2022年高三数学培优补差辅导专题讲座-平面向量单元易错题分析与练习p .pdf

平面向量易错题解析1 平面向量易错题解析1、你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用22|aa；22|yxa）3、你知道解决向量问题有哪两种途径？（向量运算；向量的坐标运算）4、你弄清“02121yyxxba”与“0/1221yxyxba”了吗？ 问题 ：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（ 1）在实数中：若0a，且 ab=0, 则 b=0, 但在向量的数量积中，若0a，且0ba，不能推出0b. （ 2）已知实数)(,obcba， 且bcab， 则 a=c, 但在向量的数量积中没有cacbba. （ 3）在实数中有)()(cbacba，但是在向量的数量积中)()(cbacba， 这是因为左边是与c共线的向量，而右边是与a共线的向量 . 5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？6、正弦定理、 余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？1、向量有关概念：（1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量AB按向量a（ 1,3）平移后得到的向量是_（答： （3,0 ） ）（2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0，注意 零向量的方向是任意的；（3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与AB共线的单位向量是|ABAB)；（4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。提醒 ：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！ （因为有0) ；三点ABC、 、共线AB AC、共线；（6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如下列命题：（1）若ab，则ab。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3） 若A BD C，则ABCD是平行四边形。（4） 若ABCD是平行四边形， 则ABDC。（ 5）若,abb c，则ac。 （6）若/, /ab bc，则/ac。其中正确的是_（答： （4） （5） ）2、向量的表示方法： （ 1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等； （3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx y，称, x y为向量a的坐标，a, x y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3. 平面向量的基本定理： 如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使 a=1e12e2。如（ 1）若(1,1),ab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 平面向量易错题解析2 (1, 1),( 1,2)c，则c_（答：1322ab） ； （2）下列向量组中， 能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1, 2)eeB. 12( 1,2),(5,7)eeC. 12(3,5),(6,10)eeD. 1213(2, 3),(,)24ee（答： B） ； （3）已知,AD BE分别是ABC的边,BC AC上的中线 ,且,ADa BEb,则BC可用向量,a b表示为 _（答：2433ab） ； （4）已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是 _（答： 0）4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1, 2aa当0 时，a的方向与a的方向相同，当0；当 P点在线段P1P2的延长线上时1；当 P点在线段 P2P1的延长线上时10；若点 P 分有向线段12PP所成的比为，则点 P 分有向线段21P P所成的比为1。如若点P分AB所成的比为34，则A分BP所成的比为_（答：73）（3）线段的定比分点公式：设111(,)P x y、222(,)Pxy，( , )P x y分有向线段12PP所成的比为，则121211xxxyyy，特别地，当1 时，就得到线段P1P2的中点公式121222xxxyyy。在使用定比分点的坐名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 平面向量易错题解析5 标公式时，应明确( , )x y，11(,)x y、22(,)xy的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点， 分点和终点， 并根据这些点确定对应的定比。如（1）若 M（-3，-2） ，N（6，-1） ，且1MPMN3，则点 P 的坐标为 _（答：7( 6,)3） ； （2）已知( ,0),(3,2)A aBa，直线12yax与线段AB交于M，且2AMMB，则a等于 _（答：或）11. 平移公式 ：如果点( , )P x y按向量,ah k平移至(,)P x y，则xxhyyk；曲线( , )0f x y按向量,ah k平移得曲线(,)0f xh yk.注意 ： （1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2） 向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如 （1） 按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)， 则按向量a把点( 7,2)平移到点 _（答： （，） ） ； （2）函数xy2sin的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是12cos xy，则a_（答：)1 ,4(）12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）| | |ababab，特别地，当a b、同向或有0| |abab| |abab； 当a b、反 向 或 有0| |abab| | | |abab ； 当a b、不 共 线| | |ababab ( 这些和实数比较类似). （3 ）在ABC中 ， 若112233,A x yB xyC xy， 则 其 重心的 坐 标 为123123,33xxxyyyG。如若 ABC的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3 ，4） 、（-1，-1 ） ，则 ABC的重心的坐标为_（答：2 4(,)3 3） ；1()3PGPAPBPCG为ABC的重心，特别地0PAPBPCP为ABC的重心；PA PBPB PCPC PAP为ABC的垂心；向量()(0)|ACABABAC所在直线过ABC的内心 ( 是BAC的角平分线所在直线) ；|0AB PCBC PACA PBPABC的内心；（3）若 P分有向线段12PP所成的比为，点M为平面内的任一点，则121MPMPMP，特别地P为12PP的中点122MPMPMP；（ 4） 向 量PA PB PC、中 三 终 点ABC、 、共 线存 在 实 数、使 得PAPBPC且1. 如 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，O为 坐 标 原 点 ， 已 知 两 点) 1 , 3(A,)3 , 1(B, 若 点C满 足OCOBOA21, 其中R21,且121, 则点C的轨迹是 _（答：直线AB）例题 2在ABC中,已知kACAB, 1,3 ,2,且ABC的一个内角为直角,求实数k的值 . 