2022年高中数学高考知识点总结3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学高考学问点总结1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“ 确定性、互异性、无序性”；如：集合Ax ylgx,By ylgx,C , | x y ylgx,A、 、C中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集 的特别情形；留意借助于数轴和文氏图解集合问题；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集；如：集合Ax x22x30,Bx ax1如BA, 就 实 数的 值 构 成 的 集 合 为（答：1, ,1）33. 留意以下性质：（ ）集合a 1,a2, ,an的全部子集的个数是2n；（ ）如ABABA,ABB；（3）德摩根定律：CUABCUACUB,CUABCUACUB4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已 知关于 的 不等式ax50 的解 集为M,如3M且5M,求实 数ax2a的取值范畴；名师归纳总结 （3M,a·350a1,59,25） 和“ 非”.第 1 页,共 41 页32a35M, a·550 ,“ 且”52a5. 可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或”如pq 为真,当且仅当p、 均为真- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如 pq 为真,当且仅当p、 至少有一个为真如p 为真,当且仅当p 为假6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假；7. 对映射的概念明白吗？映射f：AB,是否留意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应 B 中有元素无原象； ）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数y2x4x的定义域是lgx32（答：0,2,33,4）10. 如何求复合函数的定义域？如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数Fxf x fx的定义域是 _；（答：a,a）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？如：fx1exx,求f x .令tx0x1, 就txt2101t e21t2ft x21x2f xe112. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - （反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数f x x1xxx00的反函数x2x0（答：f1 1x1）x13. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线 yx 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；设yfx的定义域为A,值域为C,aA,bC,就fa = bf1 af1f a f1 a,f f1 f ab14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判定复合函数的单调性？（yf ,u ,就yf （外层） （内层）当内、外层函数单调性相同时f 为增函数,否就f 为减函数；）如：求ylog 1x22 x的单调区间2（设uu2 xxuu2, 由120就0x2x且log 1,1,如图 ：2uO12x当x0,1 时,u,又log1u,y2当x1,2 时,u,又log1u,y2 , ）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 15. 如何利用导数判定函数的单调性？在区间 a,b 内,如总有 f ' 0 就 f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如 f ' 0 呢？3如：已知 a 0,函数 f x x ax 在 1,上是单调增函数,就 的最大值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令fx ' 3 x 2 a 3 x a x a 03 3就 x a 或 x a3 3a由已知 f x 在 1, 上为增函数,就 1,即 a 33a 的最大值为 3）16. 函数 fx具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如fx f x 总成立f x 为偶函数函数图象关于y轴对称留意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；名师归纳总结 （2）如fx是奇函 数且定义 域中有 原点, 就f00；时,f x 42x1,第 4 页,共 41 页如：如f x a·2xa2为奇函数,就实数ax 21（f x 为奇函 数,xR,又0R,f 0即 ·20a20,）1201,1又如：f x 为定义在1,1 上的奇函数,当x 0x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求f x 在1,1上的解析式；（令x1,0,就x20,1,fx 2x41x2又f x 为 奇函数 ,f x x2xx4x114xx1,0 又f 00, fx 4x11x0）x2x0,14x17. 你熟识周期函数的定义吗？（如存 在实数T（T0）,在 定义域 内总有f xTf x , 就f x 为 周期函数, T 是一个周期； ）如：如 f x a f x ,就（答：f x 是周 期函数 ,T 2 a 为 f x 的一 个周期）又如： 如 f x 图 象有两 条对称 轴 x a,x b即 f a x f a x ,f b x f b x 就 f x 是 周期函 数,2 a b 为一 个周期如：18. 你把握常用的图象变换了吗？名师归纳总结 f x 与fx 的图象关于y轴 对称第 5 页,共 41 页f x 与f x 的图象关于x轴 对称- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x 与fx的图象关于 原点 对称f x 与f1 的图象关于直线yx对称a a f x 与 f2 ax的图象关于 直线xa对称f x 与f2ax的图象关于 点a,0 对称将yf x 图象左移a a0个单位yf x右移a a0个单位yf x上移b b0个单位yf xa b下移b b0个单位yf xa b留意如下“ 翻折” 变换：f x f x x1yxlog21的图象f x f| |如：f x log 2作出及log2x1y y=log 2x O1 x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k<0 yk>0 y=bOOa,bxx=a名师归纳总结 （ ）一次函数：ykxb k0第 6 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ ）反比例函数：ykk0推广为ybxkak0是中心O a,b 的双曲线；x2 2（ ）二次函数 y ax 2bx c a 0 a x b 4 ac b 图象为抛物线2 a 4 a2b 4 acb b顶点坐标为,对称轴 x2 a 4 a 2 a24 ac b开口方 向：a 0,向 上,函 数 y mi n4 a2a 0, 向下,y max 4 ac b4 a应用：“ 三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程2 2ax bx c 0,0 时, 两根 x 1、x 2 为二 次函数 y ax bx c 的图 象与 轴的两个交 点,也 是二次 不等式 ax 2 bx c 0 0 解集的 端点值 ；求闭区间 m, n上的最值；求区间定（动） ,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk2af k 0y a>0 Ok x1x 2x 一根大 于 ,一根 小于kf k 0名师归纳总结 （ ）指数函数：,axa01a第 7 页,共 41 页（ ）对数函数ylogax a01,a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由图象记性质！（留意底数的限定！ ）y y=a xa>1 0<a<1 y=log axa> 1 1 O1 x 0<a<1 （ ）“ 对勾函数”yxkk0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？ykOkx20. 你在基本运算上常显现错误吗？指数运算：a01 a0 ,ap1a0 0,Nb0apmmn1ma0 annama0,ana对数运算：log aM·NlogaMlogaN Ml o gMl o gMl o gN,l o gnM1l o gMnlogaNnx对数恒 等式： al ogaxlogcblogambn对数换 底公式 ： logablogcam21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）名师归纳总结 如：（ ）xR,f x 满意f xyf x f y ,证明f x 为奇函数；第 8 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （先令xy0f 0再令yx,）（ ）xR,f x 满意f xyf x 2f y ,证明f x 是偶函数；（先令xytfttf t·t, ,ft ft f t f t ftf t ,）fxx1x2（ ）证明单调性：f x222. 把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法）性法,导数法等； ）如求以下函数的最值：,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调（ ）y2x313x4xx3cos,0,（）y2x42设x3（ ）x2 x23,yx3（4）yx49,x01,4x9（ ）yx23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为 ,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？（l·R,S扇1l·R1·R2）22R1 弧度O R24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义名师归纳总结 si nM P,cosOM,tanA T第 9 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yBSTP如：如80,就sin,cosOMAx的大小次序是,tan又如：求函数y12cos22x的定义域和值域；2（12cos2x）1ksinx0sin x2,如图：2Z,0y12k5x2 k4425. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？si nx1,cosx1名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - yytgxx2O22,kZ对称点 为k,0ysi n 的增区间为2k2,2k2kZAcosx（ x, y）作减区间为2k2,2k3kZ2图象的对称点为k,0,对称轴为xk2kZyc o s 的增区间为2k,2kkZ减区间为2k,2k2kZ图象的对称点为k2,0,对称轴为xkkZyt a n 的增区间为k2,k2kZ26. 正弦型函数y = Asinx +的图象和性质要熟记； 或y（ ）振幅|A|,周期T2x与 ,依点| |如f x0A,就xx0为对称轴；如 f x00,就x0,0为对称点,反之也对；（ ）五点作图：令x依次为0,2, ,3,2,求出2图象；名师归纳总结 （ ）依据图象求解析式；（求A、 、 值）第 11 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x10如图列 出x22再判定角的解条件组求、值正切型函数yAtanx,T| |27. 在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,范畴；如：cos x6,2,x6,3 2,求 值；5,x13）2（x37x5,x626341228. 在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数yysinxsin| |的值域是0 时,y0,y2,2）（x0 时,2sinx2,2,x29. 娴熟把握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：名师归纳总结 （ ）点P（ , ）20ah,kP '（x',y'）,就x'xhyk0图象？第 12 页,共 41 页平移至y'yk（ ）曲线f x,y沿向量ah,k平移后的方程为f xh,如：函数y2sinx41的图象经过怎样的变换才能得到2sinysinx的2 1 x241（y2sin2x1横坐标伸长到 原先的2倍y4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2sinx41左平 移4个单位y2sinx1上平 移 个单 位y2sinx纵坐标缩短到原先的1倍ysinx）230. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如：1sin2cos 2sec 2tan2tan·cotcos·sectan4sin2cos0, , 称为 的代换；“ 奇” 、“ 偶”“k·2” 化为的三角函数“ 奇变,偶不变,符号看象限” ,指 k 取奇、偶数；如： cos9 4tan7sin21D. 正值6又如：函数ysintan,就y的值为coscotA. 正值或负值B. 负值C. 非负值sinsin2 sincos10,0）cos cos（y2 cossin1cossin31. 娴熟把握两角和、差、倍、懂得公式之间的联系：降幂公式 及其逆向应用了吗？名师归纳总结 si nsincoscos si n令tansi ns12incos2第 13 页,共 41 页coscos cossinsin令cos 22 cossinta nta nta n,22 cos112sin21tan·ta ncos 22 costa n 22tan2112 ta nsin2cos 22sin2asi nbcos2 abbasi ncos2sin4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - si n3cos2sin3应用以上公式对三角函数式化简；（化简要求：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值；）详细方法：（ ）角的变换：如,222,（2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算；如：已知sin 1cos1,tan12,求·tan21的值；11）cos23（由已知得：sincoscos1,tan1212sin22sin2又 tan23t a n2t a nt a nt a n3 2·2t a nt a n83232. 正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形？名师归纳总结 余弦定 理：a2b2c22bccosAAcosb2c2a2第 14 页,共 41 页）2bc（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；正弦定理：abBcC2Ra2RsinAb2RsinBsinAsinsinc2RsinCS1a·bsinC2ABC,ABCsinABsin C,sinA2BcosC2如ABC中,2sin2A2Bcos2C1（ ）求角C；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ ）如2 ab2c2,求cos 2 Acos 2B的值；2（ ）由已知式得：1cosAB2cos2C11又ABC,2cos2CcosC10cos C1或cosC1（舍）32又0C,C3（ ）由正弦定理及a2b21c2得：222 si nA22 sinB2 sinC2 sin341cos 2A1cos2B34cos 2Acos2B3）433. 用反三角函数表示角时要留意角的范畴；反正弦：arcsinx2,2,x1,1反余弦：arccosx0,x1,1反正切：arctan x2,2,xR34. 不等式的性质有哪些？名师归纳总结 （ ）ab,c0acbca 或xa第 15 页,共 41 页c0acbc（2）ab,cdacbd（ ）ab0,cd0acbd（4）ab011,ab011abab（ ）ab0anbn,nanb（ ）| |a a0axa,| |ax1 如：如,a10就 以下结 论不正 确的是 （）bA a2b2B abb2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C a .|bab|D a bb2a答案： C 35. 利用均值不等式：a2b22ab a,bR；ab2ab；abab ab2求最值时,你是否注2意到“a,bR” 且“ 等号成立” 时的条件,积或和 ab 其中之一为定值？（一正、二定、三相等）留意如下结论：a 22b2abab2 abab,R243）2ab当且仅当ab时等号成立；2 ab2c2abbcca a,bR当且仅 当abc时取等 号；ab0,m0,n0,就bbm1anaaambnb如：如x0,23 x4的最大值为x（设y23 x422 1224 3x当且仅当3 x4,又x0,x233时,y maxx又如：x2y1,就2x4y的最小 值为（ 2x22y22x2y221, 最 小 值 为2）36. 不等式证明的基本方法都把握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并留意简洁放缩法的应用；名师归纳总结 如：证明111,12第 16 页,共 41 页222 3n2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （111,11112213,n1n222 32 n11 1 1 1 1 , , 1 12 2 3 n 1 n2 12）n37 . 解分式不等式 f x a a 0 的一般步骤是什么？g x （移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果； ）38. 用“ 穿轴法” 解高次不等式“ 奇穿,偶切”如： x1x12x23039. 解含有参数的不等式要留意对字母参数的争论,从最大根的右上方开头如：对 数或指 数的底 分a1 或0a1 讨 论40. 对含有两个肯定值的不等式如何去解？名师归纳总结 （找零点,分段争论,去掉肯定值符号,最终取各段的并集；）第 17 页,共 41 页例如：解不等式 |x3 |x11（解集为x x1）241.会用不等式| | | | | ab| | | | |证明较简洁的不等问题如：设f x x2x13,实数 满意|xa|1求证： f x f a 2| |1 证明： | f ax | |2x13 a2a13 |xa xa1 |xa |1 |xa xa1 | |xa1 | | | |1又| | | |xa |1,| |a |1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x f a2 | |22| |1（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题,或“ ” 问题）如：a f x 恒成立 a f x 的最小值a f x 恒成立 a f x 的最大值a f x 能成立 a f x 的最小值例如：对于一切实数 x,如 x 3 x 2 a 恒成立,就 a 的取值范畴是（设 u x 3 x 2,它表示数轴上到两定点 2 和 距离之和u mi n 3 2 5,5 a,即 a 5或者：x 3 x 2 x 3 x 2 55,a）43. 等差数列的定义与性质定义：an1and d 为常数 ,ana 1n1d1；0 的 二等差中项：x,A, 成等差数列2Axy前 项和Sna1annna1n n1d22性质：an是等差数列（ ）如mnpq,就ama napa q；（ ）数列a2n1,a2n,kanb仍为等差数列；Sn,S2nSn,S 3nS2n,仍 为等差 数列；（ ）如三个数成等差数列,可设为ad, ,ad；（4）如an,bn是等差数列Sn,Tn为前n项和,就amS2mbmT2m1（ ）an为等差数列Sn2 anbn（ , 为常数,是关于n 的常数项为次函数）名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - S n的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项,即：a n 0当 a 1 0,d 0,解不等式组 可得 S n 达到最大值时的 n 值；a n 1 0a n 0当 a 1 0,d 0,由 可得 S n 达到最小值时的 n 值；a n 1 0如 ： 等 差 数 列 a n,S n 18,a n a n 1 a n 2 3,S 3 1, 就 n（由 a nn a 1 a n 2 3 3 a n 1 3,a n 1 1又 S 3 aa 3·3 3 a 2 1,a 2 12 3S n a 1 an a 2 a n 1·n 13 1 n182 2 2n 27）44. 等比数列的定义与性质定义：an1q（ 为 常数,q0） ,ana qn1xyan等比中项：x、G、 成等比数列G2xy,或Gna1q1 前 项和：Sna11qnq1 （要留意.）1q性质：an是等比数列（ ）如npqa,就m·a nap·aq（ ）S