2022年高一数学对数函数经典题及详细答案2.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学对数函数经 典练习题一、挑选题：（此题共 12 小题,每道题 4 分,共 48 分,在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的）a 1、已知 32,那么log 82log36 用 a 表示是（a2）D、3aa23 a1A、a2B、 5 a2C、答案 A；名师归纳总结 3a =2a=log 3 2 ）第 1 页,共 13 页就: log38-2log36=log323 -2log32*3 =3log32-2log32+log33 =3a-2a+1 =a-22、 2logaM2NlogaMlogaN ,就M 的值为（N）A、1 4B、4 D、4 或 1 C、1 答案 B；2logaM-2N） =logaM+logaN,logaM-2N2 =logaMN）,（ M-2N2 =MN,M 2 -4MN+4N 2 =MN,m 2 -5mn+4n2 =0（两边同除n2 ）m n2 -5m +4=0, 设 x= nx2 -5 x+4=0x2 -2*5 x+ 225 -425 + 416 =0 4 x-5 22 -9 =0 4 x-5 22 = 2x-5 = 232 x=5 23 2x4即m4nx1m1n又 2log aM2NlogaMlogaN ,看出 M-2N>0 M>0 N>0 n m =1 即 M=N舍去,得 M=4N 即 n m =4 答案为： 4 3、已知x2y21,x0,y0,且log 1x m ,loga11xn ,就logay等于 （A、 mn B、 mn C、1 2mn D、1 2mn答案 D；loga1+x=m loga 1/1-x=n,loga1-x=-n两式相加得： loga 1+x1-x=m-n loga1-x2=m-n x 2+y2=1,x>0,y>0, y 2=1- x 2logay 2=m-n - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2logay=m-n logay=1 m-n 24. 如 x 1 ,x 2 是方程 lg 2 x lg3 lg2lgxlg3 ·lg2 = 0 的两根,就 x 1 x 2 的值是 A lg3 · lg2 Blg6 C6 D16答案 D方程 lg 2 x+（lg2+lg3 ）lgx+lg2lg3=0 的两根为 x 、x , 注： lg 2 x 即（lgx 2 ,这里可把 lgx 看成能用 X,这是二次方程； blg 1x +lg x= -a = - （lg2+lg3 ） lg （x ×x 2）= -lg（2× 3）lg （x ×x ）= -lg6=lg 11x ×x = 1 就 x1.x2 的值为 1；6 6 615、已知log log log2x0,那么x2等于（）、1 A、1 3 B、1 C、212 D2 33 3答案 C log7【log3log2X】=0log 3 log12x=1log 2 x=3Dx=8 bx1 2=81=231=23=1 3=13=22=2ba222222246已知 lg2= a, lg3= b,就lg12等于（）C2alg152bA12ab B 1aabab1ab1ab答案 C lg12=lg3*2*2=lg3+lg2+lg2= 2a+b lg15=lg30 =lg30-lg2=lg3*10-lg2=lg3+1-lg2=b-a+1 2（注： lg10=1 ） 比值为（ 2a+b/1-a+b7、函数yUlog 2x13 x2的定义域是（1 ,1 2）1,A、2 ,1 31, D B、UC、2 , 3、1 , 2答案 A 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 x20x2 3ylog 2x13 x2的定义域是2x10x1 2x2 3,x1答案为：2 ,1 3U1,2x11x18、函数ylog 1x26 x17的值域是（）2A、 R B、 8, C、, 3 D、 3,答案为： C ,y=-,-3 x 2 -6x+17=x 2-6x+9+8=x-3 2+88, log 1 = log 2 12 1 =-1 log 2= - log 2 - log 2 x 单调减 log 1 x 单调减2 log 1 x-32 2+8 单调减 ., 为减函数x 2 -6x+17 =x-3 2+8 ,x 取最小值时 x-3 2+8 有最大值 x-3 2+8=0 最小 ,x=3, 有最大值 8, log 1 x-3 2 2+8= log 1 8= - log 2 28= -3, 值域 y -3 y=-,-3 注：Y=x2-6x+17 顶点坐标为（ 3,8）,这个 Y 为通用 Y9、如 logm9log 9 n0,那么m n 满意的条件是（m1）、 0mn1A、mn1 B、nm D1 C、 0n答案为： C 对数函数的定义：一般地,我们把函数 y=logax （a0,且 a 1）叫做对数函数,其中 x是自变量,函数的定义域是（0,+）,值域是 R；对数函数的解析式： y=logax （a0,且 a 1）；对数函数的底数为什么要大于 0 且不为 1？