2022年高中数学解三角形方法大全 .pdf

1 解三角形1解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。以下假设无特殊说明，均设ABC的三个内角CBA、的对边分别为cba、，则有以下关系成立：1边的关系：cba，bca，acb或满足：两条较短的边长之和大于较长边2角的关系：CBA，CBA、0，BA0，BA，0sin A，CBAsin)sin(，CBAcos)cos(，2cos2sinCBA3边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用1正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin，其中R为ABC的外接圆半径2正弦定理适用于两类解三角形问题：1已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；2已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角注意此角有两解、一解、无解的可能，再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边【例 1】考查正弦定理的应用1ABC中，假设60B，42tan A，2BC，则AC_；2ABC中，假设30A，2b，1a，则C_；3ABC中，假设45A，24b，8a，则C_；4ABC中，假设Acasin，则cba的最大值为 _。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页2 总结：假设已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC中，已知a、b、A1假设A为钝角或直角，则当ba时，ABC有唯一解；否则无解。2假设A为锐角，则当Abasin时，三角形无解；当Abasin时，三角形有唯一解；当baAbsin时，三角形有两解；当ba时，三角形有唯一解实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式1余弦定理：在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，则有余弦定理：CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222，其变式为：abcbaCacbcaBbcacbA2cos2cos2cos2222222222余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：1已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角或由余弦定理求第二个角，最后根据“内角和定理”求得第三个角；2已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角或由余弦定理求第二个角 ，最后根据“内角和定理”求得第三个角；说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决3三角形的面积公式1cbaABCchbhahS212121ah、bh、ch分别表示a、b、c上的高；2BacAbcCabSABCsin21sin21sin213ABCSCBARsinsinsin22R为外接圆半径4RabcSABC4；5)()(cpbpappSABC其中)(21cbap精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3 6lrSABC21r是内切圆的半径，l是三角形的周长【例】考查余弦定理的基本应用 1在ABC中，假设32a，26b，45C，求BAc、； 2在ABC中，假设13a，4b，3c，求边AC上的高h； 3在ABC中，假设132a，8b，60A，求c【例】 1在ABC中，假设7a，8b，1413cosC，则ABC中最大角的余弦值为_ 2 10 上海理某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为51111131、，则 A不能作出这样的三角形 B作出一个锐角三角形 C作出一个直角三角形 D作出一个钝角三角形 3以x、43为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围为_ 【例】考查正余弦定理的灵活使用1在ABC中，假设CcAbBasincoscos，其面积)(41222acbS，则B_ 2在ABC中，假设CaAcbcoscos)3(，则Acos_ 3 07 天津理在ABC中，假设bcba322，BCsin32sin，则A_ 4 10 江苏在锐角ABC中，假设Cbaabcos6，则BCACtantantantan_ 【例】判断满足以下条件的三角形形状1AbBatantan22； 2BACsincos2sin；3cbaBAcoscos；4)sin()()sin()(2222BAbaBAba；5Cabsin，Baccos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页4 板块三：解三角形综合问题【例】 09 全国 2在ABC中，角CBA、的对边分别为a、b、c，23cos)cos(BCA，acb2，求B【例】 11 西城一模在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，且54cosB，2b1当35a时，求角A的度数；2求ABC面积的最大值【例】在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3，求Asin的值和ABC的面积【例】在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，已知2c，3C1假设ABC的面积等于3，求ba、；2假设sinsin()2sin 2CBAA，求ABC的面积【例 5】 09 江西理在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，且sinsintancoscosABCAB，sin()cosBAC1求CA、2假设33ABCS，求ca、【例】 09 安徽理在ABC中，sin()1CA, 31sin B1求Asin的值；2设6AC，求ABC的面积【例】 10 辽宁理在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，且CbcBcbAasin)2(sin)2(sin21求A的大小；2求CBsinsin的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5 【例】在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、， ，)(43222cbaSABC1求C的大小；2求BAsinsin的范围【例】 11 全国 2设ABC的内角CBA、的对边分别为cba、，已知90CA，bca2，求C【江西理】在ABC中，角CBA、的对边分别是cba、，已知2sin1cossinCCC1求Csin的值；2假设8)(422baba，求边c的值【11 江西文】在ABC中，角CBA、的对边分别是cba、，已知CbBcAacoscoscos3 1求Acos的值；2假设332coscosCB，1a，求边c的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页