2022年高一数学下学期知识点复习+经典例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点复习学问点梳理（一）正弦定理 ：a b c2 R（其中 R表示三角形的外接圆半径）sin A sin B sin C适用情形： （1）已知两角和一边,求其他边或其他角；（2）已知两边和对角,求其他边或其他角；变形： a 2 R sin A ,b 2 R sin B ,c 2 R sin Ca b c sin A, sin B, sin C2 R 2 R 2 R a b c =2Rsin A sin B sin C a b c sin A :sin B :sin C2 2 2（二）余弦定理：b = 2a 2c 22 ac cos B（求边）,cosB= a c b（求角）2 ac适用情形： （1）已知三边,求角；（ 2）已知两边和一角,求其他边或其他角；（三）三角形的面积 ：S1aah；S1bcsinA；22S2R2sinAsinBsinC；Sabc；r 直bc,r 为内切圆半径）4RSppapbpc ；Spr（其中pa2（四） 三角形内切圆的半径：ar2S,特殊地,ccos A,abc 斜a cos Cbc2（五） ABC射影定理：b（六） 三角边角关系：名师归纳总结 （1）在ABC 中, ABC； sinABsinC ； cosABcosC第 1 页,共 19 页cosA2BsinC ；2sinA2BcosC2（2）边关系： a + b > c,b + c > a,c + a > b,ab < c,bc < a,ca > b；（3）大边对大角：abAB考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例 1、在 ABC中,已知 , 且=2,b4,ac8,求a、 的长.例 1、解：由正弦定理,得aAcCacCsinsinsin2 Csina2 ccos C又ac8cocC8c2 c由余弦定理,得c24 c2a22b22 abcosC2CcosC1616cos入,得c16或c4 4舍a24,c165a5524a5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2、如下列图,在等边三角形中,ABa O 为三角形的中心, 过 O 的直线交 AB于 M ,交 AC 于 N ,求1212的最大值和最小值bc,OMON例 2、【解】由于 O 为正三角形 ABC 的中心,AO3a ,3MAONAO6,设MOA,就32 3,在AOM 中,由正弦定理得：sinOMsinOA6,MAOOM3a,在AON 中,由正弦定理得：ON3a,6612sin2 612 sin 2 a62 sin 612 1 2 a 2sinsin,612OMON32,342, or3 3sin21,故当2时 11212 取得最大值 182,ON a取得最小值 152a2 2 2ac ,且 a c acOM2 133 4,此时时sin所以,当OM2ON变式 1、在 ABC中,角 A、B、C对边分别为a ,b,c,已知b（）求的大小；（）求b sinB的值2ac,a2c2acbcb2c2a2bcc变式 1、解（）b在 ABC中,由余弦定理得名师归纳总结 cosAb2c2a2bc1600c,且第 2 页,共 19 页2bc2bc2（）在 ABC中,由正弦定理得sinBbsin600ab2ac,A600bsinBb2sin0 60sin6003cca2变式 2、在ABC中,A、B为锐角,角A、 、C所对的边分别为a、 、sinA5,sinB10510（I）求AB的值；（II）如ab21,求a、 、c的值；变式 2、解（ I）A、B为锐角,sinA5,sinB10510cosA1sin2A2 5,cosB1sin2B3 10510cosABcosAcosBsinAsinB2 53 105102.5105102- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0ABAB4（II）由（ I）知C3 4,sinC22 c,即a2 , b c15b2得5a由aAbBc10bsinsinsinC又ab212 bb21ba2,c5（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例 3、如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点, OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边三角形 面积最大？ABC；问：点 B 在什么位置时,四边形 OACB例 3、解：设AOB,在 AOB中,由余弦定理得：5时,AB2OA 2 12OB 2 222OAOBcosAOB2 1 2cos54cos于是,四边形 OACB的面积为S=S AOB+ S ABC1OA OBsin3AB22412 1 sin354cos24sin3 cos5 32sin35 344由于 0,所以当32,5,即AOB66四边形 OACB面积最大例 4、在 ABC中,角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,4sin2A2Bcos2C7,ab5,c72（1）求角 C的大小；（2）求 ABC的面积例4、解：（1）由4sin2A2Bcos2 C7,得4cos2Ccos2C7222 4cos2C4cosC解得cosC10° C180° ,2C=60° C60°（2）由余弦定理得 c2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab又 ab5 a2b22ab25 由得 ab6名师归纳总结 S ABC1absinC33ac ba ,且ur r m n0,其中A B C 是第 3 页,共 19 页2,r 2n变式 3、已知向量ur mac b , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABC的内角,a b c分别是角A B C 的对边 . 1 求角 C 的大小；变式 3、解：（1）由（2）求 sin A sin B 的取值范畴 . ur rm n 0 得 a c a c b b a 0 a 2b 2c 2ab2 2 2由余弦定理得 cos C a b c ab 12 ab 2 ab 2 0 CC32 CA B 23 3 sin A sin B = sin A sin 2A sin A sin 2cos A cos 2sin A3 3 33 sin A 3 cos A 3 3 sin A 1 cos 2 2 2 23sin A 60 A 2A 53 6 6 61 sin A 133 sin A 32 6 2 6即 3 sin A sin B 3 . 2（三）考查三角形外形的判定例 5、在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c, b=acosC,且 ABC的最大边长为 12,最小角的正弦值为 1 ；3（1） 判定 ABC的外形；（2） 求 ABC的面积；例 5、解：（1）Cb=acosC,由正弦定理,得sinB=sinAcosC, （#）B=A,sinB=sinA+C,从而（ #）式变为 sinA+C= sinAcosC,名师归纳总结 cosAsinC=0,又 A,C 0 , cosA=0,A=, ABC是直角三角形；2（2） ABC的最大边长为 12,由（ 1）知斜边 a =12,又 ABC最小第 4 页,共 19 页角的正弦值为1 ,3Rt ABC 的最短直角边为121 =4,另一条直角边 3为82S ABC =1482=1622变式 4、在 ABC中,如sinAsinBsinCcosAcosB.1判定 ABC的外形；2在上述 ABC中,如角 C的对边c1,求该三角形内切圆半径的取值范畴；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 4、解：（1）由sinAsinBsinCcosAcosB可得 2 sin 2 C1 cosC 0 即 C90°2 ABC是以 C为直角顶点得直角三角形（2）内切圆半径 r 1a b c21sin A sin B 122 1 2 1sin A2 4 2 2内切圆半径的取值范畴是 ,0 2 122例 7、在 ABC中,已知2a b c ,sin A sin B sin C ,试判定 ABC的外形；所以 a b c, ABC为等边三角形；变式 8、在 ABC 中,cos2B 2ac 2c,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边 ,就 ABC的外形为A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形a2c2b2 2aca c,a2c2b22a2,即 a2b2c2, ABC 为直角三角形 答案： B 变式 9、 ABC中,如 sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,试判定 ABC的外形；变式 9、解: 等腰直角三角形 ; 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点一：通项 与前 n 项和 的关系任意数列 的前 n 项和；留意： 由前 n 项和 求数列通项时,要分三步进行：（1）求,（2）求出当 n2时的,（3）假如令 n2时得出的 中的 n=1 时有 成立,就最终的通项公式可以统一写成一个形式,否就就只能写成分段的形式 . 学问点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法：,就, ,2.迭乘累乘法：,就, ,解答数学应用问题学问点三：数列应用问题 1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与争论的一个重要内容的核心是建立数学模型 ,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题,需利用数列学问建立数学模型 . 2.建立数学模型的一般方法步骤 . 仔细审题,精确懂得题意,达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么 . 抓住数量关系,联想数学学问和数学方法,恰当引入参数变量或适当建立坐标系,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达 . 将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,据题意列出满意题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）. 规律方法指导1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决 .如通项公式、 前 n 项和公式等 . 3.加强数列学问与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合 .解决这些问题要留意：（1）通过学问间的相互转化,更好地把握数学中的转化思想；名师归纳总结 （2）通过解数列与其他学问的综合问题,培育分析问题和解决问题的综合才能. 第 6 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1在数列中,求. 总结升华：1. 在数列中,如为常数,就数列是等差数列； 如不是一个常数,而是关于的式子,就数列不是等差数列 . 的和是2.当数列的递推公式是形如的解析式,而可求的,就可用多式累（迭）加法得. 举一反三：【变式1】已知数列中,求. 【变式2】数列,求通项公式. 类型二：迭乘法求数列通项公式2设是首项为 1 的正项数列,且,求它的通项公式. 总结升华：1. 在数列中,如为常数且,就数列是等比数列；如不是一个常数,而是关于的式子,就数列不是等比数列 . 2如数列有形如的解析关系, 而的积是可求的, 就可用多式累（迭）乘法求得. 举一反三：【变式 1】在数列中,求. . 【变式 2】已知数列中,求通项公式类型三：倒数法求通项公式3数列中,求. 总结升华：1两边同时除以 可使等式左边显现关于 和 的相同代数式的差,右边为一常数,这样把数列 的每一项都取倒数,这又构成一个新的数列,而 恰是等差数列 .其通项易求,先求 的通项,再求 的通项 . 2如数列有形如 的关系,就可在等式两边同乘以,先求出,再求得 . 举一反三：【变式 1】数列中,求. . 中,求【变式 2】数列类型四：待定系数法求通项公式名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4已知数列中,求. 总结升华：1一般地, 对已知数列 的项满意,（为常数,）,就可设 得,利用已知得 即,从而将数列 转化为求等比数列 的通项 .其次种方法利用了递推关系式作差,构造新的等比数列 .这两种方法均是常用的方法 . 求得2如数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系,就可用待定系数法. 举一反三：【变式 1】已知数列 中,求【变式 2】已知数列 满意 ,而且,求这个数列的通项公式 . 类型五：和 的递推关系的应用5已知数列 中,是它的前 n 项和,并且 , . 1设 ,求证：数列 是等比数列；2设,求证：数列 是等差数列；3求数列 的通项公式及前 n 项和 . 总结升华： 该题是着眼于数列间的相互关系的问题,解题时,要留意利用题设的已知条件,通过合理转换, 将非等差、 等比数列转化为等差、等比数列, 求得问题的解决利用等差（比）数列的概念, 将已知关系式进行变形,变形成能做出判定的等差或等比数列,这是数列问题中的常见策略 . 举一反三：【变式 1】设数列首项为 1,前 n 项和满意. （1）求证：数列是等比数列；,使,. .求数列,（2）设数列的公比为,作数列求的通项公式 . ,求的【变式 2】如, 【变式 3】等差数列中,前 n 项和,如前 n 项和. 类型六：数列的应用题6.在始终线上共插 13 面小旗,相邻两面间距离为 10m,在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？总结升华： 此题属等差数列应用问题,应用等差数列前项和公式,在求和后,利用二次函数求最短路程 . 举一反三：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1 月份产值的倍,就该企业2007 年年度产值的月平均增长率为（）ABCD【变式 2】某人 2006 年 1 月 31 日存入如干万元人民币,年利率为,到 2007 年1 月 31 日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计 元,就该人存款的本金为（）A1.5 万元 B2 万元 C3 万元 D2.5 万元【变式 3】依据市场调查结果,猜测某种家用商品从年初开头的 个月内累积的需求量（万件）近似地满意 .按比例猜测,在本年度内,需求量超过 万件的月份是 A5 月、 6 月 B6 月、 7 月 C 7 月、 8 月 D9 月、 10 月【变式 4】某种汽车购买时的费用为 10 万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计 9千元, 汽车的修理费平均为第一年 2 千元,其次年 4 千元,第三年 6 千元,依次成等差数列递增,问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）【变式 5】某市 2006 年底有住房面积1200 万平方米,方案从2007 年起,每年拆除20 万平方米的旧住房 .