2022年题目：主要研究希尔伯特矩阵的病态性 .pdf

题目：主要研究希尔伯特矩阵的病态性Hilbert 矩阵的定义为：Hn=)1n2/(1)1n/(1/1）1n/(13/12/1n/12/11n该矩阵是一个对称正定矩阵，其条件数随n的增加迅速增加。画出 ln（cond （Hn）2）n 之间的曲线， 观察他们的关系。 其中 cond （Hn）2表示矩阵在 2 范数下的条件数，它可按如下公式计算：（1） cond（Hn）2=n1，1和n分别是 Hn的最大特征值和最小特征值。（2） 设 D 是 Hn对角元素开方构成的对角矩阵， 令nH=D1HnD1，不难看出nH依然还是对称矩阵，并且对角元素都是1，画出 ln（cond（Hn）2）之间的曲线，观察他们之间的关系。（3） 对于 4n12，给定不同的右端项b，分别用 x1=H1n；x2= D1（nH1D1b） ；x3= Hnb，求解 Hnx=b，比较结果 x1、x2、 x3。程序如下：首先，建立 eiggg-M 文件，求解矩阵的最大特征值和最小特征值。function max,min=eiggg(s) ss=size(s)if ss=1; max=s(1); min=s(1);else max=s(1); min=s(1);for i=1:1:ss;if s(i)=max max=s(i);endif s(i)=min min=s(i);endend名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - end再建立 Hilbert.m 文件，给出 Hilbert 矩阵的定义：function H=Hilbert(n)H=zeros(n,n); for i=1:1:n; for j=1:1:n; H(i,j)=1/(i+j-1);endend然后求出 D的逆矩阵function H=Hilbert2(n)H=zeros(n,n);for j=1:1:n; H(j,j)=1/(2*j-1);endD=sqrt(H);D1=inv(D);H=D1*H*H;编译主程序：clear;clc;N=4; mv2=zeros(N,1); for i=1:1:N; H=Hilbert2(i); s=eig(H); max,min=eiggg(s); mv1=max/min; mv2(i)=log(mv1); endn=1:1:N; figure(1),subplot(221),plot(n,mv2(n); title(ln(cond(Hn)2)与 n之间的关系 );H1=Hilbert(N);H2=Hilbert2(N);b=1;2;3;4;x1=inv(H1)*b;x2=H2*b;x3=H1b;sss=size(x1)i=1:1:sss(1);subplot(222),plot(i,x1);subplot(223),plot(i,x2);名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - subplot(224),plot(i,x3);运行之后的结果：ss = 1 1 ss = 2 1 ss = 3 1 ss = 4 1 sss = 4 1 得出图像：由此可见， 其条件数随 n 的增加而增加， 则该矩阵不收敛， 故则证得希尔伯特矩阵式的病态性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -