2022年高中数学必修一第一章集合与函数的概念复习资料.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 必修 1 第一章集合与函数概念1.1 集合【1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . （2）常用数集及其记法N 表示自然数集,N或 N表示正整数集,Z 表示整数集, Q 表示有理数集,R 表示实数集 .（3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一. （4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 . 描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素 . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 .（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. . 含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集【1.1.2 】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质AB示意图BA子集ABA 中的任一1AA 或2A3如AB且元 素 都 属（或BABC ,就 AC于 B 4如AB且真子集AB AB,且BA ,就 ABBA（1）A（A 为非空子集）B 中至少有（或 BA）一 元 素 不2如AB且属于 A BC ,就 ACA 中的任一集合AB元 素 都 属1AB AB于 B,B 中相等2BA 的 任 一 元素都属于 A （7）已知集合A 有n n1个元素,就它有2n 个子集,它有2n1个真子集,它有2n1个非空子集,它第 1 页,共 21 页有 2n2非空真子集 . 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【1.1.3 】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义A （1） A性质UA . UBA示意图B交集ABx xA 且AA（2） AxB （3） ABAABB并集ABx xA 或（1） AAAAB（2） AA（3） ABAxB ABB补集e UAx xU,且x（1）A e UA （2）A e UA U（3）痧 UABABA B（4）痧. UU【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含肯定值的不等式的解法|axb|不等式0c c0解集x|a ,x|a ax|axa|x|a a0x xa 或xa c axb|把 axb 看 成 一 个 整 体 , 化 成 |x|a a0型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式b24 ac000二次函数名师归纳总结 y2 axbxc a0O第 2 页,共 21 页的图象- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 ax一元二次方程0x 1,2bx 1b24 acx 1x2b无实根bxc0 a（其中2 a2ax 2的根2 axbxc0 a0x xx 或 1xx 2x 2x|xbR2a2 ax的解集0 a0x x 1xbxc的解集1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（1）函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就 f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯独确定的数 f x 和它对应,那么这样的对应（包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A B 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设 a b 是两个实数, 且 a b ,满意 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间, 记做 , a b ；满意 a x b的实数 x的集合叫做开区间,记做 , a b ；满意 a x b ,或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区 间 , 分 别 记 做 a b , , ； 满 足 x a x a x b x b 的 实 数 x 的 集 合 分 别 记 做 , , a , , , , , b 留意： 对于集合 x a x b 与区间 , a b ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必需a b （3）求函数的定义域时,一般遵循以下原就：名师归纳总结 f x 是整式时,定义域是全体实数1第 3 页,共 21 页f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ytanx 中,xk2kZ 零（负）指数幂的底数不能为零如f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知f x 的定义域为 , a b ,其复合函数f g x 的定义域应由不等式ag x b 解出对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个 最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是 提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的 值域或最值判别式法：如函数yf x 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a