2022年计算方法总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章：基本概念1. x x x 2. x x m 1 x m 2. x m n x m n 1 x x x 2. x x m 1 x m 2. x m n如 x x 1 10 n,称 x 精确到 n 位小数,x m n 及其以前的非零数字称为精确数字；2各位数字都精确的近似数称为有效数,各位精确数字称为有效数字；l2. f x x 0. x x 2. x t进制：,字长： t ,阶码： l ,可表示的总数：2 U L 1 1 t 113.运算机数字表达式误差来源实数到浮点数的转换,十进制到二进制的转换,结算结果溢出,大数吃小数；4. 数据误差影响的估量：yynx x2,.x nx iyyynx x 2,. x nx ix i,小条件数；1xi1x iy解接近于零的都是病态问题,防止相近数相减；防止小除数大乘数；5.算法的稳固性如一个算法在运算过程中舍入误差能得到掌握,结果,称算法数值稳固；其次章：解线性代数方程组的直接法 1.高斯消去法 步骤：消元过程与回代过程；或者舍入误差的积存不影响产生牢靠的运算顺当进行的条件：系数矩阵A 不为零； A 是对称正定矩阵,A 是严格对角占优矩阵；2.列主元高斯消去法 失真：小主元显现,显现小除数,转化为大系数,引起较大误差；解决：在消去过程的第 K 步,交换主元；仍有行主元法,全主元法；3.三角分解法杜立特尔分解即LU分解；bLYb；,下三角阵和单位上三角阵的乘积；用于解方程AXbLUXUXY用于求ALUL UU1 Uu u22. u nn；LD1 D U克罗特分解：ALULDD将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程,即为追逐法；对称正定矩阵的乔列斯基分解,ATT GG ,下三角阵及其转置矩阵的乘积；用于求解AXb 的平方根法；LDL分解；改进平方根法：利用矩阵的A4.舍入误差对解的影响名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 向量范数定义：常用的向量范数：矩阵的范数：常用的矩阵范数：矩阵范数与向量范数的相容性：影响：x1kAbA,其中cond A kA A1,k 值大, 病态问题；xbAkA第三章：插值法 1.定义给定 n+1 个互不相同的点,xi 及在 xi 处的函数值yii=0 n,构造一个次数不超过n 次的多项式：Pn a0a xa x2.n a x ,使满意P x y ；取f x P x；称P x 为插值多项式,ix 为插值节点,f x 为被插函数；插值问题具有唯独性；2.Lagrange 插值多项式 表达式：误差估量式：3.Newton 插值多项式 差商：表达式：误差表达式：差商的性质：1差商与节点的次序无关；2K 阶差商对应 K 阶导数；3 4 5 4.埃尔米特（带导数）插值多项式 1Newton 法,给定 f 及 fk为数字；2Lagrange 法,给定 f 及 fk为表达式；5.三次样条插值函数分段三次插值多项式的定义：Sx在子区间 xi-1,xi上是三次多项式,Sxi=yi,sx在a,b上连续；三次样条插值函数的导出：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第四章：函数最优靠近法 1.最优平方靠近对于广义多项式：P x c00 c 11 c22 .c nn x ,其中i x 线性无关；要求：如 fx是表格函数, 确定 Px称为最小二乘拟合函数,当i x i x ,Px为最小二乘多项式；如 fx是连续函数,称Px为最优平方靠近函数；2.函数的内积,范数定义及其性质 内积的定义：性质：范数的定义：范数的性质：正规方程组或法方程组：3.正交多项式 正交函数系的定义：代入正规方程组的系数矩阵,就：几个正交多项式举例：1勒让德多项式P 多项式用于最优平方靠近,T 多项式用于最优2拉盖尔多项式3埃尔米特多项式4切比雪夫多项式四种正交多项式均可用于高斯型求积公式；一样靠近；正交多项式的性质：1 正交多项式 kg x 线性无关,推论：P x k n 与 g x 正交；2 在区间 a,b或minxi,maxxi 上, n 次正交多项式 gnx有 n 个不同的零点；3 设 g x 是最高次项系数为 1 的正交多项式,就：4.