【在一个一般对数式里 a<0, 或=1 的时候是会有相应 b 的值； 但是, 依据对数定义： log 以 a 为底 a 的对数； 假如 a=1 或=0 那么log 以 a 为底 a 的对数就可以等于一切 实数 （比如 log11 也可以等于 2,3,4, 5,等等）】分析：依据对数函数的图象与性质可知,当 x=91 时,对数值小于 0,所以得到 m与 n 都大于 0 小于 1,又 logm9<logn9,依据对数函数的性质可知当底数小于 底数越大对数值越小,所以得到 m大于 n1 时,取相同的自变量,log m90,log n90,得到 0m1,0n 1；又 log m9log n9,得到 mn,名师归纳总结 mn 满意的条件是0nm1lg9,第 3 页,共 13 页（注另解： log m9 0,log n90,得到 0m1,0n1；也可化成 logm9=lgmlogn9=lg9,就lg9<lg9<0 由于 lg9 大于 0 1 lg m<1 lgnn<m,0n m1lgmlgnlgn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【注：换底公式 a,c 均大于零且不等于 1】10、loga21,就 a 的取值范畴是（ C）、2 ,1 3 D、0,2U2,3A、0,2 3U1, B 、2 , 333答案为： A. 0<a<1 时 就 logax 是减函数 , 1=logaa,log a 21 , 即 loga2/3<logaa 3 2/3>a 此时上面有 0<a<1 综述得 0<a<2/3 a>1 时 就 logax 是增函数, loga2/3<1（即 log a a）2 2/3<a 此时上面有 a>1 综述得取 a>1 有效； 0<a< 3 ,a>1 11、以下函数中,在 0,2 上为增函数的是（）A、y log x 1 B、y log 2 x 212C、ylog21D、ylog1x24x5x2答案为： D；A、x+1 在（0,2 ）上是增函数1 以 2为底的对数就是一个减函数复合函数 y 就是个减函数；名师归纳总结 B、x21在（ 0,2 ）上递增,但又不能取<1 的数, x<1 不在定义域（ 0,2 ）内 不对；第 4 页,共 13 页这种情形虽然是增,但（0,2 ）内含有 <1 的；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 C、 x是减函数,以2 为底的对数是个增函数,y 为减函数D、与 A相反, x2-4x+5=x-22 +1, 对称轴为 2,在（0,2 ）上递减, 以1的对数也是递减,2所以 复合函数 是增函数12已知函数y=log1 ax22x1 的值域为 R,就实数a 的取值范畴是（）2 Aa 1 B0 a 1 C0a1 D0 a1答案为： C；（注：对数函数定义底数就要>0 且 1 真数 >0）函数 y=log1ax2 +2x+1 的值域为 R 2ax 2 +2x+1 恒>0, 令 gx=ax 2 +2x+1, 明显函数 gx=ax 2 +2x+1 是一个一元二次函数（抛物线） , 要使 gx （即通用的 Y）恒 >0, 必需使抛物线开口向上 , 即 a0 同时必需使 0（保证抛物线始终在 x 轴上方 , 且与 x 轴没有交点 , 这也是 不能为 0 的缘由） 注：如<0, 抛物线可在 x 轴下方 , 且与 x 轴有交点 即 b 2 -4ac=4-4a 0, 解得 a1；就实数 a 的取值范畴是 0a1；说明：答案是 0a1, 而不是 0 a1；二、填空题： （此题共 4 小题,每道题4 分,共 16 分,请把答案填写在答题纸上）13 运算： log 2.5 6.25 lg1lne 1 2log23= 100答案为：【注：自然常数e（约为 2.71828 ）是一个无限不循环小数；是为超越数；ln 就是以 e 为底的对数； ln1=0 ,lne=1 ；设 21og23=x就由指数式化为对数式可得： log2x= log23 x=3 21og23, 就21og23=x, 又 x=3, 21og23=3. 