假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求 2007 年底和 2022 年底的住房面积；（2）求 2026 年底的住房面积.（运算结果以万平方米为单位,且精确到0.01）高考题萃名师归纳总结 1设数列的前项和为. ,第 9 页,共 19 页（）求；（）证明：是等比数列；（）求的通项公式 . 2设数列的前项和为已知,（）设,求数列的通项公式；（）如,求的取值范畴- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集二次函数 yax2bxc 的图象、一元二次方程ax2bxc0 的根与一元二次不等式ax2bx c>0 与 ax2bxc<0 的解集的关系,可归纳为：判别式 b24ac >00<0 二次函数yax2bxc a>0的图象一元二次方程ax2bxc有两相异实根xx1 或有两相同实根无实根0a 0的根xx1x x2一元ax2bxc>0 a>0 x|x<x1 或 x>x2 x|x x1 R二次不等式的ax2bxc<0 a>0 x|x1<x<x2.解集如 a<0 时,可以先将二次项系数化为正数,对比上表求解1不等式x12x0 的解集是 D. 1 2,A., 1 2B. 0,1 2C, 01 2,答案： B DR 2不等式9x26x10 的解集是 A. x x 1B.1C. x 1 3x1333答案： B3如关于 x 的方程 x 2mx10 有两个不相等的实数根,就实数 m 的取值范畴是 A1,1 B2,2 C, 22, D, 11, 解析： 选 C 由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得：判别式 0,即 m24 0,解得 m 2 或 m2. 4已知集合 A xR|x2|<3 ,集合 B xR|xmx2<0 ,且 AB1,n,就 m_ ,n _. 解析： 由于 |x2|<3,即 5<x<1,所以 A5,1,又 AB .,所以 m<1,Bm,2,由AB1,n得 m 1,n1. 答案： 1 1 15不等式 x11 的解集为 _ 解析： 由 x11 得 11 x1 0,即 x2 x10,解得 x1,或 x2. 答案： x|x 1,或 x2 解一元二次不等式应留意的问题：1在解一元二次不等式时,要先把二次项系数化为正数2二次项系数中含有参数时,参数的符号会影响不等式的解集,争论时不要遗忘二次项系数为零的情形3解决一元二次不等式恒成立问题要留意二次项系数的符号4一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与 x 轴交点的横坐标相同一元二次不等式的解法典题导入名师归纳总结 例 1解以下不等式：第 10 页,共 19 页10x 2x2 4；2x24ax5a20a 0自主解答 1原不等式等价于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2x20,.x2x20,x 2x24x2x60.x2 x1 0,.x2或x 1,x3 x2 02x3.借助于数轴,如下列图,原不等式的解集为 x|2x 1,或 2x3 . 2由 x 24ax5a20 知x5ax a 0. 由于 a 0 故分 a0 与 a0 争论当 a0 时, x5a 或 x a；当 a0 时, x a 或 x5a. x|x5a,或 x a . 综上, a0 时,解集为 x|x5a,或 x a ； a 0 时,解集为 由题悟法1解一元二次不等式的一般步骤：0 且二次项系数大于0,即 ax2bxc0a 0,ax2bxc1对不等式变形,使一端为0a0；2运算相应的判别式；3当 0 时,求出相应的一元二次方程的根；4依据对应二次函数的图象,写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类争论；如不能因式分 解,就可对判别式进行分类争论,分类要不重不漏以题试法1解以下不等式：13x22x80；2ax2a1x10a0解： 1原不等式可化为 3x22x80,即3x4x20. 解得 2 x4 3,x 1x1 a；所以原不等式的解集为x2x4 3. 2原不等式变为ax1x10,由于 a 0,所以x1 a x1 0. 所以当 a1 时,解为1 a x1；当 a1 时,解集为 .；当 0a1 时,解为1x1 a. 综上,当 0a1 时,不等式的解集为当 a1 时,不等式的解集为.；. 当 a1 时,不等式的解集为x1 ax1一元二次不等式恒成立问题典题导入名师归纳总结 例 2已知 fxx22ax2aR,当 x 1, 时, fxa 恒成立,求a 的取值范畴第 11 页,共 19 页自主解答 法一 ：fx xa22a2,此二次函数图象的对称轴为xa. 当 a , 1 时, fx在 1, 上单调递增,fxminf12a3. 要使 fx a 恒成立,只需f xmina,即 2a3a,解得 3a 1；当 a 1, 时, fxminfa2a2,由 2a2a,解得 1 a1. 综上所述, a 的取值范畴为3,1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 法二 ：令 gxx22ax2a,由已知,得 0,x2 2ax2a0 在 1, 上恒成立,即4a2 42a0 或a 1,解得 3 a1. g 1 0.所求 a 的取值范畴是 3,1一题多变此题中的“x 1, 改为“x1,1” ,求 a 的取值范畴解：令 gx x22ax 2a,由已知,得 x22ax2a0 在 1,1上恒成立,即 4a20,0,42a0 或 a 1,或 a1,解得 3a1,g 1 0 g 1 0.所求 a 的取值范畴是 3,1 . 由题悟法1对于二次不等式恒成立问题,恒大于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方2一元二次不等式恒成立的条件：1ax 2bxc0a 0 xR 恒成立的充要条件是：a0 且 b 24ac0. 2ax 2bxc0a 0 xR恒成立的充要条件是：a0 且 b 24ac0. 以题试法2如关于 x 的不等式 x 2axa>0 的解集为 , ,就实数 a 的取值范畴是 _ ；如关于 x 的不等式 x2axa 3 的解集不是空集,就实数 a 的取值范畴是 _ 解析： 由 1<0,即 a 24a<0 ,得 4<a<0；由 20,即 a 243 a0,得 a6 或 a2. 答案： 4,0 , 6 2, 一元二次不等式的应用典题导入 例 3 某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件如售价降低 x 成1 成 10% ,8售出商品数量就增加 5x 成要求售价不能低于成本价1设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y fx,并写出定义域；2如再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值范畴自主解答 1由题意得 y100 1x 10·100 1 8 50x . 由于售价不能低于成本价,所以 100 1x 1080 0. 所以 y fx2010 x50 8x,定义域为 0,2 2由题意得 2010 x508x10 260,化简得 8x2 30x130. 解得1 2x13 4 . 1所以 x 的取值范畴是 2,2 . 由题悟法解不等式应用题,一般可按如下四步进行：1仔细审题,把握问题中的关键量,找准不等关系；2引进数学符号,用不等式表示不等关系；3解不等式；4回答实际问题以题试法名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3某同学要把自己的运算机接入因特网现有两家 元；公司 B 在用户每次上网的第 1 小时内收费ISP 公司可供挑选公司 A 每小时收费 1.51.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以后每小时削减0.1 元如用户一次上网时间超过17 小时,按17 小时运算 假设该同学一次上网时间总是小于元17 小时,那么该同学如何挑选ISP 公司较省钱？解：假设一次上网x 小时,就公司 A 收取的费用为1.5x 元,公司 B 收取的费用为x 35x20如能够保证挑选A 比挑选 B 费用少,就x 35x1.5x0x17,20 整理得 x25x0,解得 0x5,所以当一次上网时间在5 小时内时,挑选公司A 的费用少；超过5 小时,挑选公司B 的费用少名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 基本不等式【2022 年高考会这样考】1考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题2考查应用基本不等式解决实际问题【复习指导】1突出对基本不等式取等号的条件及运算才能的强化训练2训练过程中留意对等价转化、分类争论及规律推理才能的培育基础梳理1基本不等式：abab 2 1基本不等式成立的条件：a0,b0. 2等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式 1a2b22aba,bR；2b aa b2a,b 同号；3abab 2 2a,bR；4a 2b2 2ab 2 2a,bR3算术平均数与几何平均数设 a0,b0,就 a,b 的算术平均数为ab 2,几何平均数为可表达为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数ab,基本不等式4利用基本不等式求最值问题 已知 x0,y0,就1假如积 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最小值是 2 p.简记：积 定和最小 2 2假如和 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时, xy 有最大值是p 4 .简记：和定 积最大 一个技巧 运用公式解题时, 既要把握公式的正用, 也要留意公式的逆用, 例如 a2b22ab逆用就是 aba 2b2 2；ab 2aba,b0逆用就是 abab 2 2a,b0等仍要留意 “ 添、拆项 ” 技巧和公式等号成立的条件等名师归纳总结 两个变形