2022年高三数学专题复习概率.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆高三数学专题复习概率【复习要点】本章内容分为概率初步和随机变量两部分 . 第一部分包括等可能大事的概率、互斥大事有一个发生的概率、 相互独立大事同时发生的概率和独立重复试验 . 其次部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 . 涉及的思维方法：观看与试验、分析与综合、一般化与特别化 . 主要思维形式有：规律思维、聚合思维、形象思维和制造性思维 . 【例题】【例 1】已知甲、乙两名篮球运动员投篮命中率分别为0.7 和 0.8 （1）假如每人各投篮一次,求甲、乙两人中至少一人进球的概率；（2）假如两人竞赛,各投篮 2 次,求甲战胜乙的概率解：设甲、乙两名篮球运动员投篮进球分别记为大事 A、B,就 A、B 为独立大事（1）P A B 1 P A B 1 P A P B 1 1 0 . 7 1 0 . 8 0 . 94或 P A B P A P B P AB 0 7. .0 8 0 7. 0 . 8 0 . 94（2）甲战胜乙有 1 比 0、2 比 0、2 比 1 三种情形,P C 12 0 7. 0 . 3 0 . 2 2 0 7. 2 .0 2 2 0 . 7 2C 12 .0 8 .0 2 0 . 1932【例 2】排球竞赛的规章是 5 局 3 胜制, A、B 两队每局竞赛获胜的概率都相等且分别为2 和1 . （1）前 2 局中 B 队以 2:0 领先,求最终 A、B 队各自获胜的概率；3 3（2）B 队以 3:2 获胜的概率解：（1）设最终 A 获胜的概率为 P 设最终 B 获胜的概率为 P 2.3 2 3 8P 1 C 3 ;3 27P 2 1 2 1 2 2 1 19 . 或 P 2 1 P 1 19 3 3 3 3 3 3 27 27（2）设 B队以 3:2 获胜的概率为 P 3. 3P C 4 2 1 3 2 2 83 3 81【例 3】如图,用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、 N2,当元件 A、B、C都正常工作时,系统 N1 正常工作；当元件 A 正常工作且元件 B、C至少有一个正常工作时,系统 N2正常工作 . 已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90,分别求系统N1,N2正常工作的概率 P1、P2. 解：记元件 A、B、C正常工作的大事分别为 A、B、C,由已知条件 P A=0.80,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆P B=0.90, P C=0.90. 1 由于大事 A、B、C是相互独立的,所以,系统 N1 正常工作的概率P1=P A· B· C= P A P B P C=0.648, 故系统 N1正常工作的概率为 0.648 2 系统 N2正常工作的概率 P2=P A · 1P B C =P A · 1P B P C =0.80 × 11 0.901 0.90 =0.792 故系统 N2正常工作的概率为 0.792 【例 4】有 A、B两个箱子, A 箱中有 6 张相同的卡片,其中一张写有 0,两张写有 1,三张写有 2；B箱中有 7 张相同的卡片,其中四张写有 0,一张写有 1,两张写有 2,现从 A箱中任取 1 张,从 B 箱中任取 2 张,共 3 张卡片；求：（1）3 张卡片都写有0 的概率；n 的球重（2）3 张卡片中数字之积为0 的概率；解：（1）1C2 416C2 721（2）1C2 75C1 4C 3 1C2 4376C2 76C2 7C2 742【例 5】袋里装有35 个球,每个球上都标有从1 到 35 的一个号码,设号码n25 n15（克）这些球以等可能性（不受重量的影响）从袋里取出3（1）假如任意取出一球,试求其重量大于号码数的概率；（2）假如同时任意取出二球,试求它们重量相同的概率2解：（1）由不等式 n 5 n 15 n 得 n 15,n3,3由题意知 n1, 2,或 n16,17, , 35于是所求概率为 2235（2）设第 n 号与第 m号的两个球的重量相等,其中 nm,2 2就有 n5 n 15 m 5 m 15,3 3所以 n 2m 2 15 n m 0,由于 n m,所以 n m15,（n,m）（ 1, 14）,（2,13）, （ 7,8）,名师归纳总结 但从 35 个球中任取两个的方法数为C2 353534595,第 2 页,共 10 页12故所求概率为71595854 个旅行者住,每人可以进住任一房间,且进住房间是等【例 6】已知：有 6 个房间支配- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆可能的,试求以下各大事的概率：（）大事 A：指定的 4 个房间各有 1 人；（）大事 B：恰有4 个房间各有 1 人；（）大事 C：指定的某个房间有 2 人；解：由于每人可进住任 1 房间,进住哪间房是等可能的,每人都有 6 种等可能的方法,依据乘法原理,4 人进住 6 个房间共有 6 4 种方法（1）指定的 4 个房间各有 1 人,有 A 种方法,4P A A6 44 454 1（2）从 6 间中选出 4 间有 C 6 4种方法, 4 个人每人去 1 间有 A 种方法,4P B C 4 46 4 A 4 4 A6 64 418 52（3）从 4 人中选 2 个人去指定的某个房间,共有 C 4 种选法,余下 2 人每人都可去 5 个房间中的任 1 间, 因而有 5 2种种方法；2 2P C C 46 4 5216 25【例 7】一个电路中有三个电子元件,它们接通的概率都是 m（0 m1 如图,有如下三种联接方法：（1）分别求出这三种电路各自接通的概率；（2）试分析这三种电路哪种性能最优,并证明你的结论 . 解：（1）三种电路各自接通分别记为大事P（A2）=1（ 1m）3=3m3m 2+mP（A3）=2（1m）m 2+m 3=2m 2m 33 A1、 A2、 A3,就 P（A1）=m（2）P（A2） P（A1）=3m3m 2=3m（1 m）0m1 P（A2） P（A1）P（A2） P（A3）=2m 35m 2+3m=m（ 2m3）（m1） 0 P（A2） P（A3）三个电子元件并联接通的概率最大,故性能最优【例 8】某厂生产的 A 产品按每盒 10 件进行包装,每盒产品均需检验合格后方可出厂质检方法规定：从每盒 10 件 A 产品中任抽 4 件进行检验,如次品数不超过 1 件,就认为该盒产品合格；否就,就认为该盒产品不合格已知某盒（1）求该盒产品被检验合格的概率；A 产品中有 2 件次品（2）如对该盒产品分别进行两次检验,求两次检验得出的结果不一样的概率名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆解： 1 从该盒 10 件产品中任抽4 件,有等可能的结果数为4 C 10种,其中次品数不超过1 件有C43 1C C 种,8被检验认为是合格的概率为C 8 4C C 3 8 1 213C 10 4152 两次检验是相互独立的,可视为独立重复试验,因两次检验得出该盒产品合格的概率均为13,15故“ 两次检验得出的结果不一样” 即两次检验中恰有一次是合格的概率为1 C 2131135213；两次检验得出的结果不一样的概率为521515225答：该盒产品被检验认为是合格的概率为15225【例 9】某先生居住在城镇的A 处,预备开车到单位B 处上班 . 如该地各路段发生堵车大事都是相互独立的,且在同一路段发生堵车大事最多只有一次,发生堵车大事的概率如图 . （例如： ACD算作两个路段：路段AC发生堵车大事的概率为1 ,路段 CD发生堵 10车大事的概率为1.E.15（1）请你为其挑选一条由A 到 B 的路线,使得途中发生堵车大事的概率最小；（2）如记路线AC FB 中遇到堵车次数为随机变量,求的数学期望解：（1）记路段 MN发生堵车大事为MN. 由于各路段发生堵车大事都是独立的,且在同一路段发生堵车大事最多只有一次,所以路线 AC DB 中遇到堵车的概率 P1为11PACCDDBPDBPACPCD=1 1 P（ AC）1 P（CD）1 P（DB） 名师归纳总结 =191453；ACCFFB239小于3. 第 4 页,共 10 页1015610同理：路线AC FB中遇到堵车的概率P2 为 1P（80010路线 AEFB 中遇到堵车的概率P3为 1P（AEEFFB91 小于330010明显要使得由A到 B 的路线途中发生堵车大事的概率最小. 只可能在以上三条路线中挑选- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆因此挑选路线ACFB,可使得途中发生堵车大事的概率最小. 是一个随机（2）路线 A CFB 中遇到堵车次数可取值为0, 1,2,3. P0PACCFFB561,800P1PACCFFBP ACCFFBPACCFFB1171193119171637.1020121020121020122400P2 PACCFFBPACCFFBPACCFFB1311117193177,1020121020121020122400P3PACCFFB1313,1 01020122400E05611637277331.8002400240024003答：路线AC FB 中遇到堵车次数的数学期望为1.3【例 10】 某电器商经过多年的体会发觉本店每个月售出的电冰箱的台数变量,它的分布列如下：1 2 3 12 P 111112121212设每售出一台电冰箱,电器商获利300 元,如销售不出而囤积于仓库,就每台每月需花保养费用 100 元,问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？解：设 x 为月初电器商购进的冰箱台数,只须考虑1 x12 的情形, 设电器商每月的收益为 y 元,就 y 是随机变量 的函数且y=300x,xx,x, 电器商平均每月获益的平均300x100 数,即数学期望为：Ey=300x Px+Px+1+ +P12+300100 x1 P1+2× 300100 x2 P2+ +300 x1 100Px1=300x12 x+11 + 121 300×12x x1 100x21x9 台或 10 台电冰箱时,收益2=25 2x 32+38x x=9 或 x=10 时,也即电器商月初购进由于 xN, 故可求出当最大 . 【例 11】 袋中装有3 个白球和4 个黑球,现从袋中任取3 个球,设 为所取出的3 个球中白球的个数名师归纳总结 （I ）求 的概率分布；（II ）求 E 1 2C C 418 35；第 5 页,共 10 页解：（I ） 的可能取值为0,1,2,3. ；P（ 1）P（ 0）3 C 44 353 C 73 C 7- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆P（ 2）2 1C C 412 35；P（ 3）3 0C C 41 35. 3 C 73 C 7 的分布列为：（II ）E 0×41×18 350 1 2 3 P418121353535352×12 353×19 7. 3535【例 12】 甲,乙两射击运动员进行射击竞赛,射击相同的次数,已知两运动员射击的环数 稳固在 7,8,9,10 环；他们的这次成果画成频率直方分布图如下：击中频率 击中频率0.3 0.35 0.2 0.2 0.15 7 8 9 10 击中环数 7 8 9 10 击中环数名师归纳总结 甲乙,以及求甲,乙同第 6 页,共 10 页（1）依据这次竞赛的成果频率直方分布图推断乙击中8 环的概率P乙8. 时击中 9 环以上（包括9 环）的概率；（2）依据这次竞赛的成果估量甲,乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）解（ 1）由图可知P乙70.2,P乙90 .2,P乙100.35所以P乙8=1 0.2 0.2 0.35=0.25 同理P甲70.2,P甲80. 15,P甲90 .3所以P甲10102.0. 150 .30 .35由于P甲90. 30. 350 . 65P乙90. 20 .350. 55所以甲,乙同时击中9 环以上（包括9 环）的概率P=P甲9P乙9=0.65 × 0.55=0.3575 2 由于E甲=7× 0.2+8 × 0.15+9 × 0.3+10 × 0.35=8.8 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆E乙=7× 0.2+8 × 0.25+9 × 0.2+10 × 0.35=8.7 甲>E乙所以估量甲的水平更高. E【例 13】 有一容量为50 的样本,数据的分组及各组的频率数如下：10,154 30,35 9 15,20 5 35,40 8 20,25 10 40,45 3 25,30 11 1 列出样本的频率分布表 含累积频率 ；2 画出频率分布直方图和累积频率的分布图 . 解： 1 由所给数据,运算得如下频率分布表数10,15 15,20 20,25 25,30 30,35 35,40 40,45 总据计段频4 5 10 11 9 8 3 50 数频0.08 0.10 0.20 0.22 0.18 0.16 0.06 1 率累积0.08 0.18 0.38 0.60 0.78 0.94 1 频率2 频率分布直方图与累积频率分布图如下：【概率练习】一、挑选题1、甲射击命中目标的概率是1 ,乙命中目标的概率是 21 ,丙命中目标的概率是 31 . 现在三 4人同时射击目标,就目标被击中的概率为 D.7 10A.3B.2C.44352、已知随机变量 的分布列为： P =k=1 , k=1,2,3, 3就 P3 +5等于 A.6 B.9 C.3 D.4 二、填空题3、1 盒中有 9 个正品和 3 个废品,每次取 出的废品数 的期望 E =_. 1 个产品,取出后不再放回,在取得正品前已取4、某班有 52 人,男女各半,男女各自平均分成两组,从这个班中选出 4 人参与某项活动,这 4 人恰好来自不同组别的概率是 _. 