2022年视导材料圆锥曲线中的定点定值问题教师版.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆课题：圆锥曲线中的定点、定值问题考点整合：定值、定点问题必定是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点,就是要求的定点 . 解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,依据等式的恒成立、数式变换等查找不受参数影响的量 . 活动一：基础检测：1. （2022 江苏南通基地密卷（一） ）已知正方形 ABCD 的顶点坐标分别是 A（ 1,0）,B（0,1）,C（1,0）,D（0, 1）,动点 M 满意： k MB·k MD 1 2,就 MA MC.答案： 2 2.解析： 设点 M 的坐标为（ x,y）, kMB·kMD1 2,y1·y121 2. 整理得 x 2y 21（ x 0）. 动点 Mx的轨迹方程是椭圆（除去长轴上两个顶点）,其焦 点恰为 A,C 两点 . MAMC 2 2.2. 在直角坐标系中,过双曲线x2 y21 的左焦点 F 作圆 x2 y2 1 的一条切线 （切点为 T）交双曲线9右支于 P,如 M 为线段 FP 的中点,就OMM T . 答案： 2. 解析： 设双曲线右焦点为 F,连结 PF,就 OM 是 PFF 的中位线,所以 OM1 2PF12（ PF2）.又 OTPF,OF10,OT1,所以 FT 3,从而 OM1 2（2FM2） FM 13MT 12MT,所以 OMMT 2. 名师归纳总结 - - - - - - -3. （2022 ·成都模拟） 已知椭圆2 xa 2 2 yb 2 1（ab 0）的离心率为6 3,过椭圆上一点M 作直线MA,MB 分别交椭圆于A,B 两点,且斜率分别为k 1,k 2,如点 A,B 关于原点对称, 就 k 1·k 2 的值为 _.解析由 e 2 1ba2 26 9,得 b2 21 3,设 M（ x,y）, A（m,n）, B（ m, n）,就 k1·k2yn xm·xm ynyx 2m 2n 22,把 y2b2 12 xa 2 ,n2b2 12 ma 2 代入 式并化简,可得k1·k2 1 3.答案1 3第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆活动二：探究 定值（定点）问题 微题型 1 定点的探究与证明【例 1】（ 2022·苏、锡、常、镇模拟）如图,以原点 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为 3 和 1,过原点O 的射线交大圆于点 P,交小圆于点 Q,P 在 y 轴上的射影为 M. 动点 N 满意 PMPN 且 PM·QN0.（1）求点 N 的轨迹方程； （2）过点 A（0, 3）作斜率分别为 k1,k2 的直线 l1,l2,与点 N 的轨迹分别交于 E, F两点, k1·k2 9. 求证：直线 EF 过定点 . （1） 解 由PMPN 且PM·QN 0 可知, N,P,M 三点共线且 PM QN.过点 Q 作 QN PM,垂足为 N,设 N（x,y） . 由于 OP3,OQ1,由相像比可知 P（3x,y） .2 2由于 P 在圆 x 2y 29 上,所以（ 3x）2y 29,即y 9x 21,所以点 N 的轨迹方程为y 9x 21. yk1x3,（2） 证明 设 E（xE,yE）,F（xF,yF）,依题意,由 y9x 221 得（ k 219）x 26k1x0,2 2解得 x0 或 x6k1k 19,所以 xE 6k1 k 1. 由于 k1k2 9,所以 k29 k1,用 9 k1替代中的 k1,同理可得 Fk 19,3k 2 1272 19 . 明显 E,F 关于原点对称,所以直线 EF 必过原点 O. 2【训练 1】已知椭圆x 4y 21 的左顶点为 A,过 A 作两条相互垂直的弦 AM、AN 交椭圆于 M、N 两点 .（1）当直线 AM 的斜率为 1 时,求点 M 的坐标；（2）当直线 AM 的斜率变化时,直线 MN 是否过 x 轴上的肯定点？如过定点,请给出证明,并求出该定点；如不过定点,请说明理由 .解：（ 1）直线 AM 的斜率为 1 时,直线 AM 为 yx2,代入椭圆方程并化简得 5x 216x120,解之得 x1 2,x26 5, 点 M 的坐标为6 5, 4 5 .y k（x2）,名师归纳总结 （2）设直线 AM 的斜率为 k,就 AM 为 yk（x2）,就2 x 4y21,化简得 （14k 2）x 2 16k2x16k24 0. 此方程有一根为2,xM28k 14k2xN2k k 24 . 