2022年高中数学高考题详细分类考点二元一次不等式与简单的线性规划问题 .pdf

考点 28 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1. (2013 新课标全国高考理科T9) 已知 a0,x,y满足约束条件133xxyya x若 z=2x+y 的最小值为1, 则 a= ( ) A.14 B. 12 C.1 D.2 【解题指南】结合线性约束条件, 画出可行域 , 由目标函数取得最小值1, 结合图形可求得a. 【解析】 选 B.画出不等式组表示的平面区域如图所示: 当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A时,z 取得最小值 , 而点 A的坐标为(1,-2a),所以 2-2a=1, 解得 a=1,2, 故选 B. 2. （2013新课标全国高考文科3）设, x y满足约束条件10,10,3,xyxyx，则23zxy的最小值是（）A.7 B.6 C.5 D.3【解题指南】结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移得最小值. 【解析】 选 B.由 z=2x-3y 得 3y=2x-z ，即233zyx。作出可行域如图, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页平移直线233zyx， 由图象可知当直线233zyx经过点 B 时，直线233zyx的截距最大，此时z取得最小值，由103xyx得34xy，即(3, 4)B, 代入直线z=2x-3y 得323 46z，选 B.3. （2013陕西高考文科7）若点 (x,y) 位于曲线y = |x| 与y = 2所围成的封闭区域, 则 2xy的最小值为 ( ) A. 6 B . 2 C. 0 D. 2 【解题指南】 画出直线围成的封闭区域，把求2x-y 最小值转化为求y=2x-z所表示直线的截距的最大值，通过平移可求解. 【解析】 选 A.2|yxy与的图像围成一个三角形区域，3 个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 在封闭区域内平移直线y=2x，在点 (-2,2)时，2x y = - 6取最小值 . 4. （2013山东高考理科6）在平面直角坐标系xOy 中，M为不等式组：2xy20 x2y103xy80，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A.2 B.1 C.13 D. 12【解题指南】 本题可先根据题意画出平面区域，然后利用数形结合找出斜率的最值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页【解析】 选 C. 作出可行域如图由图象可知当M位于点 D处时， OM的斜率最小 . 由210380 xyxy得31xy，即(3,1)D, 此时 OM的斜率为1133.5. （2013北京高考理科8）设关于 x,y 的不等式组210,0,0 xyxmym表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y0=2，求得m的取值范围是（）A.4,3 B. 1,3 C. 2,3 D. 5,3【解题指南】 作出平面区域， 则区域的边界点中有一个在x02y0=2 的上方，一个在下方。【解析】 选 C。作出可行域如下图所示：要使可行域存在，必有21mm，要求可行域内包含直线112yx上的点，只要边界点(,12)mm在直线112yx上方，且(,)m m在直线112yx下方，解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页不等式组12,1121,211,2mmmmmm得 m 23.6. （2013 四川高考文科 8） 若变量, x y满足约束条件8,24,0,0,xyyxxy且5zyx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是（）A48 B.30 C.24 D.16【解题指南】 本题考查的是简单的线性规划问题，求解的关键是正确的作出可行域，然后求出最大值与最小值. 【解析】 选 C，作出可行域如图，结合图形可知， 当1155yxz经过点 A4,4时，z取最大值16，当1155yxz经过点 B8,0时，z取最小值为 -8 ，所以24ab，故选 C. 7.（2013湖北高考文科9）某旅行社租用A，B两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为 1600 元/ 辆和 2400 元/ 辆，旅行社要求租车总数不超过21 辆，且B型车不多于A型车 7 辆则租金最少为( ) A31200 元 B36000 元 C36800 元D38400 元【解题指南】利用线性规划求解. 【解析】 选 C. 设 A 型、B型车辆的数量分别为x，y 辆，则相应的运营成本为 1600 x+2400y ，依题意， x，y 还需满足： x+y21，yx+7，36x+60y900，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页于是问题等价于求满足约束条件217,3660900,0, ,xyyxxyx yx yN，要使目标函数16002400zxy达到最小值。