最优一样靠近法 1切比雪夫多项式的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 性质 1：T x 是-1,1 上关于 11x2的正交多项式,T T0,T T k/ 2；性质 2：T k1 2xT x T k1 x ；T2 x 只含 x 的偶次项,T2k1 x 只含性质 3：T x 是最高次项为2 k1kx 的 k 次多项式,x 的奇次项；性质 4：T x 有 k 个不同的零点,x icos2 ik1,i0,1. k1；0,1. k处T k x 依次取2x icosi k,i性质 5：在 -1,1上,Tk 1,且在 k+1 个极值点得最大值 1 和-1；性质 6：设 Pnx是任意一个最高次项系数为1 的 n 次多项式,就：max 1 x 1Pn max 1 x 111T n 2112nn2最优一样靠近法的定义设函数 fx在区间 a,b 连续,如 n 次多项式P x c00 c 11 c 22 .c nn 使P nfmax a x bP x f x 达到最小,就称Pn x 为f x 在a,b 上的最优一样靠近函数；切比雪夫定理： n 次多项式 Px成为函数 y=fx在区间 a,b上最优一样靠近多项式的充要条件是 误 差R x fxP x在 区 间 a,b 上 以 正 负 或 负 正 交 替 的 符 号 依 次 取 得Emax a x bR x 的点（偏差点）的个数不少于n+2；采纳如下方程组进行求解：3近似最优一样靠近多项式 思路：使用 T 多项式性质 6 如区间是 -1,1,取 xii=0 n为 Tn+1 的零点,就x icos2 i1,i0 n ,以此构造插2n1值多项式 Pnx；名师归纳总结 如区间是 a,b,通过转换xa2b0b2at t-1,1；t2xab代入 Pnt,可第 4 页,共 11 页方法 1：由ticos2 i1,i n ,构造 Pnt,然后将ba2n1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得 Pnx；方法 2：取xia2bb2atia2bb2acos2 i1,i=0n；构造 Pnx；2n1例：4截断切比雪夫级数法设 fx在-1,1 上连续,S x k0C Tk x,其中Ck Tk f；记S x kn0C Tk x； T T kn应用切比雪夫定理及性质5,取f S x k0C T k k x；5缩短幂级数法方法 1：方法 2：第五章：数值微积分第一节 牛顿柯特斯公式I fb x f x dx 1bf x dxF b F a aa一数值算法1.数值积分算法对于复杂函数fx,考虑用其近似函数Px去靠近,用Px的积分值近似代替fx积分值；2.插值型数值积分方法对于拉格朗日插值多项式,广义积分中值定理：如 fx在a,b上连续, gx在a,b上部变号,就b ba b ,使 f x g x dx f g x dxa a3.牛顿柯特斯公式梯形公式：辛普森公式：二复化求积公式名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - b1. I f f x dx,把a,b分成如干等长的小区间,在每个小区间用简洁低次数值积分公a式,在将其得到的结果相加；2.复化梯形公式3.复化辛普森公式三变步长的积分公式1.先取一步长h 进行运算, 再取较小步长h *运算, 如两次结果相差很大,就在取更小步进步行运算,依次进行,直到相邻两次运算结果相差很大,就取较小步长的结果为积分近似值；2.变步长复化梯形公式3.变步长复化辛普森公式四龙贝格积分法其次节 待定系数法1.代数精度定义对于近似公式I Q f ,假如fx是任意不超过m 次的多项式,I f Q f成立,而对于某个m+1 多项式,I f Q f,称代数精度为m 次；2.判定方法近似式的代数精度为m 次I fQ f ,f x xm1时 不 成 立 ,对f x 1, ,.,xm, 近 似 式 精 确 成 立 ,I fQ f；梯形公式 m=1,辛普森公式m=3；3.Peano 定理名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三节 高斯型积分公式一定义节点个数肯定,具有最高阶代数精度公式的插值型积分公式称为 插值型积分公式定义：Guass型求积公式；定理：数值积分公式 I f Q f 至少有 n 次代数精度 近似式是插值型积分公式；对于牛顿科特斯公式,如采纳等距节点,n 分别为奇数和偶数时,代数精度分别为 n 和 n+1；二最高代数精度定理：m 2 n 1So,给定 n+1 个节点, 具有 2n+1 次代数精度的插值型数值积分公式称为 Gauss型求积公式；三 Gauss型积分公式的构造方法方法 1：代数精度为2n+1,就f 1, ,.,xm时成立,可解出iA 和ix ；方法 2：定理：代数精度m2 n1ix 是a,b 上关于 x 的正交多项式g n1 x 的零点 高斯点 ,b其中A ix l x dx；a四高斯型求积公式的误差五常用的高斯型求积公式1.Gauss-Legendre求积公式1f x dxinA f x Q f ,ix 是P n1 x 的 n+1 个零点；10n=0 n=1 2.Gauss-Laguerre求积公式exf x dxnA f x Q f 名师归纳总结 0f x dx0ex00i0第 7 页,共 11 页x e f x dxx e F x dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - exf x dxea tf