28第 2 页,共 16 页2,同理可得由（ 1）知如存在定点,就此点必为P 6 5,0 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆2 kMPy Mk 14k 28k2 225k2,同理可运算得 kPN5k 2. x M6 5 28k14k 265 44k 44k直线 MN 过 x 轴上的肯定点 P6 5,0 .探究提高 假如要解决的问题是一个定点问题,而题设条件又没有给出这个定点,那么,我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特别情形必定成立,那么我们依据特别情形先找到这个定点,明确解决问题的目标,然后进行推理探究,这种先依据特别情形确定定点,再进行一般性证明的方法就是由特别到一般的方法 . 微题型 2 定值的探究与证明2 2【例 2】（2022· 南京、盐城模拟）已知椭圆xa 2yb 21（a b0）的右焦点为 F 2（1,0）,点 H（1,3 2）在椭圆上 . （1）求此椭圆方程； （2）点 M （x0,y0）在圆 x 2y 2b 2 上, M 在第一象限,过 M 作圆 x 2y 2b 2 的切线交椭圆于 P,Q 两点,问 F 2PF 2QPQ 是否为定值？假如是,求出定值；如不是,说明理由 . 解（1）右焦点为 F 2（1,0）, c1,左焦点为 F1（ 1,0）. 又点 H（ 1,3 2）在椭圆上,2aHF 1HF 2（11）2（3 2）2（11）2（3 2）24,2 2a 2,ba 2c 23,故所求椭圆方程为 x 4y 31.（2）如下列图：设 P（ x1, y1）,Q（x2,y2）,2 2 2x4 1y3 11（ |x1|2）, PF 2（ x11）2y2 1（ x11） 23（1x4 1）14（x14）2, PF212（4x1）21 2x1. 连接 OM ,OP,由相切条件知：PM2OP2OM2x2 1y22 13x 13（1 x 4） 31 4x2 1,PM1 2x1, PF 2PM 21 2x11 2x12. 同理可求： QF2QM 2 1 2x21 2x22.所以 F 2PF 2QPQ2 24 为定值 .名师归纳总结 【训练 2】（2022· 江苏高考命题原创卷）如图,过点C（0,3）的椭圆x2 22 y b 2 1（ab0）的离心第 3 页,共 16 页a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆率为1 2,椭圆与 x 轴交于 A（a,0）和 B（ a,0）两点,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. （1）当直线 l 过椭圆的右焦点时,求线段 CD 的长；（2）当点 P异于点 B 时,求证： OP· OQ 为定值 . 2 2（1） 解 由已知得 b3,c a1 2,得 a 2,所以椭圆的方程为 x 4y 3 1.椭圆的右焦点为 F（1, 0）,此时直线 l 的方程为 y3x3.由 y3x 24y 3x212 3,解得 x10,x28 5,所以 CD（1 k 2） | x1x2| 4×8 516 5 . （2） 证明 当直线 l 与 x 轴垂直时,与题意不符,所以直线 l 与 x 轴不垂直,即直线 l 的斜率存在 .设直线 l 的方程为 y kx3（k 0 且 k2）. 将其代入椭圆的方程,化简得（3 34k 2）x 28 3kx0,解得 x10,x28 3k2. 将其代入直线 l 的方程,得 y13, y23（34k2 2）.34k 34k所以 D 点的坐标为8 3k2,3（34k2 2）. 3 4k 34k由于 B（ 2,0）,kBDy20 x222·3 2k2k33,所以直线 BD 的方程为 y2（2k3（2k3）3）（x2） .又直线 AC 的方程为x 2 y 31,联立直线 AC 与直线 BD 的方程解得 x4k3,y2k3,即 Q 4k3,2k3 . 而 P k,0 ,所以 OP 3·OQ k, 0 · 4k 3,2k3 404.所以 OP·OQ 为定值 4. 探究提高 定值问题通常是通过设参数或取特别值来确定“ 定值” 是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定值问题同证明问题类似,在求定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最终必定参数统消,定值显现 . 归纳总结,思维升华：解答圆锥曲线的定值、定点问题,从三个方面把握：（1）从特别开头,求出定值,再证明该值与变量无关：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（ 2）直接推理、运算,在整个过程中消去变量,得定值；（3）在含有参数的曲线方程里面,把参数从含有参数的项里面分别出来,并令其系数为零,可以解出定点坐标 . 活动三： 自主检测：2 21.已知椭圆 x 4y 21 上的两个动点 P,Q,设 P（x1,y1）,Q（x2,y2）且 x1 x22. （1）求证：线段 PQ的垂直平分线经过一个定点 A；（2）设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求 PB 的最小值及相应的 P 点坐标 .审题视点 （1）由 x1x22 可得 PQ 的中点横坐标,引入参数 PQ 中点的纵坐标,先求 kPQ,利用直线PQ 的方程求解 . （2）建立 PB 关于动点坐标的目标函数,利用函数的性质求最值 .（1）证明P（x1,y1）,Q（x2,y2）,且 x1x22. 当 x1 x2 时,由 xx 2 12y22y 2 142 24,得y1y2x1x21 2·x1x2y1y2 .设线段 PQ 的中点 N（1, n）, kPQy1y21,x1x2 2n线段 PQ 的垂直平分线方程为 yn2n（x1）,（ 2x1） ny0,就直线恒过一个定点 A 1 2,0 .当 x1x2 时,线段 PQ 的中垂线也过定点 A 1 2,0 . 综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A 1 2,0 .（2） 解 由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称,故点 B 1 2,0 . 2x12, 2x22, x12x20,2,PB 2 x11 2 2y 11 2（x11）27 49 4,当点 P 的坐标为（ 0,±2）时, PBmin3 2.以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有：证明直线过定点和证明某些量为定值 .而解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是讨论一般情形,通过规律推理与运算得到定点或定值,这种方法难度大,运算量大,且思路不好查找；另外一种方法就是先利用特别情形确定定点或定值,然后验证,这样在整理式子或求值时就有了明确的方向 .2 22.如图,椭圆 C0：x a 2yb 21（a b0,a、b 为常数）,动圆 C1：x 2y 2t 2 1,bt1a. 点 A1、 A2分别为C0的左、右顶点,C1 与 C0 相交于 A、B、 C、D 四点 . （1）求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程；（2）设动圆 C2：x 2 y 2 t 2 2与 C0相交于 A,B , C , D 四点,其中 bt 2a,t1 t2. 如矩形 ABCD 与矩形 ABCD的面积相等,证明：t2 1t2 2为定值 .（1） 解： 设 A（x1,y1）,B（x1, y1）,又知 A1（ a, 0）,A2（a,0）,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆就直线 A1A 的方程为 yx 1a（xa）, y1y 1直线 A2B 的方程为 yx1a（ xa）. 由 得 y 2xy2 1 a 212（x 2a 2）. 2 2 2 2 2由点 A（x1,y1）在椭圆 C0 上,故x a 12yb 121. 从而 y 2 1 b 2 1xa 2 ,代入 得 1 xa 2yb 21（x a,y0）.2 2 2 2（2）证明： 设 A（x2,y2）,由矩形 ABCD 与矩形 ABCD的面积相等,得 4|x1|y1|4|x2|y2|,故 x 1y 1x 2y 2.2 2由于点 A,A 均在椭圆上, 所以 b 2x 21 1xa 2 b 12x 22 1xa 2 . 由 t1 t 2,知 x1 x2,所以 x 2 21x 22a 2,从而 y 21y 2 2b 2,因此 t 2 1t 2 2a 2b 2 为定值 .2 23. 如图,已知椭圆 C：x a 2y b 21（ab0）的离心率为 2,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 3 T：（x2）2y 2r 2（r0）,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. （1）求椭圆 C 的方程；（ 2）求 TM ·TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程；（3）设点 P 是椭圆 C 上异于 M、N 的任意一点,且直线 MP、NP 分别与 x 轴交于点 R、S,O 为坐标原点,求证：OR·OS 为定值 .2（1） 解： 依题意,得 a2,ec a2, c3 3, ba 2c 21. 故椭圆 C 的方程为x 4y 21.（2） 解： 易知点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设由于点 M 在椭圆 C 上,y2 11x 4 . （*）1M（ x1, y1）,N（x1, y1）,不妨设 y1 0.名师归纳总结 由已知 T（ 2,0）,就 TM （ x1 2,y1）,TN （ x12, y1）,2 x 45 4x 2 14x13第 6 页,共 16 页 TM · TN （ x12,y1）·（x12, y1）（ x12）2y 2 1（ x12）2 15 4 x1821 5. 由于 2x12,故当 x1 8 5时, TM ·TN 取得最小值 1 5.把 x18 5代入（ * ）式,得 y13 5,故 M 8 5,3 5 .又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得r213 25. 故圆 T 的方程为（ x2）2y213 25.（3） 证明： 设 P（x0,y0）,就直线MP 的方程为 yy0y0y1 x0x1（x x0）,令 y0,得 xRx 1y0x 0y1 y 0y1,同理： xSx1y0x0y1 y0y1,故 xR·xSx2 1y2 0x2 0y2 0y212 1 . （* ）y又点 M 与点 P 在椭圆上,故2 2 2 2x 04（1y 0）,x 14（1y 1）,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆代入（ * ）式,得xR·xS4（1y2 1）（ y2 04）（ 1y 2 0）y 212 0y 214 y y2 0y2 0y2 1 14.3 2 . 椭圆与 x 轴交于两点y所以 OR·OS|xR|·|xS|xR· xS|4 为定值 .4.（ 2022 ·四川） 如图过点C（0,1）的椭圆2 2xa 2 y b 2 1（ab0）的离心率为A（ a,0）、B（ a,0）. 过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点D,并与 x 轴交于点 P. 直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. （1）当直线l 过椭圆右焦点时,求线段CD 的长；（2）当点 P 异于点 B 时,求证： OP ·OQ 为定值.（1） 解由已知得 b1,c a3 2,解得 a2,所以椭圆方程为2 x 4y21.椭圆的右焦点为（3,0）,此时直线 l 的方程为 y3 x1,代入椭圆方程化简得 37x 28 3x0.解得 x10,x28 3 7,代入直线 l 的方程得 y1 1,y21 7,所以 D 点坐标为 8 3 7, 1 7 .故 CD 8 370 2 1 71 216 7 .（2）当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符. 设直线 l 的方程为 ykx1（k 0 且 k1 2）.名师归纳总结 - - - - - - -代入椭圆方程化简得（4k 21）x2 8kx0. 解得 x10,x28k 4k 21,代入直线2 l 的方程得 y11,y21 4k 4k 21,所以 D 点坐标为 8k 24k 2 1,14k 21 .又直线 AC 的方程为x 2y1,直线 BD 的方程为 y12k（x2）,联立解得x 4k,y2k 1.因此 Q 点坐标为（ 4k, 2k1）. 又 P 点坐标为1,0 .k所以 OP ·OQ 1 k,0 ·（ 4k,2k1） 4.故OP ·OQ 为定值 . 5. 设椭圆 E：2 xa 22 y 21 的焦点在 x 轴上 . （1）如椭圆 1aE 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程；（2）设 F 1,F2分别是椭圆E 的左、右焦点, P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线F 2P 交 y 轴于点 Q,并且 F1PF1Q. 证明：当 a 变化时,点P 在某定直线上 .（1） 解由于焦距为1,且焦点在x 轴上,所以2a 211 4,解得 a2 225 8. 故椭圆 E 的方程为 8x 58y 31.（2）证明设 P（x0,y0）,F1（ c,0）,F2（c,0）,其中 c2a 21.第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆由题设知 x0 c,就直线 F1P 的斜率 kF1Px0c. 直线 F2P 的斜率 kF2Py0x0c. y0故直线 F 2P 的方程为 yx0c（xc）. y0 当 x0 时, ycy0cx0,即点 Q 坐标为 0,cy0 cx0.因此,直线 F1Q 的斜率为 kF1Qcx0 y0 . 由于 F1PF 1Q,所以 kF1P·kF1Qx0c·y0cx0 y0 1.化简得 y 2 0x 2 0（ 2a 21）,将代入椭圆 E 的方程,由于点 P（x0,y0）在第一象限 .解得 x0a 2,y01a 2. 即点 P 在定直线 xy1 上.2x 26. （苏锡常镇四市 20XX 届高三 5 月调研（二） ）在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 y 1 的左、4右焦点分别为 F 与 F,圆 F ： x 3 2y 25 . （1）设 M 为圆 F 上一点,满意 MF' MF 1,求点 M 的坐标；（2）如 P 为椭圆上任意一点,以 P 为圆心, OP 为半径的圆 P 与圆 F 的公共弦为 QT,证明：点 F到直线 QT 的距离 FH 为定值 . yF 'QOFxHPT（第 6 题）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆7. （20XX 届南京、 盐城市高三二模）如图,在平面直角坐标系xoy 中,椭圆 E：x2y21（ab0）a2b2的离心率为2 ,直线 l：2y1x 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,AB25,C,D 是椭圆 E 上异于 A,2B 两点,且直线AC,BD 相交于点 M,直线 AD,BC 相交于点 N. （ 1）求a,b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值 .M y C D N O A x B 解（ 1）由于 ec a2,所以 c 2 21 2a2,即 a 2b21 2a 2,所以 a22b2. 2 分名师归纳总结 故椭圆方程为2 x2 2y 21. 由题意,不妨设点 bA 在第一象限,点B 在第三象限 .5 分第 9 页,共 16 页2b由y1 2x,2 2x 2y 21,2b b解得 A（23 3 b,3 3 b）.又 AB25,所以 OA5,即4 3b21 3b25,解得 b23. 故 a6,b3. （2） 方法一 ：由（ 1）知,椭圆E 的方程为2 2x 6y 31,从而 A（2,1）,B（ 2, 1）.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆当 CA,CB,DA,DB 斜率都存在时,设直线 CA,DA 的斜率分别为 k1,k2,C（x0,y0）,2 2明显 k1 k2. 从而 k1 ·kCBy01x02·x02 y01y0x0 212431x0x0 24 6 12x0x0 24 21 2. 所以 kCB12k1 . 8 分同理 kDB1 . 于是直线 AD 的方程为 y1 k2（x2）,直线 BC 的方程为 y11（x 2）.2k2 2k1由 y11y1k2x2,2k1x 2,解得 x4k1k24k1 2y2k1k24k21 2k1k21,从而点 N 的坐标为（4k1k2 4k12 2k1k21,2k1k24k2 12k1k21）.2k1k21用 k2 代 k1, k1 代 k2 得点 M 的坐标为（4k1k24k22 2k1k2 1, 2k1k24k112k1k21）. 11 分2k1k24k212k1k24k11所以 kMN4k1k24k12 2k1k214k1k2 4k22 2k1k214k1 k24k2 k1 1. 即直线 MN 的斜率为定值1. 14 分2k1k21 2k1k21当 CA,CB,DA,DB 中,有直线的斜率不存在时,依据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,故不妨设直线CA 的斜率不存在,从而C（2, 1）. 仍旧设 DA 的斜率为 k2,由知 kDB1 2k2.此时 CA：x2,DB：y11（x2）,它们交点2k2M（2, 12 k2）. BC：y 1,AD：y1k2（x2）,它们交点 N（22, 1）,从而 kMN 1 也成立 .k2由可知,直线 MN 的斜率为定值1. 16 分2 2方法二 ：由（ 1）知,椭圆 E 的方程为 xy1,从而 A（ 2,1）, B（ 2, 1）.6 3当 CA,CB,DA,DB 斜率都存在时,设直线 CA,DA 的斜率分别为 k1,k2. 明显 k1 k2. 直线 AC 的方程y1k1（x2）,即 yk1x（ 1 2k1）.名师归纳总结 由yk1x 12k1,2 2xy16 3得（ 12k1 2）x 24k1（12k1）x2（4k124k12） 0.