2022年高中数学空间向量求距离教案人教新课标必修 .pdf
名师精编优秀教案课题： 空间的距离第一课时教学目标：知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算。过程与方法：分组合作，示范交流，应用小结。情感态度与价值观：掌握空间向量的应用。教 学环节教师活动学生活动一 、复 习引入二 、新 课导入三 、例 题讲解1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。2、距离的特征：距离是指相应线段的长度；此线段是所有相关线段中最短的；除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。3、求空间中的距离有直接法，即直接求出垂线段的长度；转化法，转化为线面距或面面距， 或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；向量法求解。二、建构数学1、两点间的距离公式设空间两点111222,A x y zB xyz，则222121212ABdxxyyzz2、向量法在求异面直线间的距离设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a，与这两条异面直线都垂直的向量为n，则两异面直线间的距离是a在n方向上的正射影向量的模。|nnad4、向量法在求点到平面的距离中（1）设分别以平面外一点P 与平面内一点M 为起点和终点的向量为a，平面的法向量为n，则 P到平面的距离d 等于a在n方向上正射影向量的模。|nnad（ 2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P（x0,y0,z0）到平面AX+BY+CZ+D=0 的距离 d 为： d=A x0+B y0+C z0+DA2+B2+C2例 1 直三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱 AA1=3，底面 ABC 中， C=90 ，AC=BC=1，求点 B1到平面 A1BC 的距离。解 1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A（1,0,0） ，B（0,1,0） ，C（0,0,0）A1（1,0,3 ） ，B1（0,1, 3 ） ，C1（0,0, 3 ）BA1=（ 1,1,3 ） ，CA1=（ 1,0,3 ）11AB=（1,1,0）设平面A1BC的一个法向量为),(zyxn，则思考练习思考小结例题分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页名师精编优秀教案zyxC1B1A1ACBCADBOE0011CAnBAn0303zxzyx103zyx即)1 ,0,3(n所以，点B1到平面 A1BC 的距离23|11nBAnd解 2 建系设点同上（略） ，设平面A1BC 的方程为ax+by+cz+d=0 (a,b,c,d 不全为零 )，把点 A1， B，C 三点坐标分别代入平面方程得00dbd03bca平面 A1BC 的方程为3 x+z=0 又 B1（0,1,3 ）设点 B1到平面 A1BC 的距离为d，则d= 3 x0+1 x0+3 (3)2+1 = 3 22、例 2（ 20XX 年福建卷） 如图， 四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2BDCDCBCA2ADAB（I）求证：AO平面 BCD ；（II）求异面直线AB 与 CD 所成角的大小；（III ）求点 E 到平面 ACD 的距离。解： （I）略（II）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),( 1,0,0),BD13(0,3,0),(0,0,1),(,0),( 1,0,1),( 1,3,0).22CAEBACD.2cos,4BACDBA CDBA CD异面直线AB 与 CD 所成角的大小为2arccos.4（III ）解：设平面ACD 的法向量为( , ),nx y z则分析思考巩固练习xCABODyzE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页名师精编优秀教案EFDCBA四 、练习.( , ).( 1,0,1)0,.( , ).(0,3,1)0,n ADx y zn ACx y z0,30.xzyz令1,y得(3,1,3)n是 平 面ACD的 一 个 法 向 量 ， 又13(,0),22EC点 E 到平面 ACD 的距离.321.77EC nhn练习：（2005 福建卷理第20 题）如图，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为 2 的正方形， AEEB，F 为 CE 上的点，且BF平面 ACE（）求证：AE平面 BCE；（）求二面角B-AC-E 的大小；（）求点D 到平面 ACE 的距离。解（）略（）以线段AB 的中点为原点O，OE 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过 O 点平行于 AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图 . AE面 BCE，BE面 BCE ，BEAE，在ABOABAEBRt为中, 2,的中点，).2, 1 , 0(),0,0, 1(),0, 1,0(1CEAOE).2,2, 0(),0 , 1 , 1(ACAE设平面 AEC 的一个法向量为),(zyxn，则. 022, 0, 0,0 xyyxnACnAE即解得,xzxy令, 1x得)1 , 1, 1 (n是平面 AEC 的一个法向量 . 又平面 BAC 的一个法向量为)0 ,0 , 1 (m，.3331|,),cos(nmnmnm二面角BACE 的大小为.33arccos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页名师精编优秀教案五 、小结课 后反思（III ） AD/z 轴， AD=2 ，)2, 0, 0(AD，点 D 到平面 ACE 的距离.33232|nnADd知识小结：向量法求距离学生做题思路清晰，运用公式恰当，完成教学目标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
