2022年高三数学立体几何专题训练.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高三数学立体几何专题训练【考点】 1. 三视图； 2 求体积； 3 证线面垂直 垂直关系 ；4 求二面角的平面角；5 求线面角； 6 求异面直线所成角；7. 求三角形面积；8 判定平行、垂直、相交、重合位置关系；【复习建议】此题为低中档,一般分为两小问,可得满分；第1 问,一般考查平行与垂直的证明及相关问题,需要同学把握好平行与垂直的证明的有关定理,并留意证明过程的书写规范,如能建系；也可用向量法；第2 问一般讨论空间角,如用综合法请留意证明过程；如用空间向量需留意：异面直线所成角 肯定不大于900 、线面所成角 此类题最简洁错,记住宅求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦 、二面角 留意观看是钝角仍是锐角,一般情形下是锐角 ；向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建,并用文字说明,留意检查所写的点或向量坐标有无错,留意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算,留意是否作答； 特殊的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新奇特殊,但其实都很简洁,无需紧急；用向量仍是综合法,视题目 更适合哪种方法 和个人情形而定；最终适当留意：求解线面所成角要转换 比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系 和翻折问题；下面的例题仅供参考；【题例】 1. 如图 3 所示,在四周体 PABC中,已知 PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB234F是线段 PB上一点,CF1534, 点 E 在线段 AB上且 EF PB17 I证明： PB平面CEF； 求二面角BCE-F 的正切； 选题目的,练好运算 包括三角形各边,二面角求解 练好规范；判定是否适用向量；2翻折问题体积问题函数导数 如图 6 所示,等腰 ABC 的底边 AB 6 6 , 高 CD=3,点 E 是线段 BD上异于点 B,D 的动点,点 F 在 BC边上,且 EFAB,现沿 EF将 BEF 折起到 PEF 的位置, 使 PEAE,记 BE=x,Vx 表示四棱锥 P 一 ACEF的体 积. 1 求 Vx 的表达式；2 当 x 为何值时, Vx 取得最大值 . 3 当 Vx 取得最大值时,求异面直线 AC与 PF所成角 的余弦值名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、 组合图形问题 如下列图：边长为2 的正方形 ABFC和高为 2 的直角梯形ADEF 所在的平面相互垂直且DE20 , ED AF, 且DAF=901 求 BD和面 BEF所成的角的正弦；2 线段 EF上是否存在点 P 使过 P、A、C三点的平面和直线 DB垂直,如存在,求 EP与 PF 的比值；如不存在,说明理由；总结：解决存在性问题方法：1先假设存在,再去推理,下结论： 2 运用推理证明运算得出结论,或先利用条件特例得出结论, 然后再依据条件给出证明或运算；4 视图,无棱二面角问题 四棱锥 PABCD的底面与四个侧面的外形和大小如下列图1 写出四棱锥 P 一 ABCD中四对线面垂直关系 不要求证明 ；2 在四棱锥 P-ABCD中,如 E 为 PA的中点,求证： BE 平面 PCD；3 在四棱锥 P 一 ABCD中,设面 PAB与面 PCD所在的角为 00< 900 ,求 cos的值5 无棱二面角问题 如图,四棱锥S一 ABCD的底面是边长为l 的正方形 SD 垂直于底面ABCD,SB.31 求证： BCSC2 求面 ASD与面 BSC所成二面角的大小；名师归纳总结 3 设棱 SA的中点为 M,求异面直线DM与 SB所成角的大小第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6如图边长为 1 的正方形 ABCD中,点 E、F 分别为 AB、BC的中点,将 ABEF剪去,将 AED、 DCF分别沿 DE、 DF折起,使 A、C两点重合于点 P 得一三棱锥如图示1 求证： PDEF：2 求三棱锥 P DEF的体积；3 求 DE与平面 PDF所成角的正弦值7、如图,在四棱锥 P一 ABCD中,底面 ABCD为菱形,BAD=60 0,Q为 AD的中点；1 如 PA=PD,求证：平面 PQB平面 PAD；2 点 M在线段 PC上, PM=tPC,试确定 t 的值,使 PA 平面 