y x2b y xc y 0,就在a y 0时,由于x y 为实数,故必需有b2 4 c y 0,从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之 间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念名师归纳总结 设 A 、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有第 4 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 唯独的元素和它对应,那么这样的对应 （包括集合A ,B 以及 A 到 B 的对应法就f ）叫做集合 A 到 B的映射,记作f:AB aA bB 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素b 叫给定一个集合A 到集合 B 的映射, 且做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的定义图象x判定方法性 质函数的假如对于属于定义域I 内yy=fXfx （1）利用定义某个区间上的任意两个（2）利用已知函数自变量的值x1、x2, 当 x1< 的单调性（3）利用函数图象x2时,都有 fx1<fx2,fx （在某个区间图那么就说fx在这个区ox1x2象上升为增）间上是 增函数（4）利用复合函数单调性假如对于属于定义域I 内yy=fXx（1）利用定义（2）利用已知函数某个区间上的任意两个的单调性自变量的值x1、x2,当 x1< fx （3）利用函数图象x2时,都有 fx1>fx2,fx （在某个区间图那么就说fx在这个区ox1x 2象下降为减）间上是 减函数（4）利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数yf g x ,令ug x ,如yf u 为增,ug x 为增, 就yf g x 为增；如yf u 为减,ug x 为减,就yf g x 为增；如yf u 为增,ug x 为减,就yf g x 为减；如yf u 为减,ug x 为增,就yf g x 为减（2）打“ ” 函数f x xaa0的图象与性质xy名师归纳总结 ox第 5 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x 分别在 ,a 、 a,上为增函数,分别在a,0、 0,a 上为减函数（3）最大（小）值定义一般地,设函数 y f x 的定义域为 I ,假如存在实数 M 满意：（1）对于任意的 x I ,都有f x M ；（ 2）存在 x 0 I ,使得 f x 0 M 那么,我们称 M 是函数 f x 的最大值,记作f max M 一般地,设函数 y f x 的定义域为 I ,假如存在实数 m 满意：（1）对于任意的 x I ,都有f m ；（ 2）存在 0x I ,使得 f x 0 m 那么,我们称 m 是函数 f x 的最小值,记作f max m 【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质假如对于函数fx定义（1）利用定义（要域内任意一个x ,都有先判肯定义域是否fx=fx,那么函数关于原点对称）（ 2）利用图象（图fx 叫做 奇函数象关于原点对称）函数的奇偶性 假如对于函数 fx 定义（1）利用定义（要域内任意一个 x ,都有 先判肯定义域是否fx=fx, 那 么 函 数 关于原点对称）fx 叫做 偶函数（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）如函数 f x 为奇函数,且在 x 0 处有定义,就 f 0 0奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问 函数的图象名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）作图 利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质（奇偶性、单调性）画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象平移变换yf x h0, 左移 个单位 h0, 右移 | h | 个单位yf xhyf x k0, 上移 个单位 k0, 下移 | k | 个单位yf khk伸缩变换yf x 01, 伸1, 缩yfxyf x 0A1, 缩yAf A1, 伸对称变换yf x x 轴yf x yf x fy轴yyfx 1 yf x 原点yfx yf x 直线xyfyf x 去掉 轴左边图象 yy 轴对称图象y|x|保留 轴右边图象,并作其关于 yyf x 保留 轴上方图象 x将 轴下方图象翻折上去 xy|f x |（2）识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“ 形” 的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第一章 集合与函数概念第一讲 集合热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系 题型 1：集合元素的基本特点名师归纳总结 例 1（ 2022 年江西理）定义集合运算：A Bz zxy xA yB 设第 7 页,共 21 页A1,2 ,B0,2,就集合 AB 的全部元素之和为（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A0； B2；C3； D6 解题思路 依据 AB 的定义,让 x 在 A 中逐一取值,让y 在 B 中逐一取值,xy 在值就是 AB 的元素,解析 ：正确解答此题,必需清晰集合AB 中的元素,明显,依据题中定义的集合运算知AB =0 , 2 , 4故应挑选D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题由于背景公正,所以成为高考的一个热点,这时要充分懂得所定义的运算即可,但要特殊留意集合元素的互异性；题型 