三、解答题名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆5、甲、乙两人各进行一次射击,假如两人击中目标的概率都是 0.6 ,运算：1 两人都击中目标的概率；2 其中恰有一人击中目标的概率；3 至少有一人击中目标的概率. f x=0ax126、已知连续型随机变量 的概率密度函数x1x0x21 求常数 a 的值,并画出 的概率密度曲线；2 求 P1 3 ）. 257、设 P 在 0,5 上随机地取值,求方程x 2+px+p1=0 有实根的概率 . 428、设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2 ,机器发生故障时全天停止工作. 如一周个工作日里均无故障,可获利润 10 万元； 发生一次故障可获利润5 万元, 只发生两次故障可获利润 0 万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2 万元；求一周内期望利润是多少？参考答案一、 1. 解析：设甲命中目标为大事A,乙命中目标为大事B,丙命中目标为大事C,就目标被击中的大事可以表示为A+B+C,即击中目标表示大事A、B、C中至少有一个发生. 1 4.P ABCP A P B P C 1P A 1PB 1P C 11 11 11234故目标被击中的概率为1P A ·B ·C =1 1344答案： A 2. 解析： E =1+2+3 ·1 =2,E 32=12+2 2+3 2 ·1 = 3143D =E2 E 2=14 2 2=32 . 3D3 +5=9E =6. 答案： A 二、 3. 解析：由条件知, 的取值为 0,1,2,3,并且有 P =0=C1 93, C1 124P1C1C19,P2 C2C19,P3C3C113939392C 12 2442C 12 32202C 12 4220E031929310. 3444220220答案： 0.3 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆4. 解析：由于每组人数为1 13,因此, 每组选 1 人有 C 13种方法, 所以所求概率为P=C1 134. C4 52答案：C1 134C4 52三、 5. 解： 1 我们把“ 甲射击一次击中目标” 叫做大事A,“ 乙射击一次击中目标” 叫做大事 B. 明显大事 A、B 相互独立,所以两人各射击一次都击中目标的概率是 P A·B=P A·P B=0.6 × 0.6=0.36 答：两人都击中目标的概率是 0.36 2 同理,两人各射击一次,甲击中、乙未击中的概率是 P A·B = P A ·P B =0.6 ×1 0.6=0.6 × 0.4=0.24 甲未击中、 乙击中的概率是 P A · B=P A P B=0.24 ,明显,“ 甲击中、 乙未击中”和“ 甲未击中、乙击中” 是不行能同时发生,即大事 A·B 与 A · B互斥,所以恰有一人击中目标的概率是 P A·B + P A · B=0.24+0.24=0.48 答：其中恰有一人击中目标的概率是 0.48. 2 两人各射击一次,至少有一人击中目标的概率 P=P A· B+ P A·B + P A ·B=0.36+0.48=0.84 答：至少有一人击中目标的概率是0.84. 1,所以1 1 a+2a ·21=1, 6. 解： 1 由于 所在区间上的概率总和为a=1 2概率密度曲线如图：2 P1 3 = 21113322297. 解：一元二次方程有实数根 0 而 =P 2 4 P 1 = P 2P2= P+1 P2 4 2解得 P 1 或 P2 名师归纳总结 故所求概率为P=0. 5,12,的长度3XB5 , 0.2 ,于是X 有概率分布第 9 页,共 10 页,05 的长度58. 解：以X 表示一周5 天内机器发生故障的天数,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆P X=k=Ck 50.2k0.85k, k=0,1,2,3,4,5. 以 Y 表示一周内所获利润,就Y=g X=10如X05如X10如X22如X3Y的概率分布为：P Y=10= PX=0=0.8 5=0.328 P Y=5= P X=1=C 1 50.2 ·0.8 4=0.410 P Y=0= P X=2=C 5·2 0.2 2·0.8 3=0.205 P Y=2= P X 3=1 P X=0 P X=1 P X=2=0.057 故一周内的期望利润为：名师归纳总结 EY=10× 0.328+5 × 0.410+0 × 0.205 2× 0.057=5.216万元 第 10 页,共 10 页- - - - - - -