2022年高三导数压轴题题型归纳.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载导数压轴题题型1. 高考命题回顾例 1 已知函数 f(x) e xln(x m)（ 2013 全国新课标卷）(1)设 x0 是 f(x) 的极值点，求 (2)当 m2 时，证明 f(x)>0. m，并讨论 f(x) 的单调性；(1)解f(x)e xln(xm)? f (x)e x1 ? fxm(0)e 010? m1，0m定义域为 x|x>1 ，f (x)e x1xmx exx1 1，显然 f(x)在(1,0上单调递减，在0， )上单调递增(2)证明g(x)e xln( x2)，则 g (x)e x1(x>2)x2h(x)g (x)e x1 (x>2)? h (x)e xx212>0，x所以 h(x)是增函数， h(x)0 至多只有一个实数根，又 g (1 2) 1 e132<0，g(0) 11 2>0，1 2，0 内，所以 h(x) g (x)0 的唯一实根在区间设 g (x) 0 的根为 t，则有 g (t)e t所以， e t1 ? t2e t，t2t2 10 1 2<t<0 ，当 x( 2，t)时， g (x)<g (t)0，g(x)单调递减；当 x(t， )时， g (x)>g (t)0，g(x)单调递增；所以 g(x)ming(t)e tln( t2)1tt2t2>0，t2当 m2 时，有 ln( xm)ln( x2)，所以 f(x)e xln( xm)e xln(x2)g(x)g(x)min>0.名师归纳总结 例 2 已知函数f(x)满足f(x)f1(' )ex1bf(0 )x1x2（2012 全国新课标）第 1 页，共 25 页2(1)求f(x)的解析式及单调区间；1 )的最大值。)1x2axb，求(a(2)若f(x2（1）f x ( )f(1) ex1f(0)x11x2f( )f(1) ex1f(0)x2令x1得：f(0)- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例优秀教案欢迎下载f(x)fx 1( 1) exx122xg x ( )f( 0 )f1 ( 1 ) ex1f( 1 )e2得：f x ( )e x1f( )e x1x2g(x)x e10yg(x在 xR上单调递增f(x)0f( 0 )x0 ,x ()0f( 0)x得：f x 的解析式为f x ( )exx1x22且单调递增区间为(0,) ，单调递减区间为(,0)（2）f x ( )1x2axbh x ( )ex(a1) xb0得h x ( )ex(a1)2当10时，h x ( )0yh x 在 xR上单调递增ax时，h x ( )与h x ( )0矛盾当a10时，h x ( )0xln(a1),h x ( )0xln(a1)得：当xln(a1)时，h x ( )min(a1)(a1)ln(a1)b0(a1) b(a2 1)(a2 1) ln(a1)(a10)令F x ( )x2x2lnx x0)；则F( )x (12lnx)F( )00xe F( )0xe当 xe 时，F x ( )maxe2当ae1, be 时， (a1) b 的最大值为e23 已 知 函 数f x ( )alnxb， 曲 线yf x ( )在 点 (1,f(1) ) 处 的 切 线 方 程 为x1xx2y30。（ 2011 全国新课标）（）求 a 、 b 的值；名师归纳总结 （）如果当x0，且x1时，f x ( )lnxk x，求k的取值范围。1，第 2 页，共 25 页x1解（）f'( )(xx1lnx)b由于直线x2y30的斜率为(1)2x22xf(1)1,b1,解得a1，b1。且过点 (1,1)，故f'(1)1,即ab 1 x1 , 2，所以ln(k1)(2 x1) )。22 x（）由（）知f ( )x1f x ( )(lnxk)112(2lnxx1xxx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载2 2考虑函数 h x ( ) 2ln x ( k 1)( x 1) ( x 0)，则 h x '( ) ( k 1)( x2 1) 2 x。x x2 2(i) 设 k 0，由 h x '( ) k x 1)2 ( x 1)知，当 x 1 时，h x '( ) 0， h(x) 递减。而xh (1) 0 故当 x (0,1) 时，h x ( ) 0，可得 12 h x ( ) 0；1 x当 x（1，+）时， h（x）<0，可得 12 h（x）>0 1 x从而当 x>0,且 x 1 时，f（x）-（ln x+ k ）>0，即 f（x）> ln x+ k. x 1 x x 1 x2 2（ ii ）设 0<k<1. 由于 ( k 1)( x 1) 2 x = ( k 1) x 2 x k 1 的图像开口向下，且4 4( k 1) 20，对称轴 x= 11 当 x（ 1，1）时，（ k-1）（x 2 +1）1 k . 1 k+2x>0, 故 'h (x）>0,而 h（1）=0，故当 x（1，1 1k）时， h（x）>0，可得1 1x 2 h（x）<0,与题设矛盾。（iii ）设 k 1.此时 x 2 1 2 x ，( k 1)( x 21) 2 x 0 'h （x）>0,而 h（1）=0，故当 x（ 1，+）时， h（x）>0，可得 121 x综合得， k 的取值范围为（-， 0例 4 已知函数 f(x) (x 3+3x 2+ax+b)ex. （2009 宁夏、海南）(1)若 ab 3,求 f(x) 的单调区间 ; h（x） <0,与题设矛盾。(2)若 f(x) 在 ( , ),(2, 单调增加 ,在( ,2),( ,+ ) 单调减少 ,证明 6. 解 : (1)当 ab 3 时,f(x) (x 3+3x 2 3x3)e x,故f (x) (x 3+3x 23x3)ex +(3x 2+6x 3)e x ex (x 3 9x) x(x 3)(x+3)e x. 