at dxeat e F t dta0ex20inA f x Q f 13.Gauss-Hermite 求积公式f x dx4.Gauss-Chebyshev求积公式01f x 2dxncos2 i2 n1i0f11xn2第四节 数值微分f' lim h 0f xh f x ,h 大,不精确, h 小,由于小除数引入大误差；h近似函数法取等节距节点,ixx 0ih i0,1,. n1一阶导数, n=1,两个节点x01xx22一阶导数, n=2,三个节点0x1x3二阶导数, n=2,三个节点x01xx2有用误差估量例：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第六章 非线性方程的迭代解法第一节 方程求根法根的定义：对于非线性方程组fx=0,如存在数使 f=0,称是非线性方程组fx=0的根；零点存在定理： 如 fx是闭区间 a,b上的连续函数, 如 fafb<0 ,就必定存在 , a b ,使f =0；摸索法,二分法；一简洁迭代法初值x ,x k1x k,产生迭代序列kx；简洁迭代收敛定理（压缩映像原理）对于迭代函数 x ,如满意 1如x , , , a b ；2存在正数 0<L<1,使x , ,都有' L1；就对任意初值的迭代序列kx,x k1x k,收敛于方程的唯独根；局部收敛性：当x,如有' 1且' x 连续' 1收敛误差：kxk L x 0k L ba收敛速度 收敛阶 ：如存在实数P 和非零常数C,使得lim kx k1C0,称迭代序列x k是 P 阶收敛； P=1,线性收敛； P>1,超线性收敛；P=2,平方收敛；定理：设是方程x x 的根,假如迭代函数 x 满意''' .P10,P0x k1x k产生的迭代序列kx是 P 阶收敛；二牛顿迭代法名师归纳总结 x k1x kf xk 第 9 页,共 11 页f'xk收敛性分析：牛顿迭代法具有局部收敛性,初值x 0x,产生迭代序列收敛；收敛定理：设fx在a,b上二阶导数存在,如f a f b0, f x 在a,b 上单调,f x 在a,b 上凹向不变 （即f'' x 在区间上不变号） ,初值x 满意f x0f''x 00,就任意初值x0 , a b ,有牛顿迭代法产生的kx收敛于方- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 程的唯独根；简化牛顿法：xk1xkf x kxk1x kf x kx k1xkf x kf'x kf'x0 C三弦割法或割线法用差商代替导数x k1x kf x kf x k1 f x kx kx k1其次节 线性代数方程组迭代解法Jacobi 迭代法, Gauss-Seidel迭代法SOR迭代法（xik11xikx GSk1）opt112jB2 迭代法的收敛性：将迭代法用矩阵表示：ADEF ,xk1BxkgJacobi 迭代法：G-S迭代法：SOR迭代法：定理：x k 1Bx kg ,对 x 产生的迭代序列 0 kx 收敛的充要条件是：klim k B 0 或 B 1；推论 1：如 B 1,就收敛；推论 2： SOR方法收敛的必要条件是 0 2；推论 3：设 A 是严格对角占优矩阵,就 Jacobi,G-S, 0 1的 SOR方法收敛；推论 4： 1设 A 是对称正定矩阵,就 G-S方法收敛； 2 设 A 是对称正定矩阵,如 2D-A 也对称正定,就 Jacobi 方法收敛；如 2D-A 不对称正定,就 Jacobi 方法不收敛； 3 设 A 是对称正定矩阵, 0 2,就 SOR方法收敛；第三节 非线性方程组的迭代解法k x1k xf'xk1k f x第七章 矩阵特点值和特点向量矩阵 A 主特点值模最大的特点值取为主特点值；名师归纳总结 对 n 个互不相同的特点值21n2k z3.n ,对应特点向量123 n ；第 10 页,共 11 页任意向量z 0c 1 1c 2. nk A Z0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - klimz kc 11k1,kz 是对应 A 的1 的特点向量,z k1i1z ki规范乘幂法y kAzk1,y 按模取最大重量maxy km ,z ky k；m klim kz k10,0 1是1的规范化向量；lim km k1；加速法（原点位移法）ykApI z k1第八章 常微分方程数值解法的导出' y x f , hf x y if x i1,y i1y a y0一数值微分法欧拉公式：yi1y ihf xi,yi后退欧拉公式：y i1y ihfx i1,yi1终点法：yi1yi12hfx yi局部截断误差：y x i1yih2y'' 2二数值积分法y i1y ihf x y if x i1,y i12预估y i1y ihf x y i,校正y i1y i2三泰勒展现法四线性多步法名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页