】2.52+ lg103 + lne1+21log 2.5 6.25 lg1lne 1 2log23= log2.52100=2+-3+1 2+23=2-3+1 2+6=51 2；【 注 ： 假 如 是211og23211 og23=2log221log23=2log2213=2log213=2log23= 2 3 】2214、函数ylog -13-x 的定义域是；答案为：名师归纳总结 （2）要使原函数有意义,就真数大于0,底数大于0,底数不等于1 ；第 5 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3x03xx 1 0 x 1 1 x ,3 x 2函数的定义域为（1,2）（ 2,3）；x 1 1 x 215、lg 25 lg 2 lg 50 lg 2 2；2lg25+lg2 ·lg50+ （lg2 ）答案为： lg2+lg5=1 ,lg10=12lg25+lg2 lg50+lg22=lg5 +lg2 lg50+lg2 lg2 =2lg5+lg2lg50+lg2 =2lg5+lg2lg50 2 2=2lg5+lg2 lg100 =2lg5+lg2 lg10 =2lg5+lg2 2lg10=2lg5+2lg2 =2lg5+lg2 =2lg10 =2 16、函数 f x lg x 21 x 是（奇、偶）函数；答案为：第种解： f-x=lgx2 x1+x=lg （x21+x）*x 21x是奇函数2 x1x=lgx 21xx21=lgx212x 2=lgx21 x2x21xx21xx 21x2= lg2 x11x=lgx1-x1 = -lg（x21-x ） = -fx, f-x = -fx第种解：f （-x ）+f（x）= lgx21+x+ lg （x21-x ）= lgx21+x（x21-x ）= . ）lg （ x2 +1-x2 ）= lg1=0, f-x-f x=0,f-x与 f x互为正负数f-x= -fx, f （x）为奇函数三、解答题： （此题共 3 小题,共 36 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17 已知 y=log a2 ax在区间 0 ,1 上是 x 的减函数,求a 的取值范畴答案为：【对数函数含义：一般地,假如a（a>0,且 a 1）的 y 次幂等于 x,那么数 y叫做以 a 为底 x 的对数,记作 log ax=y,其中 a 叫做对数的 底数 ,x 叫做 真数 ；y 叫对数 即是幂 ；留意： 负数和 0 没有对数；底数 a 就要 >0 且 1,真数x>0；并且,在比较两个函数值时：名师归纳总结 a1时 假如底数a一样,真数x越大,函数值y 越大；是增函数；第 6 页,共 13 页0a1时 假如底数a一样,真数x越小,函数值y 越大；是减函数对于不同大小a 所表示的函数图形：关于X 轴对称：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 以上要熟记】解题： y=loga2 ax 在区间 0 ,1 上是 x 的减函数, a>0,真数（ 2-ax ）已经是减函数了,然后要使这个复合函数是减函数 , 那么对数底 a 要是增函数,增减复合才得减,由函数通用定义知要使函数成增函数必 a>1；2又函数定义域：2-ax >0 得 ax 2, x a又 a 是 对 数 的 底 数 a 0 且 a 1 ； 0,1 区 间 内 2-ax 递 减 , 当x 1 取最大时 即-ax 最大时, 2-ax 取得最小值,为 2-a ；a 取最大时2 2x=1x a 可得 a1, a2. a 的取值范畴 1<a<2 ；218、已知函数 f x 23 lg 2 x,x 61 求 f x 的定义域； 2 判定 f x 的奇偶性；解题：【注： 定义域没有与原点对称的函数是非奇非偶函数；假如定义域是 全体实数 , 那确定就是关于原点对称了,那就可能或奇或偶函数、既奇又偶函数；假如定义域不是全体实数,比如是全体 正实数 ,那定义域在x 轴的负半轴上都不能取值,当然更谈不上是对称了；再比如定义域是全体负实数 ,那定义域在x 轴正半轴也不能取值,所以定义域也不是关于原点对称；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 举个例子： f（x）=11x此题的定义域是x1,那么假如定义域要是关于原点对称,x 也-1 ；再举个例子： f （x）=x 的偶次方根,此题的定义域是 对称区间是 x 非正（没有） ；x 非负, x 非负这个取值 , 关于原点的所以两个例子中的定义域都不是关于原点对称的；】解题：（即 Y 值的取值方向固定）（1）设 x2 -3= t （t -3 ）,f x23lgxx26lgx233, ft=lgt t3 3,又2x233由xx260t3>0, t>3x233 注：这里 x2 非负 ,t32f x 的定义域为3,；x2 非负 ,f x 为非奇非偶函数；（2）f x 的定义域不关于原点对称19、已知函数f x log3mx228xn的定义域为 R,值域为0,2 ,求m n的值；x1解题：f （x）=log 3mx28xn的定义域为R, x2 +10, mx2 +8x+n0 恒成立（y-m）x 21令 y= mx 228xn,函数 f （x）的值域（即log 3mx228xn）为 0 , 2 ,x1x1 1 y（即mx228xn） 9 ； yx2 +1=mx2 +8x+nyx2 +y -mx2 -8x-n=0x1.x2 -8x+y-n=0 成立；xR,可设 y-m 0,方程的判别式=64-4 （y-m）（y-n ） 0 名师归纳总结 -16 + （y-m）（y-n ）0即 y2 - （m+n） y+mn-160m=n=5；的最第 8 页,共 13 页y=1 和 y=9 是方程 y2 - （m+n）y+mn-16=0 的两个根,y 1 +y 2 = -b a=m+n=10,y 1+y 2=mn-16=9；m=10-n, 10-n n-16=910n-n2 -25=0 n2 -10n +25=0n-52 =25如 y-m=0,即 y=m=n=5 时,对应的x=0,符合条件；综上可得,m=n=5；x20. 已知 x 满意不等式2log1 x 22 +7log1 x +3 0,求函数 f （x）=log 2x 2 4log 2 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 大值和最 小值；（换元法是必需要有的）求多种方法；解题：第种解 ：设 a = log1 x,就原不等式 22x32log1x2 +7log1x +3 0 可化为： 2a2 + 7a + 3 0 22a + 3 2a + 1 0a30a31 2无解a1 22 a10aa30a3132 a10a2 3 a 2 1 3 log1x 2 123 log2x 232log2x3log2x1 2loglogx1log2x1221 2 log2x 3 ；解以上不等式的全部方法中, “ 因式分解法” 较为简便. x f （x）=log 2 4x= log2x log24 × log2x log22 log 2 2=log2x 2 × log2x 1 设 m = log2x , 1 2 log2x 3 （已证） m 1 ,3 2于是问题转化为：名师归纳总结 求函数 y = fx = m 2 × m 1 的最大值和最小值. m 1 ,3 . 2第 9 页,共 13 页这是典型的“ 闭区间上的二次函数求最值” 问题. y = fx = m 2 × m 1 y = fx = m2 3m 2 = m2 -6 m+4 9 -1 4y = fx = m 2 3 2 4其中 m 1 ,3 2考察二次函数y = fx = m 2 3 2 4开口向上、对称轴为 m = b 2 a= 2 3 、最小值为1 、关键是定义域为 4画出二次函数y = fx = m 2 3 2 4的图像 , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由图知：对称轴在定义域范畴之内 , 故当 m = 2时, 函数 y = fx 取到最小值1 ；4当 m = 3 时, 函数 y = fx 取到最大值 , 把 m = 3 代入二次函数表达式求得该最大值为：3 2 3 2 4 1 =（ 2 6 -3 2 2 4 1 = 4 9 4 1 =2. 第种解 ：设 a = log 1x 2就原不等式2log1x2 +7log1x +3 0 可化为：有最小值1 ；4222a2 + 7a + 3 0 （这种基本化解要熟）a + 3 2a + 1 0 3 a 2 1 同上化得 3 log1 1x 22 同上化得 1 2log 2 x 3log 2 21log2x log22321 x 23222 x 8 x 2 ,8 x f （x）=log 2 4x=log2x log24 × log2x log22 log 2 2= log2x 2 × log2x 1= （log2x）2 3 log2x 2 = （ log2x 2 3 2 9 2= （log 42x 2 3 2 4x2 ,8 而 对称轴 3/2 在定义域 2 ,8 之内；当x = 3 时,fx 2当 x = 8时,fx有最大值 , 最大值为：（ log28 2 3 2 4 1 =3 2 3 2 4 1 = 2.；21. 已知 x>0,y0, 且 x+2y=1, 求 g=log 18xy+4y2+1 的最小值2解题：第种解 由 x+2y=1, 得：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2y=1-x, 8xy+4y 2 +1=4x=4x-4x 2 +1-2x+x2y+2y 2 +1 2 +1=4x1-x+ 1-x2 +1 名师归纳总结 = -3x2 +2x+2= -3x2 - 3 2 x+ 9 1 +1 +2 3第 11 页,共 13 页= -3x-1 32 + 3 7 , 当 x= 3 1 时, 有最大值：7 , 3而 y=log1 x 在定义域上是减函数 2, 当 x= 3 1 ,y=1 时, 3log 18xy+4y2 +1 有最小值： log17 =-log 327 - log231 =log23-log27. 22第种解 x+2y=1, 8xy+4y 2 +1= x 2 +4xy+4y2 +4xy-x2 +1=（x+2y2 +4xy-x2 +1=1+4xy -x2 +1 = -x2 +4xy+2= -x2 +4x1 2-1 x+ 2= -x 22 + 2x -2x2 +2 =-3x2 +2x+2= -3x2 2 - 3x+ 9 1 + 3+2 = -3x-1 37 2 + 3, 当 x= 3 1 时, 有最大值：7 , 3而 y=log1x 在定义域上是减函数 2, 当 x= 3 1 ,y=1 时, 3log 18xy+4y2 +1 有最小值： log17 =-log 327 - log231 =log23-log27. 2222. 已知函数 fx=10x10x；10x10x（1）判定 fx的奇偶性与单调性；（2）求f1x【注：反函数一般地,设函数y=fxx A的值域是C,如找得到一个函数gy 在每一处gy 都等于x,这样的函数x= gyyC叫做函数y=fxxA的 反函数 ,记作y=f1 x ；反函数 y=f1 x 的定义域、值域分别是函数y=fx的值域、定义域；一般地,假如x 与 y 关于某种对应关系f （x）相对应, y=f （x）,就 y=f （x）的反函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为 x=f1 y ；存在反函数 默认为单值函数）的条件是原函数 必需是一一对应的（不肯定是整个数域内的） ；留意：上标 " - 1" 指的并不是幂；在微积分里, f n x 是用来指 f 的 n 次微分 的；如一函数有反函数,此函数便称为 可逆的（ invertible）；简洁的说, 就是把 y 与 x 互换一下, 比如 y=x+2 的反函数第一用y 表示 x 即 x=y-2 ,把 x、y位置换一下就行那么 y=x+2 反函数就是 y=x-2 ；在函数 x=f 1 y 中,y 是自变量, x 是函数,但习惯上,我们一般用 x 表示自变量,用 y 表示函数,为此我们经常对调函数 x=f 1 y 中的字母 x,y ,把它改写成 y=f 1 x ,今后凡无特殊说明,函数 y=fx 的反函数都采纳这种经过改写的形式；函数及其反函数的图形关于直线 y=x 对称】解题：已知函数fx=10x10x,f-x=10x10x= 10x10x= -10x10x= - fx,xxxxxxxx1010101010101010是奇函数；令 a=10x ,就 101 x = a,a>0；a21=a21 22=a21-a2 21=1-a2 21a1 ay=fx=a122a,上下同aa1a1a1设 a 1 ,a 2 （ - , +）,且 a 2 > a 1 ,名师归纳总结 就 fa2 -fa1 =1-a2 2 21-1-2 a 1 21=-a 22 21+a 12 21第 12 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =a2a 121 1a2a2 21 1=2a 2221 2 a 121 a 1 11=a2a222a 121 22a 122 21 2 a 1221 a 12a221 名师归纳总结 a=10x >0, a2 >0,a2 +1>1；a221 a 121>0 , a 2 >a1222>0,第 13 页,共 13 页a22 a12a2222 a 1x= 2 1 lg1ya221 a 121 >0 fa2 -fa1>0 , f （x）为增函数；fx= 1-2 2 a1；设 y=1-a2 21y-1= -2 2 a11-y=a2 211 y = 2a1 2112 = ya212 a =12y-1a2 =21y 1y a2 =1y； a=10x ,a2 =102 102 =1y2x=lg1y1y1y1y1y1 即 y= 2lg1x, f1 x = 2 1lg1 1x x；1x- - - - - - -