2：集合间的基本关系例 2数集X2n1,nXZ与Y4k1 ,kZ之的关系是（）A XY ；B YX ； CY；DXY解题思路 可有两种思路：一是将 判定；X 和 Y 的元素列举出来,然后进行判定；也可依挑选支之间的关系进行解析 从题意看,数集 X 与 Y 之间必定有关系,假如 A 成立,就 D就成立,这不行能；同样, B 也不能成立；而假如 D成立,就 A、B 中必有一个成立,这也不行能,所以只能是 C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点,解决这类问题的方法就是严格依据题中的定义,逐个进行检验,不便利进行检验的,就设法举反例；考点二：集合的基本运算 例 3 设集合AAxx23 x20,BAxx22 a1x a25 0（1）如AB2,求实数 a 的值；B2,（2）如AB,求实数 a 的取值 范畴 如解题思路 对于含参数的集合的运算,第一解出不含参数的集合,然后依据已知条件求参数；名师归纳总结 解析 由于Axx23 x20,1 2,a25 0,即第 8 页,共 21 页（1）由AB2知,2B,从而得224 a1a24a30,解得a1或a33 当a1时,Bxx2402 ,2,满意条件；当a3时,Bx2 x4x402,满意条件所以a1或a3（2）对于集合B ,由4 a1 24 a25 8 a由于ABA,所以BA当0 ,即a3时, B,满意条件；当0 ,即a3时,B2,满意条件；当0 ,即a3时,BA2,1才能满意条件,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由根与系数的关系得12a2a1 a25,冲突21225a7故实数 a的取值 范畴是a3【名师指引】对于比较抽象的集合,在探究它们的关系时,要先对它们进行化简；同时,要留意集合的子集要考虑空与不空 ,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情形 . 第 2 讲 函数与映射的概念求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）4“ 二次函数型 ” 的函数常用配方法,如求函数ysin2x2cosx4,可变为ysin2x2cosxcosx1 22解决（ 2 ） 基 本 函 数 法 ： 一 些 由 基 本 函 数 复 合 而 成 的 函 数 可 以 利 用 基 本 函 数 的 值 域 来 求 , 如 函 数名师归纳总结 - - - - - - -yl o g 1x22x3就是利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求；22（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域；如求函数yx22x12的值域2x由yx22x12得yx22 y1x2y10,如y0,就得x1,所以y0是函数值域中2x2的一个值；如y0,就由2 y1 24y 2y1 0得3213y3213且y0,故所求值域是3213,3213（4）分别常数法：常用来求“ 分式型 ” 函数的值域；如求函数y2cosx3的值域,由于cosx1y2cosx32cos51,而cosx10 ,2,所以51,5,故cosx1xcosx2y,12（5）利用基本不等式求值域：如求函数yx3x4的值域2当x0时,y0；当x0时,yx34,如x0,就x42x44xxx如x0,就x4x42x 44,从而得所求值域是3,3xxx44（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y2x4x22 x2,1 的值域因y83 x2x2x 4x21,故函数y2x4x22 x,12 在,11上递减、 在1,0 上递22第 9 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 增、在0 ,1上递减、在12,上递增,从而可得所求值域为15,30228（ 7）图象法：假如函数的图象比较简洁作出,就可依据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法） ；热点考点题型探析考点一：判定两函数是否为同一个函数 例 1 试判定以下各组函数是否表示同一函数？（1）fxx2,gx 3x3；0 ,n1（nN*）；（2）fxx,gx 11xxx;0（3）fx 2n1x2n1,gx 2n1x2（4）x；fxxx1,gx x2t2x22x1,g t（5）fx 2 t1 解题思路 要判定两个函数是否表示同一个函数,就要考查函数的三要素；解析 （1）由于fxx2x,gx 33 xx,故它们的值域及对应法就都不相同,所以它们不是同一函数 . （2）由于函数fxx的定义域为0,0,而gx 1x0 ,的定义域为R,所x1x;0以它们不是同一函数. 2n1x2n1x,它们的定义（3）由于当 nN*时, 2n±1 为奇数,fx 2n1x2n1x,gx 域、值域及对应法就都相同,所以它们是同一函数. gx 2 xx的 定 义 域 为（ 4 ） 由 于 函 数fxxx1的 定 义 域 为xx0, 而xx0 或x1,它们的定义域不同,所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法就都相同,所以它们是同一函数. 答案 （1）、（2）、（ 4）不是；（3）、（5）是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的,所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数为同一函数；第（5）小题易错判定成它们是不同的函数；缘由是对函数的概念懂得不透,在函数的定义域及对应法就 f 不变的条件下,自变量变换字母对于函数本身并无影响,比如 f x x 21,f t 2t 1,f u 1 u 1 21 都可视为同一函数. 