2022年高三数学二轮复习教案专题七第二讲椭圆双曲线抛物线 .pdf

学习必备欢迎下载第二讲椭圆、双曲线、抛物线研热点（聚焦突破）类型一 椭圆1定义式： |PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)2标准方程： 焦点在 x 轴上：x2a2y2b21(ab0)；焦点在 y轴上：y2a2x2b21(ab0)；焦点不确定： mx2ny21(m0，n0)3离心率： eca1（ba）2b0)的左、右焦点，过点F1作 x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P，过点 F2作直线 PF2的垂线交直线 xa2c于点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是 (4，4)，求此时椭圆 C 的方程；(2)证明：直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点解析解法一由条件知， P(c，b2a)，故直线 PF2的斜率为 kPF2b2a0ccb22ac. 因为 PF2F2Q，所以直线 F2Q 的方程为y2acb2x2ac2b2，故 Q(a2c，2a)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载由题设知，a2c4，2a4，解得 a2，c1. 故椭圆方程为x24y231. 解法二设直线 xa2c与 x 轴交于点 M.由条件知， P(c，b2a)因为PF1F2F2MQ，所以|PF1|F2M|F1F2|MQ|，即b2aa2cc2c|MQ|，解得 |MQ|2a. 所以a2c4，2a4，解得a2，c1.故椭圆方程为x24y231. (2)证明：直线 PQ 的方程为y2ab2a2axa2cca2c，即 ycaxa. 将上式代入x2a2y2b21 得 x22cxc20，解得 xc，yb2a. 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载跟踪训练1已知圆 M：x2y22mx30(m0)的半径为 2，椭圆 C：x2a2y231 的左焦点为 F(c，0)，若垂直于 x轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切，则 a 的值为 () A. 34B1 C2 D4 解析： 圆 M 的方程可化为 (xm)2y23m2，则由题意得m234，即 m21(m0)， m1，则圆心 M 的坐标为 (1，0)由题意知直线 l 的方程为 xc，又直线l 与圆 M 相切， c1， a231， a2.答案： C 2(20XX 年山东师大附中一测 )点 P 是椭圆x225y2161 上一点， F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，且 PF1F2的内切圆半径为 1，当 P 点在第一象限时， P 点的纵坐标为 () A.83B.58C.38D.85解析： 由题意知， |PF1|PF2|10，|F1F2|6，设点 P 的纵坐标为 yp，由题意易知SPF1F212(|PF1|PF2|F1F2|) 112|F1F2| yp，所以 yp|PF1|PF2|F1F2|183. 答案： A 类型二 双曲线1定义式： |PF1|PF2|2a(2a0，b0)，焦点在 y轴上：y2a2x2b21(a0，b0)，焦点不明确： mx2ny21(mn1，注意：若 ab0，则 1e0，则 e2，若 ba0，则 e2.；(3)焦点在 x 轴上，渐近线的斜率kba，焦点在 y轴上，渐近线的斜率kab；(4)与x2a2y2b21 共渐近线的双曲线方程可设为x2a2y2b2 ( 0) 例 2(1)(20XX 年高考湖南卷 )已知双曲线 C：x2a2y2b21 的焦距为 10，点 P(2，1)在 C的渐近线上，则 C 的方程为 () A.x220y251 B.x25y2201 C.x280y2201 D.x220y2801 (2)(20XX 年高考江苏卷 )在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x2my2m241 的离心率为5，则 m的值为 _解析(1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解双曲线x2a2y2b21 的焦距为 10，c5a2b2.又双曲线渐近线方程为ybax，且 P(2，1)在渐近线上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载2ba1，即 a2b.由解得 a2 5，b5，故应选 A. (2)建立关于 m 的方程c2mm24，e2c2a2mm24m5，m24m40，m2. 答案(1)A(2)2 跟踪训练1(20XX 年合肥模拟 )过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F，作圆 x2y2a2的切线FM 交 y 轴于点 P，切圆于点 M，则双曲线的离心率是 () A.2 B. 3 C2 D. 5 解析： 由已知条件知，点M 为直角三角形 OFP 斜边 PF 的中点，故 OF2OM，即 c2a，所以双曲线的离心率为2. 答案： A 2已知双曲线x2a2y2b21 的左、右焦点分别为F1、F2，过点 F2作与 x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P，且 PF1F26，则双曲线的渐近线方程为_ 解析： 根据已知得点P 的坐标为 (c，b2a)，则|PF2|b2a，又PF1F26，则|PF1|2b2a，故2b2ab2a2a，所以b2a22，ba2，所以该双曲线的渐近线方程为y 2x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载答案： y 2x类型三抛物线1定义式： |PF|d. 2根据焦点及开口确定标准方程注意p0 时才有几何意义，即焦点到准线的距离3直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，交抛物线于 A、B 两点，则有：(1)通径的长为 2p；(2)焦点弦公式： |AB|x1x2p2psin 2；(3)x1x2p24，y1y2p2；(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切；(5)1|AF|1|BF|2p. 例 3(20XX 年高考福建卷 )如图，等边三角形OAB 的边长为 8 3，且其三个顶点均在抛物线 E：x22py(p0)上(1)求抛物线 E 的方程；(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y1 相交于点 Q，证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点解析(1)依题意， |OB|8 3，BOy30 . 设 B(x，y)，则 x|OB|sin 304 3，y|OB|cos 30 12. 因为点 B(4 3，12)在 x22py 上，所以(4 3)22p 12，解得 p2. 故抛物线 E 的方程为 x24y. (2)证明： 证法一由(1)知 y14x2，y 12x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载设 P(x0，y0)，则 x00 ，y014x20，且 l 的方程为yy012x0(xx0)，即 y12x0 x14x20. 由y12x0 x14x20，y1得xx2042x0，y1.