2022年高中三角函数习题ABC .pdf
学习好资料欢迎下载三角函数题解阿1.（2003 上海春， 15）把曲线 ycosx+2y1=0 先沿 x 轴向右平移2个单位，再沿y 轴向下平移 1 个单位，得到的曲线方程是（）A.（1y）sinx+2y3=0 B.（y1）sinx+2y3=0 C. （ y+1）sinx+2y+1=0 D.(y+1)sinx+2y+1=0 1.答案： C 解析：将原方程整理为：y=xcos21，因为要将原曲线向右、向下分别移动2个单位和 1 个单位，因此可得y=)2cos(21x1 为所求方程 .整理得（ y+1）sinx+2y+1=0. 评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为： （y+1）cos（ x2）+2（y+1） 1=0，即得 C 选项 . 2. （2002 春北京、 安徽，5）若角 满足条件sin20，cos sin0， 则 在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.答案： B 解析： sin22sincos0 sincos0 即 sin 与 cos 异号， 在二、四象限，又 cossin0 cossin由图 45，满足题意的角应在第二象限3.（2002 上海春， 14）在 ABC中，若 2cosBsinA sinC ，则 ABC的形状一定是 （）A.等腰直角三角形B.直角三角形C. 等腰三角形D.等边三角形3.答案： C 解析： 2sinAcosBsin（AB） sin（ AB）又 2sinAcosBsinC，sin（AB） 0， A B4.（ 2002 京皖春文， 9）函数 y=2sinx的单调增区间是（）A.2k2，2k2 （kZ）B.2k2，2k23 （kZ）C. 2k，2k （kZ）D.2k，2k （kZ）图 45 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学习好资料欢迎下载4.答案： A 解析：函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx 的单调增区间 . 5.（2002 全国文 5，理 4）在（ 0，2）内，使 sinxcosx 成立的 x 取值范围为（）A.（4，2）（ ，45）B.（4，）C. （4，45）D.（4， ）（45，23）5.答案： C 解法一：作出在（0， 2） 区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4和45，由图 4 6 可得 C 答案 . 图 46 图 47 解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图 47）6.（ 2002 北京， 11）已知f（x）是定义在（ 0， 3）上的函数，f（x）的图象如图41所示，那么不等式f（x）cosx0 的解集是（）A.（ 0，1）（ 2，3）B.（1，2）（2，3）C. （ 0，1）（2，3）D.（0，1）（ 1，3）6.答案： C 图 41 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学习好资料欢迎下载解析：解不等式f（x）cosx0300cos0)(300cos0)(xxxfxxxf或1010231xxxx或0 x1 或2x3 7.（2002 北京理， 3）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间（2，）上为减函数的是（）A.y=cos2xB.y 2|sin x| C. y(31)cosxD.y= cotx7.答案： B 解析： A 项： y=cos2x=22cos1x，x= ，但在区间（2，）上为增函数 . B 项：作其图象48，由图象可得T=且在区间（2，）上为减函数 . C 项：函数 y=cosx 在(2，)区间上为减函数,数 y=（31）x为减函数 .因此 y=（31）cosx在（2，）区间上为增函数. D 项：函数 y cotx 在区间（2，）上为增函数 . 8.（ 2002 上海， 15）函数 y=x+sin| x| ，x ，的大致图象是（）8.答案： C 解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin| x| ，x ，为非奇非偶函数. 图 48 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学习好资料欢迎下载选项 A、D 为奇函数， B为偶函数， C为非奇非偶函数. 9.（ 2001 春季北京、安徽，8）若 A、B是锐角 ABC的两个内角，则点P（cosBsinA，sinBcosA）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.答案： B 解析： A、B是锐角三角形的两个内角，A B90，B90 A，cosBsinA，sinBcosA，故选 B. 10.（2001 全国文， 1）tan300 +cot405的值是（）A.13B.13C.13D.1310.答案： B 解析： tan300 cot405 tan(360 60 ) cot(360 45 ) tan60 cot45 13. 11.（2000 全国， 4）已知 sinsin，那么下列命题成立的是（）A.若、是第一象限角，则coscosB.若、是第二象限角，则tantanC. 若 、是第三象限角，则coscosD.若、是第四象限角，则tantan11.答案： D 解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A、C，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同. 12.（2000 全国， 5）函数 y xcosx 的部分图象是（）12.答案： D 解析：因为函数y xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x（ 0，2）时， y xcosx0. 13.（1999 全国， 4）函数 f（x）=Msin（x） （ 0） ，在区间 a，b上是增函数，且 f（ a）=M，f（ b）=M，则函数g（ x）=Mcos（ x）在 a，b上（）A.是增函数B.是减函数C. 可以取得最大值D.可以取得最小值m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习好资料欢迎下载13.答案： C 解法一：由已知得M0，22kx22k（ kZ） ，故有g（x）在a，b上不是增函数，也不是减函数，且当x2k时 g（x）可取到最大值M，答案为 C. 解法二：由题意知，可令 1，0，区间 a，b为2，2 ，M1，则g（x）为 cosx，由基本余弦函数的性质得答案为C. 评述：本题主要考查函数y=Asin（ x）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题. 14.（1999 全国， 11）若 sin tancot（22)，则 （）A.（2，4）B.（4，0）C. （ 0，4）D.（4，2）14.答案： B 解法一：取 3，6代入求出sin、 tan、cot之值，易知 6适合，又只有6（4，0） ，故答案为B. 解法二： 先由 sintan得：（2，0） ，再由 tan cot得:（4，0）评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995 年、 1997 年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好. 15.（1999 全国文、理， 5）若 f（x）sinx 是周期为 的奇函数，则f（x）可以是（）A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x15.答案： B 解析：取 f（x）=cosx，则 f（x） sinx=21sin2x 为奇函数，且T=. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 16.（1998 全国， 6）已知点P （sincos，tan ）在第一象限，则在0，2内的取值范围是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习好资料欢迎下载A.（2，43）（ ，45）B.（4，2）（ ，45）C. （2，43）（45，23）D.（4，2）（43，）16.答案： B 解法一： P（sin cos，tan）在第一象限，有tan0，A、C、D 中都存在使tan 0 的，故答案为B. 解法二： 取3（2,4） ，验证知 P在第一象限， 排除 A、C， 取 65（43，） ，则 P点不在第一象限，排除D,选 B. 解法三： 画出单位圆如图410 使 sin cos0 是图中阴影部分，又 tan0 可得24或45，故选 B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法. 17.（1997 全国， 3）函数 y=tan（3121x）在一个周期内的图象是（）17.答案： A 解析： y tan（3121x）tan21（x32） ，显然函数周期为T2，且 x32时， y=0，故选 A. 评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键. 18.（1996 全国）若sin2xcos2x，则 x 的取值范围是（）A.x|2 k43x2k+4，k Z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学习好资料欢迎下载B.x|2 k+4x2k+45，kZ C.x| k4xk +4，kZ D.x| k+4xk+43，kZ 18.答案： D 解析一：由已知可得cos2x=cos2xsin2x0，所以 2k+22x2k+23，kZ.解得 k+4xk+43，kZ（注：此题也可用降幂公式转化为cos2xcos2x 得 sin2x1sin2x，sin2x21.因此有 sinx22或 sinx22.由正弦函数的图象（或单位圆）得2k+4x2k+43或 2k +45x2k+47 （kZ） ，2k+45 x2k +47可写作（ 2k+1）+4x（2k+1）+43，2k 为偶数， 2k+1 为奇数，不等式的解可以写作n+4xcot2B.tan2cos2D.sin2 cos223.答案： A 解法一：因为为第二象限角，则2k2 2k（ kZ） ，即2为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图413，所以 tan2cot2. 解法二：由已知得：2k22k ，k 42k2，k 为奇数时， 2n4522n23（n Z） ；k 为偶数时， 2n422n2（nZ） ，都有tan2cot2，选 A. 评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本. 24. （2002 上海春， 9）若 f （x）=2sinx （01)在区间0，3上的最大值是2，则 . 24.答案：43解析： 01 T22f（ x）在 0，3区间上为单调递增函数f（x）maxf（3）即 2sin23又 01 解得 4325.（2002 北京文， 13）sin52， cos56 ，tan57从小到大的顺序是. 25.答案： cos56 sin52tan57解析： cos560， tan57 tan52 0 x2时， tanxx sinx 0 图 413 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学习好资料欢迎下载tan52sin520 tan57sin52cos5626.（1997 全国， 18）8sin15sin7cos8sin15cos7sin的值为 _. 26.答案： 23解析：8cos15cos8cos15sin8sin15sin)815cos(8sin15cos)815sin(8sin15sin7cos8sin15cos7sin3230sin30cos115tan. 评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 27.（1996 全国， 18）tan20+tan40+3tan20 tan40的值是 _. 27.答案：3解析： tan60=40tan20tan140tan20tan， tan20+tan40=33tan20tan40，tan20+tan40+3tan20tan40=3. 28.（1995 全国理， 18）函数 ysin（x6）cosx 的最小值是 . 28.答案：43解析： y sin（x6）cosx21sin（2x6） sin621sin（2x6）21当 sin（ 2x6） 1 时，函数有最小值，y最小21（ 121）43. 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 29.（1995 上海， 17）函数 ysin2x cos2x在（ 2 ，2）内的递增区间是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页学习好资料欢迎下载29.答案： 2,23解析： ysin2x cos2x2sin（42x） ，当2k22x42k2（kZ）时，函数递增， 此时 4k23x4k2（ kZ） ，只有 k 0 时， 23，2（ 2，2）. 30.（1994 全国， 18）已知 sin cos51，（ 0，） ，则 cot的值是 . 30.答案：43解法一：设法求出sin 和 cos ，cot便可求了，为此先求出sin cos的值 . 将已知等式两边平方得12sincos251变形得 12sincos2251，即（ sincos）22549又 sin cos51，（ 0，）则243，如图 414 所以 sincos57，于是sin54，cos53，cot43. 解法二：将已知等式平方变形得sincos2512，又 （ 0，） ，有 cos0sin，且 cos、sin是二次方程x251x25120 的两个根，故有cos53，图 414 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习好资料欢迎下载sin54，得 cot43. 评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活. 31.（2000 全国理， 17）已知函数y21cos2x23sinxcosx1，xR. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由ysinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 31.解： （1） y21cos2x23sinxcosx1 41（2cos2x1）4143（2sinxcosx） 1 41cos2x43sin2x4521（cos2xsin6sin2x cos6）4521sin（ 2x6）45y 取得最大值必须且只需2x622k，kZ，即 x6k，kZ. 所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 x| x6k，k Z. （2）将函数ysinx 依次进行如下变换：把函数 ysinx 的图象向左平移6，得到函数y sin（x6）的图象；把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变） ，得到函数ysin（2x6）的图象；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学习好资料欢迎下载把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变） ，得到函数y21sin（2x6）的图象；把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y21sin（2x6）45的图象；综上得到函数y21cos2x23sinxcosx 1 的图象 . 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力 . 32.（2000 全国文， 17）已知函数y3sinxcosx，xR. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y sinx（ xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 32.解： （1） y3sinxcosx 2（sinxcos6cosxsin6） 2sin（x6） ，xRy 取得最大值必须且只需x622k，kZ，即 x32k ，kZ. 所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 x| x32k， kZ（2）变换的步骤是：把函数 ysinx 的图象向左平移6，得到函数y sin（x6）的图象；令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2 倍，得到函数y2sin（x6）的图象；经过这样的变换就得到函数y3sinxcosx 的图象 . 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学习好资料欢迎下载33.（1995 全国理， 22）求 sin220 cos250 sin20cos50的值 . 33.解：原式21（1cos40）21（1cos100）21（sin70 sin30）121（cos100 cos40）21sin704143sin70sin3021sin704321sin7021sin7043. 评述：本题考查三角恒等式和运算能力. 34.（1994 上海， 21）已知 sin 53，（2，） ，tan（）21，求 tan（ 2）的值 . 34.解：由题设sin 53，（2，） ，可知 cos54， tan43又因 tan（）21，tan21，所以 tan234tan1tan22tan（2）2471134432tantan12tantan35.（1994 全国理， 22）已知函数f（x）=tanx，x（ 0，2） ，若 x1、x2（ 0，2） ，且 x1x2，证明21f（x1） f（x2） f（221xx）. 35.证明： tanx1tanx22121212211coscossincoscossincossincossinxxxxxxxxxx2121coscos)sin(xxxx)cos()cos()sin(2212121xxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习好资料欢迎下载因为 x1，x2（ 0，2） ，x1x2，所以 2sin（x1x2） 0，cosx1cosx20，且 0cos（x1x2） 1，从而有 0cos（x1x2） cos（ x1 x2） 1cos（x1x2） ，由此得 tanx1tanx2)cos(1)sin(22121xxxx，所以21（tanx1tanx2） tan221xx即21f（x1） f（x2） f（221xx）. 36.已知函数12( )log (sincos )f xxx求它的定义域和值域；求它的单调区间；判断它的奇偶性；判断它的周期性. 解（ 1）x 必须满足sinx-cosx0，利用单位圆中的三角函数线及52244kxk，kZ函 数 定 义 域 为)45k2,4k2(， k Z sincos2sin()4xxx 当x 5(2, 2)44kk时，0sin()14x 0sincos2xx121log22y 函数值域为,21）（3）( )f x定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,( )f x不具备奇偶性（4） f(x+2)=f(x) 函数 f(x)最小正周期为2注；利用单位圆中的三角函数线可知，以、象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx 的符号；以、象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx 的符号37. 求函数 f (x)=121logcos()34x的单调递增区间解： f (x)=121log cos()34x令431xt, y=tcoslog21,t 是 x 的增函数 ,又 0210, 2k t2k +2(kZ), 2k431x2k +2(kZ) ,6k -43x6k +43(k Z),f (x)=)431cos(log21x的单调递减区间是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习好资料欢迎下载6k -43,6k +43) (k Z) 38. 已知 f(x)=5sinxcosx-35cos2x+325（xR）求 f(x)的最小正周期；求 f(x)单调区间；求 f(x)图象的对称轴，对称中心。解：（1）T=（2）增区间 k -12，k+125，减区间 k+1211k,125（3）对称中心（62k，0） ，对称轴1252kx，k Z 39 若关于 x 的方程 2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根，求实数a 的取值范围。解 ： 原 方 程 变 形 为 ： 2cos2xsinx+ a = 0 即2 2sin2xsinx+ a= 0, 817)41(sin22sinsin222xxxa,1sinx1 ,81741sinminax时，当；11sinmaxax时，当,a 的取值范围是 1,817 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页