MQB 3 在2 的条件下,如平面PAD平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2 求二面角 MBQ-C的大小；8 本小题满分 l4 分 如图,ABC是以 ABC为直角的三角形, SA平面ABC,SA=BC=2；AB=4M、 N、D分别是SC、 AB、BC的中点；1 求证： MNAB；2 求二面角 S-NDA 的余弦值：3 求点 A到平面 SND的距离；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案lI证明：PA2AC23664100PC2 PAC是以 PAC为直角的直角三角形,同理可证PAB是以 PAB 为直角的直角三角形, PCB是以 PCB为直角的直角三角形故PA平面 ABC,又EFPBS PBC1|AC|BC|11063022SPBC, 故 CFPB,又已知而1|PB|CF|12341534302217PB平面 CEF II由I 知 PBCE,PA平面ABCAB 是 PB在平面 ABC上的射影,故ABCE在平面 PAB内,过 F 作 FF1垂直 AB交 AB于 F1,就 FF1平面 ABC,EFl 是 EF在 平面 ABC上的射影, EFEC , 故FEB是二面角 BCEF 的平面角tanFEBtanBPAAB105AP63二面角 BCE一 F 的正切为5 3说明：此题不相宜用向量21 由折起的过程可知, PE平面ABC,SABC96,SAEFx2SBDC6x25412Vx6x 91x20x36312x6时, Vx 取得最大值126 .2Vx691x234所以x06,时,Vx0,Vx单调递增；6x36时,Vx0 ,Vx单调递减；因此3 过 F 作 MT AC 交 AD与 M,就名师归纳总结 BMBFBEBE,MB2 BE12 ,PM62第 4 页,共 9 页ABBCBD1 2ABMFBFPF36BC65494263在 PFM中,cosPFM84722427异面直线AC与 PF所成角的余弦值为27- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 解1 由于 AC、AD、AB两两垂直,建立如图坐标系,就B2,0, 0 ,D0,0,2 E1,l ,2 ,F2 ,2,0 ；就 DB 2 0, , 2 , BE ,1,1 2 , BF 0 , ,2 0 设平面 BEF的法向量 n x , y , z , 就 x y 2 z 0 , y 0 ,就可取 n ,2 0 1, ,向量 DB 和 n ,2 1,0 所成角的正弦为2 2 21 2 22 02 2 2 2 10 10即 BD和面 BEF所成的角的正弦 10102 假设线段 EF上存在点 P 使过 P、A、C三点的平面和直线 DB垂直,不妨设EP m PF m 0 就 P 点坐标为 1 2 m, 1 2 m, 2 1 m 1 m 1 m就向量 AP 1 2 m, 1 2 m, 2 1 m 1 m 1 m向量 CP 1 2 m, 1, 21 m 1 m 1 m所以 2 1 2 m0 1 2 m 2 2 0 ,1 m 1 m 1 m1所以 m2故存在这样的点 P,当点 P 为 EF中点时, BD面 PAC 4解1 如图,在四棱锥 P 一 ABCD中,PA平面 ABCD,AD平面 PAB,BC平面 PAB,AB平面 PAD名师归纳总结 2 依题意 AB、AD、AP两两垂直,分别以直线AB、AD、AP为x、y、z轴,建立空间直角坐第 5 页,共 9 页标系,如图就P0,0,2 ,B2,0,0,C2,2,0 ,D0,4,0 E 是 PA中点,点E 的坐标为 0 , 0,1 ,BE,2 0 1,PC2 , 2 ,2 ,PD,0,42 设n 1x ,y ,z 是平面 PCD的法向量由.n 1PC,即2x2y2z0n 1PD4y2 z0取 y=1,得n 1 ,1,1 2 为平面 PCD的一个法向量BEn 1210112,0BEn 1,BE/平面 PCD.又 BE平面 PCD, BE 平面 PCD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 由2 ,平面 PCD的一个法向量为1n,1,1 2 又 AD平面 PAB,平面 PAB的一个法向量为n 2 ,1,0 0 , cos n 1 n 2 1 6n 1 n 2 | 6 65、方法一解：1 如图建立空间直角坐标系就有 B1,1 ,0 ,C0,1,0 ,S0 ,0,1 于是 BC 0,1 0, , SC ,1,0 1 . 于是 BC SC 0所以 BC SC , 于是 BCSC,2 明显平面 ASD的法向量为 n 0 0,1, , 设平面 SCB的法向量为 n 2 x , y 1, ,x 0就有 n 2 BC , n 2 SC , 即 , 解得 n 2 0 1,1,y 1 0由于 cos n 1n 2 2 2所以 1n 与 n 的夹角为 45 0,由图可以判定面 ASD与面 BSC所成的角为锐角,因此与 1n 与 n 2的夹角相等,从而面 ASD与面 BSC所成的角为 45 03M 点坐标为 1, 0 , 1 于是 DM 1, ,0 1,而 SB ,1,1 1 , 并且 cos DM , SB 02 2 2 20于是 DMSB,即异面直线 DM与 SB所成角的为 90：方法二：几何法更快61 证明：依题意知图折前 ADAE,CDCFPDPE,PFPD, 2 分PE PF P , PD平面 PEF 3 分又 EF 平面 PEF PDEF 4 分2 解法 l ：依题意知图中AECF1PEPF1 8 分22在 BEF中EF2BE22在 PEF中PE2PF2EF2PEPFS PEF1PEPF1111 7 分22228VPDEFVDPEF1SPEFPD1111338242 解法 2：依题意知图中名师归纳总结 AECF1PEPF1第 6 页,共 9 页22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 BEF中EF2BE2 5 分2取 EF的中点 M,连结 PM,就 PM EF PM PE 2EM 2 2 6 分4S PEF 12 EF PM 12 2 24 2 18 7 分1 1 1 1V P DEF V D PEF S PEF PD 1 8 分3 3 8 243 由2 知 PEPF, 又 PEPD PE平面 PDF 10 分 PDE为 DE与平面 PDF所成的角, 11 分在 Rt PDE中DE PD 2PE 21 14 2 5, PE 12 l2 分1sin PDE PE 2 5 14 分DE 5 52 7解： 1 连 BD,四边形 ABCD菱形, ADAB,BAD=600, ABD为正三角形, Q为 AD中点, ADBQ, PA=PD,Q为 AD的中点, ADPQ, 又 BQPQ=QAD平面PQB,AD平面 PAD,平面 PQB平面 PAD 2 当t1时, PA 平面 MQB, 3下面证明,如PA 平面 MQB,连 AC交 BQ于 N, 由 AQ BC, 可得ANQ BNC ,AQAN1BCNC2即AN1NC3PA 平面 MQB, PA平面 PAC, 平面 PAC平面 MQB=MN,PA MNPMAN1PCAC3即：PM1PC,t1333 由 PA=PD=AD=2,Q 为 AD的中点,就PQAD.又平面PAD平面 ABCD,所以 PQ平面 ABCD,以 Q为坐标原点,名师归纳总结 分别以 QA、QB、 QP所在的直线为x,y,z 轴,建立如图P 0 0, ,3第 7 页,共 9 页所示的坐标系,就各点坐标为A ,1,0 0 ,B 0 ,30, ,Q 0 , ,0 0 ,N0,3,0,C2 ,30,PC2,3,3,QB0 ,3 ,0 2令Ma ,b ,c, 就PMa ,b ,c3 , 由PM1PC, 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得点的坐标M2,3,233,MN2,3,233,3336设平面 MQB的法向量为nx ,y 1, 可得30, 1,nQB0,PA/MN, nQB0, 解得nnMN0nPA0取平面 ABCD的法向量m0 0, 1,cosm ,nmn1mn2又由于二面角MBQC为锐二面角,所以其大小为600；81 略证：作 MEAC,连接NE,可证得 AB平面 MNE,即得 MNAB 4 分过 A 作 AF垂直 DN且与 DN的延长线相交于点 F,连接 SF 在 DBN中, tan DNB DB 1, sin DNB 5BN 2 5在 Rt AFN中, AF AN sin DNB 2 55在 Rt SAF中, tan SFA SA 2 5AF 2 553 过点 A作 AHSF于 H,由 2 知平面 SAF平面 SNDAH面 SNDAH的长为点 A 到平面 SND的距离在 Rt AHF中,AHAFsinSFA255306 3 如图）,6故点 A 到平面 SND的距离为6 314 分解法二： 向量法 B 为坐标原点,建立空间直角坐标系由题意得 M1,2,1）,N0,2, 0 所以 MN 0,1 , 1 , AB 0 , ,2 0 ,MN AB 0 , MN AB设平面 SND的法向量为 m x , y , z 就 m SN 0,且 m DN 0,令解 z=1 得： x=2,y=-1 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - m2 ,1,1名师归纳总结 又平面 AND的法向量为n,0 0 1, 第 9 页,共 9 页cosmn6mn6 3dANm63| m|- - - - - - -