考点二：求函数的定义域、值域题型 1：求有解析式的函数的定义域名师归纳总结 例 2. （ 08 年湖北）函数fx1lnx23x2x23x4的定义域为 第 10 页,共 21 页x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.,42,;B.40,0 1, ；C. ,4 ,0 0 1,;D. ,400 1, 解题思路 函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范畴； 解析 欲使函数 f x 有意义,必需并且只需x 2 3 x 2 02x 3 x 4 0x 4 0, 0 1, ,故应挑选 Dx 2 3 x 2 x 2 3 x 4 0x 0【名师指引】如没有标明定义域,就认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范畴, 实际操作时要留意： 分母不能为 0； 对数的真数必需为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中,底数不等于 0；负分数指数幂中,底数应大于 0； 如解析式由几个部分组成,就定义域为各个部分相应集合的交集； 假如涉及实际问题,仍应使得实际问题有意义,意定义域优先原就,实际问题的定义域不要漏写；题型 2：求抽象函数的定义域而且留意：争论函数的有关问题肯定要注 例 3 （2006· 湖北）设fxlg2x,就fxf2的定义域为（）的定义域是满意不等2x2xA. ,4 0,0 4；B. 4 ,1,1 4；C. 2 ,12,1；D. 4 ,2,2 4解题思路 要求复合函数fxf2的定义域,应先求f x的定义域；2x 解析 由2 2x0得,f x 的定义域为2x2,故2x2,2x222.x解得x4, 11,4；故fxf2的定义域为4 ,1,1 4.选 B. 2x【名师指引】求复合函数定义域, 即已知函数f x 的定义为 , a b ,就函数f g x 式ag x b 的 x 的取值范畴； 一般地,如函数f g x 的定义域是 , a b ,指的是x , a b ,要求f x 的定义域就是x , a b 时g x 的值域；题型 3；求函数的值域例 4已知函数yx24 ax2 a6aR ,如y0恒成立,求f a2aa3的值域19,所fa中的肯定值化去之后求值域f3解题思路 应先由已知条件确定a取值范畴,然后再将0,解得1a3,解析 依题意,y0恒成立,就16 a24 2 a6 2所以fa2aa3a3217,从而fa maxf14,famin2424以fa的值域是19,4 4【名师指引】求函数的值域也是高考热点,往往都要依据函数的单调性求函数的最值；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点三：映射的概念例 5 （06 陕西）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 密文（加密） ,接收方由密文 明文（解密）,已知加密规章为：明文 a b c d 对应密文 a 2 ,2 b c ,2 c 3 ,4 d 例如,明文 1,2,3, 4 对应密文 5,7,18,16. 当接收方收到密文 14,9,23,28 时,就解密得到的明文为（）A 7,6,1, 4；B 6, 4,1,7 ；C 4,6,1,7 ；D 1,6, 4,7解题思路 密文与明文之间是有对应规章的,只要依据对应规章进行对应即可；解析 当接收方收到密文14,9, 23,28 时,B 到集合 A 的对应关系一a2 b14a6有2 bc9,解得b4,解密得到的明文为C2 c3 d23c14 d28d7【名师指引】懂得映射的概念,应留意以下几点：61（1）集合 A、B 及对应法就2f 是确定的,是一个整体系统；（2）对应法就有 “方向性 ”,即强调从集合A 到集合 B 的对应,它与从集合般是不同的；0（3）集合 A 中每一个元素,在集合 1特点；（4）集合 A 中不同元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的,这是映射区分于一般对应的本质 3 4B 中对应的象可以是同一个；（5）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象 . 第 3 讲函数的表示方法热点考点题型探析考点 1：用图像法表示函数例 1 （09 年广东南海中学）一水池有 2 个进水口 , 1个出水口 , 一个口的进、 出水的速度如图甲、 乙所示 .某天 0 点到 6 点, 该水池的蓄水量如图丙所示给出以下 3 个论断：进水量 出水量 蓄水量甲 乙 丙（1）0点到3点只进水不出水； （2）3点到 4 点不进水只出水； （3） 4 点到6点不进水不出水就肯定不正确的论断是 把你认为是符合题意的论断序号都填上 . 解题思路 依据题意和所给出的图象,对三个论断进行确认即可；名师归纳总结 解析 由图甲知, 每个进水口进水速度为每小时1 个单位, 两个进水口1 个小时共进水2 个单位, 3 个小时第 12 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 共进水 6 个单位,由图丙知正确；而由图丙知,3 点到 4 点应当是有一个进水口进水,出水口出水,故错误；由图丙知,4 点到 6 点可能是不进水不出水,也可能是两个进水口都进水,同时出水口也出水,故不肯定正确；从而肯定不正确的论断是（ 2）【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象猎取信息的问题是目前高考的一个热点,它要求考生熟识基本的函数图象特点,善于从图象中发觉其性质；高考中的热点题型是“ 知式选图” 和“ 知图选式”；考点 2：用列表法表示函数例 2 （07 年北京）已知函数f x ,g x 分别由下表给出1 2 3 x1 2 x3 f x 11 3 1 f g x g x 3 2 1 就f g的值为；满意g f x 的 x 的值是解题思路 这是用列表的方法给出函数,就依照表中的对应关系解决问题；解析 由表中对应值知 f g 1 = f 3 1；当 x 1 时,f g 1 1, g f 1 g 1 3