第 10 页,共 16 页设点 C 的坐标为（ x1,y1）,就 2·x124k1 24k1221 2k1,从而 x14k1 2k1 24k1221 .所以 C（4k1 24k12, 2k1 2 4k11）. 又 B（ 2, 1）,2k1 21 2k1 21所以 kBC2k1 24k1 12k1 21114k12k1 24k12212 2k1. 8 分所以直线 BC 的方程为 y11（x2）. 又直线 AD 的方程为 y1k2（x2）.2k1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆由y11 2k1x 2,解得x4k1k24k1 2,2k1k21从而点 N 的坐标为（4k1k2 4k12 2k1k21,2k1k24k2 1）.2k1k21y2k1k24k212k1k21y1k2x2,用 k2 代 k1, k1 代 k2 得点 M 的坐标为（4k1k24k22 2k1k2 1, 2k1k24k112k1k21）. 11 分所以 kMN2k1k24k212k1k24k11 2k1k214k1 k2 4k2 k1 1.2k1k214k1k24k124k1k2 4k22 2k1k212k1k21即直线 MN 的斜率为定值1. 14 分当 CA,CB,DA,DB 中,有直线的斜率不存在时,依据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,故不妨设直线CA 的斜率不存在,从而C（2, 1）. 仍旧设 DA 的斜率为 k2,就由知kDB1 2k2.此时 CA：x2,DB：y11（x2）,它们交点2k2M（2, 12 k2）. BC：y 1,AD：y1k2（x2）,它们交点 N（22, 1）,从而 kMN 1 也成立 .k2由可知,直线 MN 的斜率为定值1. 16 分2 28.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C：x a 2y b 21（a b0）的右焦点为 F（4m,0）（m0,m 为常数）,离心率等于 0. 8,过焦点 F、倾斜角为 的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点 . （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）如 90°,1 MF 1 NF5 9 2,求实数 m；（3）试问1 MF 1 NF的值是否与 的大小无关,并证明你的结论 .2 2解：（ 1） c4m,椭圆离心率 ec a4 5,a5m. b3m. 椭圆 C 的标准方程为25m x29m y21.名师归纳总结 （2） 在椭圆方程2 x2 2y 9m21 中,令 x4m,解得 y±9m 5 .4 5,MF 1 NF5d1 1 d2.25m 当 90°时,直线MNx 轴,此时 FM FN9m 5,MF 1 NF 10 9m.MF 1 NF5 92,9m5 92,解得 m2.（3）MF 1 NF的值与 的大小无关 .证明如下：（证法 1）设点 M 、N 到右准线的距离分别为d1、d2. MF d14 5,NF2 又由图可知, MFcos d1a cc9m 4,d14 5cos 1 9m 4,即 1 d1 4 9m4 5cos 1 .第 11 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆同理,1d249m 5cos（） 1 4 9m（ 4 5cos 1）.d1 1 d2 4 9m 5cos 1 4 9m（ 4 5cos 1）9m. 8MF 1 NF5 4·9m 10 9m. 明显该值与 的大小无关 .（证法 2）当直线 MN 的斜率不存在时,由（2）知,MF 1 NF的值与 的大小无关 .当直线 MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为 yk（x4m）,2 2代入椭圆方程25m x 2y9m 21,得（ 25k 29）m 2x 2200m 3k 2x25m 4（16k 29） 0.设点 M（x1,y1）、N（x2,y2）, 0 恒成立,x 1x2200mk25k 29,x1·2x225m 2（16k25k 29 29）.25m MF4 5,25m NF4 5,MF5m4 5x1, NF5m4 5x2.4x 1 4x 21 MF 1 NF5m145x 15m145x21625x 1x24m（ x1x2） 25m 10m4 5（x 1 x2）281mk 90k 290281m10 9m.明显该值与 的大小无关 .2 23. （2022. 江苏 .18 ）在平面直角坐标系 xOy 中,如图,已知椭圆 x y 1 的左右顶点为 A,B,右焦点9 5