作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6), 由图可知 , 当直线 z=1600 x+2400y 经过可行域的点P时, 直线 z=1600 x+2400y在 y 轴上截距2400z最小 , 即 z 取得最小值 . 故应配备 A型车 5 辆,B 型车 12 辆. zmin=1600 x+2400y=16005+240012=36800( 元). 8（2013天津高考文科T2) 与(2013 天津高考理科T2)相同设变量 x,y 满足约束条件360,20,30,xyyxy则目标函数z=y-2x 的最小值为( ) A.-7 B.-4 C.1 D.2 【解题指南】 画出约束条件所表示的可行域, 平移直线z=y-2x 至截距最小即可. 【解析】 选 A.由 z=y-2x, 得 y=2x+z. 作出不等式组对应的平面区域ABC. 作直线 y=2x, 平移直线y=2x+z , 由图象知当直线经过点B 时,y=2x+z 的截距精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页最小 , 此时 z 最小 . 由20,30,xyy得5,3,xy代入 z=y-2x 得 z=3-2 5=-7. 所以最小值为 -7. 9. (2013 福建高考文科 T6) 若变量 x,y 满足约束条件2,1,0,xyxy则 z=2x+y 的最大值和最小值分别为( ) A.4 和 3 B.4和 2 C.3 和 2 D.2和 0 【解题指南】找出可行域 , 将各端点代入求出最值. 【解析】 选 B.可行域如图所示, 可行域的三个端点为1,0 , 2,0 , 1,1, 分别代入可得zmin=21+0=2,zmax=22+0=4. 10. （2013湖南高考理科4）若变量, x y满足约束条件211yxxyy，2xy则的最大值是（）A5-2 B0 C53 D52【解题指南】 先作出约束条件对应的可行域，再求出顶点坐标，然后找出最优解即可。【解析】 选 C.作出不等式组211yxxyy，表示的平面区域, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页得到如图的ABC及其内部 , 其中 A12（-，-1 ）,B1 23 3（， ）,C(2,-1).设 z=x+2y, 将直线 l:z=x+2y 进行平移 , 当 l 经过点 B时, 目标函数z 达到最大值 , 所以 z最 大 值=53. 二、填空题11（2013新课标高考文科14）设 x，y 满足约束条件0131yxx，则yxz2的最大值为 _. 【解题指南】 画出 x,y 满足约束条件的可行域, 平移目标函数, 确定目标函数取得最大值的位置, 求出点的坐标, 将该点坐标代入目标函数中. 【解析】 画出可行域如图所示，当目标函数yxz2过点)3 ,3(A时，取得最大值，3332maxZ【答案】312.（2013大纲版全国卷高考文科15）若xy、满足约束条件0,34,34,xxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页则zxy的最小值为 .【解析】 画出xy、满足约束条件的可行域，如图可知过点A时，目标函数取得最小值，联立4343yxyx，解得)1 , 1(A, 所以011m inz. 【答案】 0. 13. （2013大纲版全国卷高考理科15）记不等式组0,34,34,xxyxy所表示的平面区域为.D若直线1ya xDa与有公共点，则的取值范围是 . 【解析】 画出可行域如图所示，当直线) 1(xay过点A)4 ,0(时，a取得最大值为4，当直线)1(xay过点)1 ,1 (时，a取得最小值为21. 所以a的取值范围为4,21. 【答案】4 ,21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页14. (2013 浙江高考理科T13) 设 z=kx+y, 其中实数x,y 满足20,240,240,xyxyxy，若 z 的最大值为12, 则实数 k= . 【解析】 不等式组表示的可行域如图所示, 由 z=kx+y 可得 y=-kx+z, 知其在 y 轴上的截距最大时,z 最大 , 由图知当12k且直线过点A(4,4) 时,z 取最大值 12, 即 4k+4=12, 所以 k=2. 【答案】 2 15. (2013 浙江高考文科 T15) 设 z=kx+y, 其中实数 x,y 满足2,240,240,xxyxy若z 的最大值为12, 则实数 k= . 【解题指南】根据不等式组画出可行域, 再把目标函数z 转化为在y 轴上的截距 . 【解析】 不等式组表示的可行域如图所示, 由 z=kx+y 可得 y=-kx+z, 知其在 y 轴上的截距最大时,z 最大 , 经检验 -k0 且直线过点A(4,4) 时,z 取最大值12, 即 4k+4=12, 所以 k=2. 