错误分析 :是自以为是 ,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论. 答案 : (1)若,90BAC即,ACAB故0ACAB,从而,032k解得32k; (2)若,90BCA即ACBC,也就是0ACBC,而,3, 1 kABACBC故名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 平面向量易错题解析6 031kk,解得2133k; (3)若,90ABC即ABBC,也就 是,0ABBC而3, 1 kBC,故0332k,解 得.311k综合上面讨论可知,32k或2133k或.311k例题 4已知向量m=(1,1) ，向量n与向量m夹角为43，且mn=-1，求向量n；解：设n=(x,y) 则由 =43得： cos=nmnm=22222yxyx由mn=-1 得 x+y=-1 联立两式得10yx或01yxn=(0,-1)或(-1,0) 例题 7已知向量),11(),1,(2xmxbmxa（m 为常数）， 且a,b不共线，若向量a,b的夹角 为锐角，求实数x 的取值范围 . 解：要满足 为锐角只须ba0 且ba（R）ba=xmxmx12= 122mxxmxmx=01mxx即x (mx-1) 0 1当m 0 时 x0 或mx12 m0 时， x ( -mx+1) 0 ，01xmx或3m=0 时只要 x 0 时，),1()0,(mxx = 0 时，)0,(xx 0 时，),0()1,(mx例题 9已知向量(cos,sin)a，(cos,sin)b，2 55ab（）求cos()的值； （）若02，02，且5sin13，求sin的值解（）cossincossinab，,coscossinsinab，. 2 55ab, 222 5coscossinsin5, 即422 c o s5. 3cos5. （）0,0,0.223cos5，4sin.55s i n13，12cos.13si nsi nsi nc o sc o ssi n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 平面向量易错题解析7 4 1235335 1351365. 基础练习题1、设平面向量a=(2，1)，b=(， 1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是（）A、), 2()2,21(B、), 2(C、),21(D、)21,(答案： A 点评：易误选C，错因：忽视a与b反向的情况。2、O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足),0),|(ACACABABOAOP,则 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) (A) 外心(B) 内心(C)重心(D)垂心正确答案： B。错误原因：对),0),|(ACACABABOAOP理解不够。不清楚| ABAB| ACAC与 BAC 的角平分线有关。3、若向量a=(cos,sin) ，b=sin,cos，a与b不共线，则a与b一定满足（）Aa与b的夹角等于- B ab C (a+b)(a-b) Dab正确答案： C 错因：不能把a、b的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。4、已知 O、A、B三点的坐标分别为O(0,0) ，A(3，0)， B(0，3) ，是 P 线段 AB上且AP=tAB (0 t 1) 则OAOP的最大值为（） A3 B 6 C 9 D12 正确答案： C 错因：不能借助数形结合直观得到当OPcos最大时，OAOP即为最大。5、在ABC中,60,8, 5Cba,则CABC的值为( ) A 20 B 20C 320D 320错误分析 :错误认为60,CCABC,从而出错 . 答案: B 略解 : 由题意可知120,CABC, 故CABC=202185,cosCABCCABC. 6、已知向量a=(2cos，2sin)，(,2) ，b=（0,-1) ，则a与b的夹角为 ( ) A32-B2+C -2D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 平面向量易错题解析8 正确答案： A 错因：忽略考虑a与b夹角的取值范围在0 ， 。7、如果,0a ba ca且，那么（）AbcBbcCbcD,b c在a方向上的投影相等正确答案： D。错误原因：对向量数量积的性质理解不够。8、已知向量(2,0),(2, 2),(2 cos ,2 sin)OBOCCAaa则向量,OA OB的夹角范围是（） A、 /12 ， 5/12 B、0 ，/4 C、 /4 ， 5/12 D、 5 /12 ，/2 正确答案： A错因：不注意数形结合在解题中的应用。9、设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则下列a与b共线的充要条件的有（） 存在一个实数 ，使a=b或b=a； |ab|=|a| |b|；2121yyxx； (a+b)/(ab) A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个答案： C 点评：正确，易错选D。10、以原点 O 及点 A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使90A，则AB的坐标为（） 。A、 （2，-5）B、 （-2，5）或（ 2，-5）C、 （-2，5）D、 （7， -3）或（ 3， 7）正解： B 设),(yxAB，则由222225|yxABOA而又由ABOA得025yx由联立得5,25, 2yxyx或。），（或52)5, 2(AB误解： 公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。11、设向量),(),(2211yxbyxa，则2121yyxx是ba /的（）条件。A、充要B、必要不充分C、充分不必要D、既不充分也不必要正解： C 若2121yyxx则bayxyx/, 01221，若ba /，有可能2x或2y为 0，故选 C。误解：ba /01221yxyx2121yyxx，此式是否成立，未考虑，选A。12、在OAB 中，)sin5,cos5(),sin2,cos2(OBOA，若5OBOA，则OABS=（）A、3B、23C、35D、235正解： D。5OBOA5cos|VOBOA（LV为OA与OB的夹角）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 平面向量易错题解析9 5cossin5)cos5()sin2(cos22222V21cosV23sinV235sin|21VOBOASOAB误解： C。将面积公式记错，误记为VOBOASOABsin|13 、 设 平 面 向 量a)() 1,() 1 , 2(Rb， 若a与b的 夹 角 为 钝 角 ， 则的 取 值 范 围 是（ ）A、），（），（2221B、 （2， +）C、 （），21D、 （-），21错解： C 错因：忽视使用0ba时，其中包含了两向量反向的情况正解： A 14、设cba,是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：0)(baccbaabab垂直不与cbacacb若cbaba与则,不平行其中正确命题的个数是（）A、1 个B、2 个C、3 个D、 4 个正确答案： (B)错误原因：本题所述问题不能全部搞清。15、若向量a=xx 2,，b=2,3x，且a，b的夹角为钝角，则x的取值范围是 _. 错误分析：只由ba,的夹角为钝角得到,0ba而忽视了0ba不是ba,夹角为钝角的充要条件,因为ba,的夹角为180时也有,0ba从而扩大x的范围 ,导致错误 . 正确解法 :a，b的夹角为钝角 , xxxba2304322xx解得0 x或34x(1) 又由ba,共线且反向可得31x(2) 由(1),(2)得x的范围是31,340 ,31答案 : 31,340,31. 16、已知平面上三点A、B、C 满足ABCACABCBCABCABCAB则,5| , 4| ,3|的值等于（）A25 B24 C 25 D 24 C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -