交 x 轴于 N,就 | NF| | A1F1| 1 2| AA1| 1 2| AF| ,即 p3 2,抛物线方程为y 2 3x,应选 C. 考点二圆锥曲线的几何性质 例 2 12022 · 辽宁 已知椭圆 C：x a2 2y b2F,C与过原点的直线相21 ab0 的左焦点为交于 A,B 两点,连接 AF,BF. 如| AB| 10,| BF| 8,cos ABF4 5,就 C的离心率为 A.3B.5C.4D.657572 2 已知双曲线x 2y a b2F1、F2,点 P 在双曲线的右支21 a>0,b>0 的左、右焦点分别为上,且 | PF1| 4| PF2| ,就双曲线的离心率答案 解析1B 2531 在 ABF中,由余弦定理得e 的最大值为 _| AF| 2| AB| 2| BF| 22| AB| · | BF|cos ABF,|AF| 210064 12836,| AF| 6,从而 | AB| 2 | AF| 2| BF| 2,就 AFBF. 1c| OF| 2| AB| 5,利用椭圆的对称性,设 F 为右焦点,就| BF| | AF| 6,2a| BF| | BF| 14,a7. 因此椭圆的离心率 ec a5 7. 2 设 F1PF2 ,细心整理归纳 精选学习资料 由| PF1| | PF2| 2a,| PF1| 4| PF2|得| PF1| 8 3a, 第 4 页,共 17 页 | PF2| 2 3a,由余弦定理得cos 17a 2 9c28a217 89 8e2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 0,180 ° ,cos 学习必备欢迎下载2<1, 1,1 ,117 8 9 8e又 e>1,1<e5 3. a,b,c 的方程 a,b,c 的方解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范畴问题其关键就是确立一个关于或不等式,再依据a,b,c 的关系消掉b 得到 a,c 的关系式建立关于程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范畴等1 已知 F 是椭圆 C的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF的延长线交 C于点 D,且 BF2 F D,就 C的离心率为 _2 2 22 过双曲线x a 2y b 21 a>0,b>0 的左焦点 F 作圆 x 2y 2a 4的切线,切点为 E,延长FE交双曲线右支于点 P,如 E 为 PF的中点,就双曲线的离心率为 _3 10答案 1 23 2解析 1 设椭圆 C的焦点在 x 轴上,如图, B0 ,b ,F c, 0 ,D xD,yD ,就 BF c, b,FD xDc,yD ,BF 2F D,cxDc,b2yD,3cxD2,yDb 2.又点 D在椭圆 C上,3c2b 221 3. e3 3 . F .2 a 2 1,即 e 2b22 设 ca2b2,双曲线的右焦点为就| PF| | PF| 2a,| FF| 2c. E 为 PF的中点, O为 FF 的中点,细心整理归纳 精选学习资料 OE PF ,且 | PF| 2| OE|. 第 5 页,共 17 页 OEPF,| OE| a 2, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -PFPF , | PF| a,学习必备欢迎下载|PF| | PF| 2a3a. |PF| 2| PF | 2| FF | 2,9a 2a 24c 2,c a2 . 1010双曲线的离心率为 2 . 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系2 2例 3 已知椭圆 C：x a 2yb 21 a>b>0 的离心率 e2,点 F 为椭 2圆的右焦点,点 A、 B 分别为椭圆的左、右顶点,点 M为椭圆的上顶点,且满意· FB21. 1 求椭圆 C的方程；2 是否存在直线l ,当直线 l 交椭圆 于 P、Q两点时,使点F恰为PQM的垂心？如存在,求出直线l 的方程；如不存在,请说明理由解1 依据题意得, F c, 0 c>0 ,A a, 0 ,B a, 0 ,M0 ,b , MF c, b ,FB a c, 0 ,MF· FBacc 221. 又 ec a2 2, a2c,2c 2c 22 1,c 21,a2 2,b21,2椭圆 C的方程为x 2y 21. 2 假设存在满意条件的直线l . kMF 1,且 MFl , kl 1. 设直线 l 的方程为 yxm,P x1,y1 ,Q x2,y2 ,yxm,由 x 22y 21消去 y 得 3x 24mx2m 2 20,就有 16m 2122 m 22>0 ,即 m 2<3,4m 2m 22又 x1x23, x1x23,2y1y2 x1m x2mx1x2m x1x2 m细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2m 2234m 3m 2m 223 . 2学习必备欢迎下载又 F 为 MPQ的垂心,连接 PF,就 PFMQ,PF· MQ0,又PF1 x1, y1 ,MQ x2,y21 ,PF· MQx2y1x1x2y1y2x2x1 m x1x2 y1y24 3mm2m 2 2m 223 33x3y 40. m 2m 34 31 33 m 2m4 1 33 m4 m1 0,m4 3或 m1 舍去 ,经 检验 m4 3符合条件,存在满意条件的直线l ,其方程为1 对于弦中点问题常用“ 根与系数的关系” 或“ 点差法” 求解,在使用根与系数的关系时,要留意使用条件 0,在用“ 点差法” 时,要检验直线与圆锥曲线是否相交2 涉及弦长的问题中,应娴熟地利用根与系数关系、设而不求法运算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解2 2022· 北京 已知 A,B,C是椭圆 W：x 4y 21 上的三个点, O是坐标原点1 当点 B 是 W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积；2 当点 B 不是 W的顶点时,判定四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由解2 1 由椭圆 W：x 4y21,知 B2,0 线段 OB的垂直平分线x 1. 在菱形 OABC中, AC OB,细心整理归纳 精选学习资料 2 将 x1 代入x 4y 21,得 y±3 2 . 33. 第 7 页,共 17 页 |AC| | y2y1| 3. 因此菱形的面积S1 2| OB| · |AC| 1 2× 2× - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 假设四边形OABC为菱形学习必备欢迎下载因点 B不是 W的顶点,且直线 AC不过原点,所以可设 AC的方程为 ykxm k 0,m 0 由x 24y 24,ykxm2 x 28kmx4m 24 0. 消 y 并整理得 1 4k设 A x1,y1 ,C x2,y2,就x1 x224km2,y1y2k·2x1x2mm2. 1 4k214k线段 AC中点 M 4km 14k 2,m2 ,1 4kM为 AC和 OB交点, kOB1 4k. 又 k·1 4k1 4 1,AC与 OB不垂直故 OABC不是菱形,这与假设冲突综上,四边形 OABC不是菱形1 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用定义解题,会成效明显,定义中的定值是标准方程的基础2 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2 By 21,其中 A、B 是不等的常数, A>B>0 时,表示焦点在y 轴上的椭圆； B>A>0 时,表示焦点在x 轴上的椭圆； AB<0 时表示双曲线3 求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a,c,运算 ec a；方法二：依据已知条件确定a,b,c 的等量关系,然后把b 用 a,c 代换,求c a. 4 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径,双曲线、椭圆的通径长为2 2ba,过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通径最短椭圆上点到焦点的最长距离为a c,最短距离为ac. 5 抛物线焦点弦性质：细心整理归纳 精选学习资料 已知 AB是抛物线 y2 2px p>0 的焦点弦, F 为抛物线的焦点,A x1,y1 、B x2,y2 第 8 页,共 17 页 1 y1y2 p2 2,x1x2p 4； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2| AB| x1x2p2p sin 2 学习必备欢迎下载为弦 AB的倾斜角 ；3 SAOB2 p2sin ；E 是该双曲线的右顶点,过点F41 | FA|1 | FB|为定值2 p；5 以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 1 已知点F 是双曲线x2y2221 a>0,b>0的左焦点,点ab且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点,ABE是锐角 三角形,就该双曲线的离 第 9 页,共 17 页 - - - - - - - - - 心率 e 的取值范畴是 A1 , B1,2 C1,1 2 D2,1 2 答案B 解析由 ABx 轴,可知ABE为等腰三角形,又ABE是锐角三角形,所以AEB为2 锐角,即 AEF<45° ,于是 | AF|<| EF| ,b a<ac,于是 c2a2<a 2 ac,即 e2e2<0,解得 1<e<2. 又双曲线的离心率e>1,从而 1<e<2. 2 设椭圆x a2 2y b2e1 2,右焦点为F c, 0 ,方程 ax2bxc 0 的两21 a>b>0 的离心率为个实根分别为x1 和 x2,就点 P x1,x2 A必在圆 x2y22 内B必在圆 x2y22 上C必在圆 x2y22 外D以上三种情形都有可能答案A 解析x1x2b a,x1x2 c a. 2 2x 1x 2 x1x22 22x1x2b a 22c ab22ac a 2 . ec a1 2, c1 2a,b 2a 2c 2a 21 2a23 4a2. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 2x 1x 23 4a22a× 1 2a7 4<2. 学习必备欢迎下载a2P x1,x2 在圆 x2y22 内 举荐时间： 70 分钟 一、挑选题1 2022· 课标全国 设抛物线C：y22px p>0 的焦点为 F,点 M在 C上, | MF| 5,如 第 10 页,共 17 页 - - - - - - - - - 以 MF为直径的圆过点0,2 ,就 C的方程为 Ay24x 或 y28xBy22x 或 y 28xCy24x 或 y216xDy22x 或 y 216x答案C 解析由题意知： F p 2,0 ,抛物线的准线方程为xp 2,就由抛物线的定义知,xM5p 2,设以 MF为直径的圆的圆心为2,yM 2,所以圆的方程为x5 22 yyM 2225 4,又由于圆过点 0,2 ,所以 yM4,又由于点 M在 C上,所以 162p 5p 2,解得 p 2 或p8,所以抛物线C的方程为 y 24x 或 y 216x,应选 C. 2 22 与椭圆x 12 y 161 共焦点,离心率互为倒数的双曲线方程是 Ay2 2x 31 2 B.y 3x 21 C.2 3x42 3y 81 D.2 3y42 3x 81 答案A 解析椭圆2 x122 y161 的离心率为16121 2,且焦点为 0 ,± 2 ,所以所求双曲线的16焦点为 0 ,± 2 且离心率为2,所以 c2,2 a2 得 a1,b2c2a23,故所求双曲线方程是 y2 2x 3 1. 3 2022· 江西 已知点 A2,0,抛物线 C：x24y 的焦点为F,射线 FA与抛物线 C相交细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -于点 M,与其准线相交于点学习必备欢迎下载 N,就 | FM| | MN| 等于A25 B 12 C 15 D 13答案 C 解析 由抛物线定义知 M到 F 的距离等于 M到准线 l 的距离 MH. 即| FM| | MN| | MH| | MN| | FO| | AF| 15. 2 24 过双曲线x a 2y b 21 a>0,b>0的右焦点 F,作圆 x 2 y 2a 2 的切线 FM交 y 轴于点 P,切圆于点 M,2OMOF OP,就双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C2 D. 5 答案 A 解析 由已知条件知, 点 M为直三角形 OFP斜边 PF的中点, 故 OF2OM,即 c2a,所以双曲线的离心率为 2. 5 2022· 山东 抛物线 C1：y1 2px 2 p>0 的焦点与双曲线2 C2：x 3 y 2 1 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点M. 如 C1 在点 M处的切线平行于C2 的一条渐近线, 就 p 等于 第 11 页,共 17 页 - - - - - - - - - A.3B.3C.233D.433168答案D 解析抛物线 C1 的标准方程为x22py,其焦点F 为 0,p 2,双曲线C2 的右焦点F 为2,0 ,渐近线方程为y±3 3x. 由 y 1 px3 3得 x3 3p,故 M3 3p,p 6 . 由 F、F 、 M三点共线得 p43 3 . 2 x 6 椭圆 M：a 22 yb 21 a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2,P 为椭圆 M上任一点,且 PF1·PF2的最大值的取值范畴是 c2,3c 2 ,其中 ca 2 b 2,就椭圆 M的离心率e 的取值范畴是 A 1 4, 1 2 B 1 2,2 2 C2 2, 1 D 1 2,1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答案B 学习必备欢迎下载解析 设 P x,y , F1 c, 0 ,F2 c, 0 ,就PF1 cx, y ,PF2 cx, y ,PF 1·PF 2x 2y 2c 2. 又 x 2y 2 可看作 P x,y 到原点的距离的平方,所以 x 2y 2 maxa 2,所以 PF2 ·PF2 max b 2,1 1所以 c 2b 2a 2c 23 c 2,即 4e 22,1 2所以 2 e2 . 应选 B. 二、填空题7 2022· 江苏 在平面直角坐标系xOy 中,如双曲线2 xm2 ym 241 的离心率为5,就 m的值为 _答案 2 解析 建立关于 m的方程求解c 2mm 2 4,e 2c a 2m m m 2 45,m 24m40, m2. 2 28 2022· 福建 椭圆 ：x a 2y b 2 1 a>b>0 的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c. 如直线 y3 x c 与椭圆 的一个交点 M满意 MF1F22 MF2F1,就该椭圆的离心率等于_答案 31 解析 由直线方程为 y3 xc ,知 MF 1F260° ,又 MF 1F22 MF2F1,所以 MF2F130° ,MF1MF2,细心整理归纳 精选学习资料 所以 | MF1| c,| MF 2| 3c 第 12 页,共 17 页 所以 | MF1| | MF2| c3c2a. 即 ec a31. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载9 2022· 辽宁 已知 F为双曲线2 2C：x 9 y 16 1 的左焦点, P,Q为 C上的点如 PQ的长等于虚轴长的 2 倍,点 A5,0 在线段 PQ上,就PQF的周长为 _答案 44 解析 由双曲线 C的方程,知 a 3,b4,c5,点 A5,0 是双曲线 C的右焦点,且| PQ| | QA| | PA| 4b16,由双曲线定义,| PF| | PA| 6,| QF| | QA| 6. |PF| | QF| 12| PA| | QA| 28,因此 PQF的周长为 | PF| | QF| | PQ| 2816 44. 2 210已知 P 为椭圆x 25 y 161 上的一点, M, N分别为圆 x32y21 和圆 x 32y24上的点,就 | PM| | PN| 的最小值为 _答案7 F1,F2分别是两圆的圆心,且| PF1| | PF2| 10,从而解析由题意知椭圆的两个焦点| PM| | PN| 的最小值为 | PF1| | PF2| 127. 三、解答题112022· 课标全国 平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2 M：x a 2y b2 21 a>b>0 右焦点的直线 xy30 交 M于 A,B 两点, P 为 AB的中点,且OP的斜率为1 2. 1 求 M的方程；2 C,D为 M上的两点, 如四边形 ACBD的对角线 CDAB,求四边形 ACBD面积的最大值细心整理归纳 精选学习资料 解1 设 A x1,y1 ,B x2,y2,就y1y22 by1y20. 第 13 页,共 17 页 2 2xa 2y b 12 1 2 2x 2y 22 1 a b,得x1x2a2x1x2由于y1y2 x1x2 1,设 P x0,y0 ,1 2,由于 P为 AB的中点,且OP的斜率为所以 y01 2x0,即 y1y21 2 x1x2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以可以解得a 22b学习必备欢迎下载2,即 a 22 a2c2 ,即 a22c 2,又由于 c3,所以 a26,30,2 2所以 M的方程为x 6 y 31. 2 由于 CDAB,直线 AB方程为 xy所以设直线CD方程为 yxm,3 3,将 xy2 230 代入x 6y 31 得：3x243x0,即 A0 ,3 ,B43 3,所以可得 | AB| 46 3；2 2将 yxm代入x 6 y 31 得：3x24mx2m 260,设 C x3,y3 ,D x4,y4,就| CD| 2x3x424x3x4232182m 2,1 2| AB| · |CD| 又由于 16m 2122 m 26>0 ,即 3<m<3,所以当 m0 时, | CD| 取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为