【答案】 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页16. (2013 江苏高考数学科T9) 抛物线 y=x2在 x=1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部和边界). 若点 P(x,y) 是区域 D内的任意一点 , 则 x+2y 的取值范围是. 【解题指南】先确定可行域, 再通过平移目标函数求范围. 【解析】 由2yx得抛物线2xy在1x处的切线方程为12(1)yx即21yx即得可行域如图中阴影目标函数112222zxyyxz平移目标函数经过点A时yx2最小经过点B时yx2最大，故yx2的取值范围是1 2,2【答案】1 2,217. （2013湖南高考文科 13）若变量 x,y 满足约束条件28,04,03,xyxy则 x+y的最大值为 _ 【解题指南】 先作出约束条件对应的可行域，求出顶点坐标，然后找出最优解即可。【解析】 画出可行域如图, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页由28,4,xyx得 A(4,2),目标函数z=x+y 可看成斜率为-1 的动直线 , 其纵截距越大 z 越大 , 数形结合可得当动直线过点A时,z最 大=4+2=6. 【答案】 618.（2013安徽高考文科 12）若非负数变量x、y 满足约束条件-124x yxy，?+?则 x+y 的最大值为 _【解题指南】作出可行域，求出最优点，得出最大值。【解析】 由2132453xxyxyy=?-= -镲T眄+=镲?=?，即点 A2 53 3（，），同理可得点B（4,0 ），可行域如图阴影所示，由图可知当直线xyk+=经过（ 4,0 ）时得所求的最大值是4. 【答案】 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页19. （2013北京高考文科12）设 D为不等式组0,2030 xxyxy，表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为_. 【解题指南】 作出可行域D，然后可以看出点（1，0）到 D的距离的最小值为点（ 1，0）到直线2x-y=0 的距离。【解析】 作出可行域D, 点（1，0）到区域 D上点的最小距离即是点（1，0）到直线 2x-y=0 的距离，22| 2 10|2 5521d。【答案】2 5520.（2013广东高考理科13）给定区域D：44,4,0,xyxyx令点集T=(x0,y0)D| x0,y0Z,( x0,y0)是 z=x+y 在D上取得最大值或最小值的点 ，则T中的点共确定 _条不同的直线。【解题指南】本题考查线性规划中的整点最优解问题，可列出整点验算. 【解析】 区域D是以(0,1), (0, 4), (4, 0)为顶点的三角形内部区域（含边界） ，D内的整点有(0,1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2, 2), (3,1), (4, 0)， 这 11个点是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点为(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)，这些点共确定 6 条不同的直线. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页【答案】 6. 21. （2013广东高考文科13）已知变量, x y满足约束条件30,11,1,xyxy则zxy的最大值是【解题指南】本题考查线性规划中的最优解问题，可画出可行域计算. 【解析】 可行域D是以( 1,1), ( 1,2), (1,4), (1,1)为顶点的直角梯形内部区域（含边界），z=x+y在D上取得最大值的点为(1,4)，最大值是5. 【答案】 5. 22.（2013山东高考文科14）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2360200 xyxyy所表示的区域上一动点，则OM的最小值为 _ 【解题指南】 可画出不等式组表示的平面区域，OM的最小值即为在平面区域内找一点，使得这点与原点的距离最小. 【解析】 作出可行域如图易知过原点做直线02yx的垂线，即为OM的最小值 , 21120022minOM. 【答案】2. 23.（2013陕西高考理科13）若点 (x, y) 位于曲线|1|yx与y2 所围成的封闭区域, 则 2xy的最小值为 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页【解题指南】画出直线围成的封闭区域，把求2x-y 最小值转化为求y=2x-z所表示直线的截距的最大值，通过平移可求解. 【解析】 封闭区域为三角形。令| x 1 | = 2 , 解得3, 121xx，所以三角形三个顶点坐标分别为（1,0, ），（ -1,2 ），（ 3,2 ），在封闭区域内平移直线 y=2x，在点（ -1,2 ）处 2xy 取最小值 4. 【答案】 -4.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页