所以 Q 为(x2042x0，1)设 M(0，y1)，令 MP MQ =0 对满足 y014x20(x00) 的 x0，y0恒成立由于MP=(x0，y0y1)， MQ =(x2042x0，1y1)，由 MP MQ =0，得x2042y0y0y1y1y210，即(y21y12)(1y1)y00. (*) 由于(*)式对满足 y014x20(x00) 的 y0恒成立，所以1y10，y21y120，解得 y11. 故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点 M(0，1)证法二由(1)知 y14x2， y 12x.设 P(x0， y0)， 则 x00 ， y014x20， 且 l 的方程为 yy012x0(xx0)，即 y12x0 x14x20. 由y12x0 x14x20y1，得xx2042x0，y1.所以 Q 为(x2042x0，1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载取 x02，此时 P(2，1)，Q(0，1)，以 PQ 为直径的圆为 (x1)2y22，交 y 轴于点M1(0，1)、M2(0，1)；取 x01，此时 P(1，14)，Q(32，1)，以 PQ 为直径的圆为 (x14)2(y38)212564，交 y 轴于点 M3(0，1)、M4(0，74)故若满足条件的点M 存在，只能是 M(0，1)以下证明点 M(0，1)就是所要求的点因为MP=(x0，y01)， MQ =(x2042x0，2)，所以 MP MQ=x20422y02 2y022y020. 故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点 M(0，1)跟踪训练(20XX 年郑州模拟 )如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B，交其准线于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为 () Ay29xBy26xCy23xDy23x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载解析：过点 B 作准线的垂线，垂足为B1，记准线与 x 轴的交点为 F1，则依题意得|BB1|FF1|BC|CF|23，所以 |BB1|23|FF1|2p3，由抛物线的定义得 |BF|BB1|2p3.令 A(x1，y1)、B(x2，y2)，依题意知 F(p2，0)，可设直线 l 的方程为 yk(xp2)联立方程y22pxyk（xp2），消去 y 得 k2x2p(k22)xk2p240，则 x1x2p（k22）k2，x1 x2p24.又由抛物线的定义知 |AF|x1p2， |BF|x2p2， 则可得1|AF|1|BF|2p， 于是有1332p2p，解得 2p3，所以此抛物线的方程是y23x，选 C. 答案： C 析典题（预测高考）高考真题【真题】(20XX 年高考陕西卷 )已知椭圆 C1：x24y21，椭圆 C2以 C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆 C2的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1和 C2上，2OBOA，求直线 AB 的方程【解析】(1)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2x241(a2)，其离心率为32，故a24a32，解得 a4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载故椭圆 C2的方程为y216x241. (2)解法一A，B 两点的坐标分别记为 (xA，yA)，(xB，yB)，由2OBOA及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx. 将 ykx代入x24y21 中，得(14k2)x24，所以 x2A414k2. 将 ykx代入y216x241 中，得 (4k2)x216，所以 x2B164k2. 又由2OBOA，得 x2B4x2A，即164k21614k2，解得 k 1.故直线 AB 的方程为 yx 或 yx. 解法二A，B 两点的坐标分别记为 (xA，yA)，(xB，yB)，由2OBOA及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx. 将 ykx代入x24y21 中，得(14k2)x24，所以 x2A414k2. 由2OBOA，得 x2B1614k2，y2B16k214k2. 将 x2B，y2B代入y216x241 中，得4k214k21，即 4k214k2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载解得 k 1.故直线 AB 的方程为 yx 或 yx. 【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单性质及直线与椭圆的位置关系的应用考查化归思想及运算求解能力 难度中上 本题(2)中2 的作用是： 一是说明直线 AB 过原点可设出直线AB 的方程二是利用向量知识可得A、B 点之间横坐标的关系以便建立方程求斜率k. 考情展望高考对椭圆、双曲线、抛物线的考查，各种题型都有选择、填空中主要考查这三种圆锥曲线的定义及几何性质与应用解答题中着重考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，涉及方程求法、范围、最值、定点、定值的探索与证明问题等内容难度中上名师押题【押题】 已知抛物线 C：y22px(p0)的准线为 l，焦点为 F，圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上，圆 M 与 y 轴相切，过原点 O 作倾斜角为3的直线 n， 交直线 l 于点 A， 交圆 M 于不同的两点 O、B，且 |AO|BO|2. (1)求圆 M 和抛物线 C 的方程；(2)若 P 为抛物线 C 上的动点，求PMPF的最小值；(3)过直线 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线，切点分别为S、T，求证：直线 ST恒过一个定点，并求该定点的坐标【解析】(1)易得 B(1，3)，A(1，3)，设圆 M 的方程为 (xa)2y2a2(a0)，将点 B(1， 3)代入圆 M 的方程得 a2，所以圆 M 的方程为 (x2)2y24，因为点 A(1，3)在准线 l 上，所以p21，p2，所以抛物线 C 的方程为 y24x. (2)由(1)得，M(2，0)，F(1，0)，设点 P(x，y)，则PM=(2x，y)，(1x，y)，又点P 在抛物线 y24x 上， 所以PF(2x)(x)y2x23x24xx2x2， 因为 x 0，所以PMPF 2，即PMPF的最小值为 2. (3)设点 Q(1，m)，则|QS|QT|m25，以 Q 为圆心，m25为半径的圆的方程为(x1)2(ym)2m25，即 x2y22x2my40精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载又圆 M 的方程为 (x2)2y24，即 x2y24x0由两式相减即得直线ST的方程： 3xmy20，显然直线 ST恒过定点 (23，0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页