2022年试讲教案 2.pdf

内江师范学院数学与信息科学学院2010 级试讲教案1 一、课题：函数的单调性二、教学目标1、知识目标：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法2、能力目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力3、情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程三、教学重难点教学重点：函数单调性概念（定义）的理解教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性四、教学方法：教师启发讲授为主，学生探究学习五、教学用具：粉笔、多媒体辅助教学六、课型：新授课七、教学过程（一）创设情境，引入新课1）复习回顾上节课我们学习了函数的概念，同学们回忆一下：A、函数有几个要素？各是什么？（三要素；分别是：定义域、值域、对应关系）B、函数的定义域怎样确定？怎样表示？（使函数表达式有意义；用集合表示）C、函数的表示方法常见的有几种？（解析式、图像、表格）2）讲授新课我们研究了函数的概念及函数的三要素，那么这一节在研究具体函数之前，请观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 内江师范学院数学与信息科学学院2010 级试讲教案2 学生通过充分观察提出自己意见：随 x 的增大， y 的值有一定变化；有的函数有最大值或最小值；有的函数图象有上升或下降的情形或具有某种对称性,师：图 1：函数图像在整个定义域上都是下降的图 2：函数图像在)0 ,(上下降，在), 0(上上升图 3：函数图像在整个定义域上都是上升的图 4：函数图像在部分区域上上升，在部分区域上下降共同特点： 图像在定义域的某些部分上升或下降师：图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质数学上把函数的这种性质称之为“单调性”把上升称为“单调增” ，把下降称为“单调减” 那么，我们如何描述函数图像的“上升”“下降”呢？对图 2 进行分析， 图像在y轴左侧“下降” ，也就是在区间)0,(上任取两个值1x、2x且12xx，( )f x随着x的增大而减小；图像在y轴右侧“上升”，也就是在区间),0(上，( )f x随着x的增大而增大（二）合作探求，获得新知1、函数单调性的概念一般地，设函数( )yf x的定义域为I：如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量的值1x、2x，（1）当12xx时，都有12()()f xf x，那么就说( )f x在这个区间上是增函数；（2）当12xx时，都有12()()f xf x，那么就是( )f x在这个区间上是减函数如果函数( )yf x在某个区间是增函数或减函数，那么就说函说( )yf x在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做( )yf x的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的注意： （1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）1x、2x为给定区间上的任意值（三）概念的应用及函数单调性的证明1）概念的应用例 1 图 4 所示的是定义在闭区间5,5上的函数( )f x的图象，根据图象说出( )f x的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，( )f x是增函数还是减函数？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 内江师范学院数学与信息科学学院2010 级试讲教案3 学生 1：函数( )yf x在区间5,2x和1,3上是减函数，因此5,2，1,3是函数( )yf x的单调减区间；在区间2,1，3,5上是增函数，因此2,1，3,5是函数( )yf x的单调增区间学生 2：我有一个问题，5,2是函数( )f x的单调减区间， 那么，是否可认为( 5,2)也是( )f x的单调减区间呢？师：问得好这说明你想的很仔细，思考问题很严谨容易证明：若( )f x在,a b上单调(增或减 )，则( )f x在( , )a b上单调 (增或减 )反之不然，你能举出反例吗？一般来说( )f x在,a b上单调 (增或减 )，且11,a ba b，则( )f x在 上11,a b单调(增或减 )反之不然2） 函数单调性的证明归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论例2 证明函数( )32f xx在R上是增函数师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象， 因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程师：对于1()f x和2()f x我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数,a b如果ab， 那么它们的差ab就大于零；如果ab， 那么它们的差ab就等于零；如果ab，那么它们的差ab就小于零，反之也成立因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系生：设12,x x是(,)上任意两个自变量，当12xx时，121212()()32(32)3()0f xf xxxxx，所以( )f x是增函数师：一开始设12,x x是(,)内任意两个自变量，并设12xx(边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“设”)，然后看12( )()f xf x，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”(同上，划线并标注”作差，变形” )但美中不足的是他没能说明为什么12( )()0f xf x，没有用到开始的假设“12xx” ，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号应写明“因为12xx，所以120 xx，从而12( )()0f xf x，即12()()f xf x ”这一步可概括为“定符号” (在黑板上板演，并注明“定符号”)最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”(在相应位置标注“下结论” )（四）课堂练习练习 1 试用函数单调性的定义判断函数2( )24f xxx在( 2,1)x上的单调性？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 内江师范学院数学与信息科学学院2010 级试讲教案4 练习 2 证明函数1( )f xxx在(0,1)x上为单调递减函数（五）课堂小结本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明（六）作业布置课后练习 1，2，3，4 八 板书设计1.3. 函数的单调性1 函数单调性的概念2 单调性的证明方法例题解析例 1 例 2 多媒体展示区名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -