2022年高一数学必修一,二知识点总结 .pdf

第 1 页 共 12 页高中高一数学必修 1 各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合， 集合中的元素是确定的， 任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中， 任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的， 没有先后顺序， 因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示： 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“ 属于” 的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示， 如： a 是集合 A 的元素， 就说 a 属于集合A 记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 a? A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是x? R| x-32或x| x-32 4、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1. “包含” 关系子集注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合A,记作A B 或 B A 2“ 相等” 关系(55，且 55，则 5=5) 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合A 等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A A 真子集:如果 A B,且 A1 B那就说集合 A 是集合B 的真子集，记作A B(或 B A) 如果 A B, B C ,那么 A C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 12 页 如果 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集记作 AB(读作”A交B”)，即 AB=x|xA，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合 B的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：AB(读作”A并 B”)，即 AB=x|xA，或xB3、交集与并集的性质：AA = A, A= , AB = BA，AA = A, A= A ,A B = BA. 4、全集与补集（1）补集：设S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 ），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作： CSA 即 CSA =x | x? S且 x? A （2）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。（3）性质：CU(C UA)=A (C UA)A=二、函数的有关概念1 函数的概念：设 A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：2 如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域， 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充(1)、 函数的值域取决于定义域和对应法则， 不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 12 页(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 . B、图象变换法（请参考必修4 三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变(3)作用：1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4快去了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（ 2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设 A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素 x，在集合B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应， 那么就称对应f： A B 为从集合A 到集合B的一个映像。记作“f：A B”给定一个集合 A 到 B 的映像，如果 aA,bB.且元素a 和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B 及对应法则f是确定的；对应法则有“ 方向性” ，即强调从集合A 到集合 B 的对应，它与从B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满足：（）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合 A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域； 3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数（参见课本 P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况（ 1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为 f、g 的复合函数。例如: y=2sinX y=2cos(X2+1) 7函数单调性名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 12 页（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2 时， 都有 f(x1)f(x2)， 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。 区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间 （睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1， x2， 当 x1x2 时， 都有 f(x1)f(x2)， 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2 时，总有f(x1)f(x2) 。（2） 图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数， 那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1，x2D，且 x11，且 *当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数此时， 的 次方根用符号 表示 式子 叫做根式 （radical） ， 这里 叫做根指数 （radical exponent） ， 叫做被开方数 （radicand）当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数的正的 次方根用符号表示，负的 次方根用符号 表示正的 次方根与负的 次方根可以合并成（ 0）由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 0，记作 。注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential ），其中x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1图象特征函数性质1.向 x、y 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 2.图象关于原点和 y轴不对称非奇非偶函数3.函数图象都在 x轴上方4.函数的值域为 R+ 5.函数图象都过定点（0，1）6.自左向右看图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 12 页（1）在a，b上， 值域是 或 ；（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；（3）对于指数函数 ，总有 ；（4）当 时，若 ，则 ；二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ 底数， 真数， 对数式）两个重要对数：1 常用对数：以 10 为底的对数 ；2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 （二）对数函数1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。图象特征，函数性质1.函数图象都在 y轴右侧函数的定义域为（0，）2.图象关于原点和 y轴不对称非奇非偶函数3.向 y轴正负方向无限延伸函数的值域为R 4.函数图象都过定点（1，0）自左向右看，图象逐渐上升，自左向右看，图象逐渐下降（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（ 1，1）；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数 在第一象限内， 当 从右边趋向原点时， 图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴第三章 函数的应用、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点3、函数零点的求法：求函数 的零点：1 （代数法）求方程 的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共 12 页二次函数 1）0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点2）0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点高一数学必修 4 3）0，方程 无正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为36036090 ,kkk第二象限角的集合为36090360180 ,kkk第三象限角的集合为360180360270 ,kkk第四象限角的集合为360270360360 ,kkk终边在x轴上的角的集合为180 ,kk终边在y轴上的角的集合为18090 ,kk终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk3、与角终边相同的角的集合为360,kk4、已知是第几象限角，确定*nn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr7、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.38、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 12 页PxyAOMT9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是, x y，它与原点的距离是220r rxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正11、三角函数线：sin，cos，tan12、同角三角函数的基本关系：221 sincos12222sin1cos,cos1sin；sin2tancossinsintancos,costan13、三角函数的诱导公式：1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk2 sinsin，coscos，tantan3 sinsin，coscos，tantan4 sinsin，coscos，tantan口诀：函数名称不变，符号看象限5 sincos2，cossin26 sincos2，cossin2口诀：奇变偶不变，符号看象限14、函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度， 得到函数sinyx的图象； 再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短） 到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变） ，得到函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 12 页sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变） ，得到函数sinyx的图象函数sin0,0yx的性质：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：函数sinyx，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数函数性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 10 页 共 12 页单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数在,22kkk上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0的向量单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零 向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同 的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：ababab 运 算 性 质 ： 交 换 律 ：abba； 结 合 律 ：abcabc； 00aaa坐标运算：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy设、两点的坐标分别为11,x y，22,xy， 则1212,xx yybaCabCC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 11 页 共 12 页19、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aaa；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a运算律：aa；aaa；abab坐标运算：设,ax y，则,ax yxy20、向量共线定理：向量0a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba设11,axy，22,bxy， 其中0b， 则当且仅当12210 x yx y时， 向量a、0b b共线21、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1 122aee （不共线 的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式： 设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,xy，当12时，点的坐标是1212,11xxyy23、平面向量的数量积：cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0性质：设a和b都是非零向量， 则0aba b 当a与b同向时，a ba b；当a与b反向时，a ba b；22a aaa或aa aa ba b运算律：a bb a；aba bab；abca cb c坐标运算：设两个非零向量11,axy，22,bxy，则1212a bx xy y若,ax y，则222axy，或22axy设11,axy，22,bxy，则12120abx xy y设a、b都 是 非 零 向 量 ，11,ax y，22,bxy，是a与b的 夹 角 ， 则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 12 页 共 12 页121222221122cosx xy ya ba bxyxy24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：coscoscossinsin；coscoscossinsin；sinsincoscos sin；sinsincoscossin；tantantan1 tantan（tantantan1tantan） ；tantantan1 tantan（tantantan1tantan） 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin（2cos21cos2，21cos2sin2） 22tantan21tan26、22sincossin，其中tan实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -