2022年高中数学必修三角函数常考题型：同角三角函数的基本关系.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 同角三角函数的基本关系【学问梳理】同角三角函数的基本关系1平方关系：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1.即 sin 2cos21. 2 商 数 关 系 ： 同 一 个 角 tan_ 其中 k 2 kZ . 【常考题型】 的 正 弦 、 余 弦 的 商 等 于 这 个 角 的 正 切 , 即sin cos 题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例 1】1已知 sin 12 13,并且 是其次象限角,求 cos 和 tan . 2已知 cos 4 5,求 sin 和 tan . 解 1cos21sin2 11213 213 5 2,又 是其次象限角, 所以 cos <0,cos 5 13,tan cos 12 5 . 2sin 21cos2 1 4 5 23 5 2,由于 cos 4 5<0,所以 是其次或第三象限角,当 是其次象限角时,sin 3 5,tan sin cos 3 4；当 是第三象限角时,sin 3 5,tan sin cos 3 4. 【类题通法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法1假设已知 sin m,可以先应用公式cos ±1sin2,求得 cos 的值,再由公式 tan sin cos 求得 tan 的值sin ±1cos2,求得 sin 的值,再由公式 tan 2假设已知 cos m,可以先应用公式sin cos 求得 tan 的值第 1 页,共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3假设已知 tan m,可以应用公式tan sin cos m. sin mcos 及 sin2cos2 1,求得 cos ±1 1m 2,sin ±m2的值1m【对点训练】已知 tan 4 3,且 是第三象限角,求 sin ,cos 的值解： 由 tan sin cos 4 3,得 sin 4 3cos ,又 sin2cos21,由得16 9 cos2cos21,即 cos225. 9又 是第三象限角,故 cos 3 5,sin 4 3cos 4 5. 题型二、化切求值【例 2】已知 tan 3,求以下各式的值4sin cos 1 3sin 5cos ；sin22sin ·cos cos2 2 4cos 23sin 2；3 1 3 4sin 22cos2. 解 1原式4tan 13tan 54× 313× 3511 14；tan 22tan 1 92× 3 12原式4 3tan 243× 3 2 2 23；3 4sin 21 2cos 2 3 4tan 21 2 3原式sin2cos2 tan214× 919129 40. 【类题通法】化切求值的方法技巧名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1已知 tan m,可以求asin bcos 或 csin dcos asin 2bsin cos ccos2的值,将分子分母同dsin2 esin cos fcos2除以 cos 或 cos2,化成关于tan 的式子,从而到达求值的目的2对于 asin 2bsin cos ccos2 的求值, 可看成分母是 1,利用 1 sin2cos2 进行代替后分子分母同时除以 cos2,得到关于 tan 的式子,从而可以求值【对点训练】已知 tan 2,求以下各式的值：1 2sin 3cos ；4sin 9cos 24sin 23sin cos 5cos2 . 2sin 3cos 2tan 3 2× 23解： 1 1. 4sin 9cos 4tan 9 4× 2924sin 23sin cos 5cos24sin23sin cos 5cos2,sin2cos2这时分子和分母均为关于 sin ,cos 的二次齐次式由于 cos2 0,所以分子和分母同除以 cos2,4tan 2 3tan 5 4× 43× 25就 4sin23sin cos 5cos21. tan 21 4 1题型三、化简三角函数式名师归纳总结 【例 3】化简 tan 1 sin21,其中 是其次象限角第 3 页,共 6 页解由于 是其次象限角,所以sin >0,cos <0. 故 tan 1 sin 21tan 1sin2sin 2 tan cos2 sin2 sin cos · cos sin cos · cos sin - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 【类题通法】三角函数式化简技巧1化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而削减函数名称,到达化繁为简的目的2对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号到达化简的目的3对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造 sin2cos21,以降低函数次数,到达化简的目的【对点训练】化简： 1sin cos ；tan 12 sin2sin4, 是其次象限角sin cos sin cos sin cos 解： 1tan 1cos 1 sin sin cos cos cos . 2由于 为其次象限角,所以 sin >0,cos <0,故 sin2sin4sin2 1sin2 sin2cos2|sin cos | sin cos . 题型四、证明简洁的三角恒等式【例 4】求证：tan sin tan sin tan sin . 证明 法一： 右边tan2sin2tan2tan2cos2tan sin tan sin tan sin tan sin tan2 1cos2tan 2sin 2tan sin tan sin tan sin tan sin 左边,tan sin tan sin 原等式成立名师归纳总结 法二： 左边tan sin tan tan cos sin ,1cos 第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 右边tan tan cos 1cos sin 1 cos 2sin 2sin ,1cos tan sin sin 1cos sin 1cos 左边右边,原等式成立【类题通法】简洁的三角恒等式的证明思路 1从一边开头,证明它等于另一边；2证明左、右两边等于同一个式子；3逐步查找等式成立的条件,到达由繁到简【对点训练】1 tan 证明：1 2sin cos cos2sin2 1 tan sin2cos22sin cos 证明： 左边cos sin cos sin sin cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin 1tan 1tan cos 右边,原等式成立【练习反馈】名师归纳总结 1已知 2, ,sin 3 5,就 cos 等于 第 5 页,共 6 页A.4 5B4 5C1 7D. 3 5解析： 选 B 2, 且 sin 3 5,cos 1sin21324 5. 5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2假设 为第三象限角,就 cos 2sin 的值为 1sin 2 1 cos 2A3 B 3 C1 D 1 解析： 选 B 为第三象限角,原式cos 2sin 3. cos sin 13已知 cos sin 2,就 sin cos 的值为 _解析：由已知得 cos sin 2sin2cos22sin cos 12sin cos 1 4,解得 sin cos 3 8. 答案：384假设 tan 2,就 2sin cos sin 2cos 的值为 _2sin cos 解析： 原式cos 2tan 1tan 22× 213 4. sin 2cos 22cos 答案：34名师归纳总结 5化简：12sin 130cos 130 °. 第 6 页,共 6 页sin 1301sin 2130°解： 原式sin2130°2sin 130cos 130 °cos2130°sin 130cos2130°|sin 130cos 130 °|sin 130 |cos 130|°sin 130 cos 130 °1. cos 130 °sin 130- - - - - - -