当 x 3 或 0x3 时,f 0;当 3x0 或 x3 时,f 0. 从而 f(x) 在(,3),(0,3) 单调增加 ,在 (3,0),(3,+ 单调减少 . (2)f (x 3+3x 2+ax+b)e x +(3x 2+6x+a)ex exx 3+(a6)x+b a. 由条件得 f 0,即 2 3+2(a6)+b a0,故 b4a. 从而 f e x x 3+(a6)x+4 2a.因为 f )f 0, 所以 x 3+(a6)x+4 2a(x2)(x )(x ) (x2)x 2( + )x+ 将右边展开 ,与左边比较系数,得 + 2, a2. 名师归纳总结 故()24124 a.又 ( 2)( 2)0，第 3 页，共 25 页即 2( + )+40.由此可得 a 6. 于是 6.2. 在解题中常用的有关结论(1)曲线yf x 在xx 处的切线的斜率等于f(x 0)，且切线方程为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载0。反之，不成立。yf(x 0)(xx 0)f x 0)。(2)若可导函数yf x 在xx 0处取得极值，则f(x 0)f x 的递增（减）区间。(3)对于可导函数f x ,不等式f( )0（0）的解集决定函数(4)函数f x 在区间 I 上递增（减）的充要条件是：xIf( )0 (0) 恒成立（f( )不恒为 0）. (5)函数 f x （非常量函数）在区间 I 上不单调等价于 f x 在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程 f ( ) 0 在区间 I 上有实根且为非二重根。（若 f ( ) x 为二次函数且I=R ，则有 0）。(6) f x 在区间 I 上无极值等价于 f x 在区间在上是单调函数， 进而得到 f ( ) 0 或f ( ) 0 在 I 上恒成立(7)若 x I ，f x ( ) 0 恒成立，则 f x ( ) min 0 ; 若 x I ，f x ( ) 0 恒成立，则f ( ) max 0(8)若 x 0 I ，使得 f ( x 0 ) 0 ，则 f x ( ) max 0 ；若 0x I ，使得 f x 0 ) 0 ，则f x ( ) min 0 . (9)设 f x 与 g x 的定义域的交集为 D，若 x D f x ( ) g x 恒成立，则有f x ( ) g x ( ) min 0 . (10) 若对 x 1 I 、x 2 I 2，f x 1 ) g x 2 ) 恒成立，则 f x ( ) min g x ( ) max . 若对 x 1 I ，x 2 I 2，使得 f x 1 ) g x 2 ) ,则 f x ( ) min g x ( ) min . 若对 x 1 I ，x 2 I 2，使得 f x 1 ) g x 2 )，则 f x ( ) max g x ( ) max . （11）已知 f x 在区间 1I 上的值域为 A, ，g x 在区间 2I 上值域为 B，若对 x 1 I , x 2 I 2，使得 f ( x 1 ) = g x 2 ) 成立，则 A B 。(12) 若三次函数 f(x) 有三个零点，则方程 f ( ) 0 有两个不等实根 x 1、x 2，且极大值大于 0，极小值小于 0. (13) 证题中常用的不等式 : x lnxx1 (xx0)x1ln（x +1）x x0)1)x e1x1)ex1x(xlnxx21 (lnx111x222x2x3. 题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）例 1（切线） 设函数 f ( x ) x 2 a . （1）当 a 1 时，求函数 g ( x ) xf ( x ) 在区间 0 1, 上的最小值；（2）当 a 0 时，曲线 y f (x ) 在点 P ( x 1 , f ( x 1 )( x 1 a ) 处的切线为l，l与x轴交于点 A ( x 2 , 0 ) 求证：x 1 x 2 a . 例 2（最值问题，两边分求）已知函数 f x ( ) ln x ax 1 a 1 ( a R ) . x当 a 1时，讨论 f ( ) x 的单调性；2设 g x ( ) x 22 bx 4. 当 a 1时，若对任意 x 1 (0, 2)，存在 x 2 1,2，使4f x 1 )g x 2 )，求实数 b 取值范围 . 交点与根的分布例 3（切线交点） 已知函数fx3 axbx23 x a bR 在点 1,f12处的切线方程为y20x x 都有fx 1fxc ，求实数求函数 fx 的解析式；若对于区间2,2 上任意两个自变量的值c 的最小值；若过点M2,mm(2可作曲线 y)f3x 的三条切线，求实数m 的取值范围例 4（综合应用） 已知函数fx )ln(23xx2.2求 f(x)在0,1 上的极值；若对任意x1,1,不等式|alnx|lnf(x )3x 0成立，求实数 a 的取值63范围；若关于 x 的方程f(x)2xb在 0， 1上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围 . 不等式证明名师归纳总结 例 5 (变形构造法 )已知函数(x)a，Bx 2, y2，x1，a 为正常数若f(x )lnx(x )，且 a92，求函数f( x )的单调增区间；在中当a0时，函数yf(x )的图象上任意不同的两点Ax 1, y 1线段AB的中点为C(x0y0)，记直线AB的斜率为k，试证明：kf(0x)第 5 页，共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 若g(x )lnx(x)优秀教案x 1x 2欢迎下载，x 1x2，都有g(x 2)g(x 1)1，且对任意的0, 2x2x 1求 a 的取值范围例 6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数f(x )x2ln(ax)(a0 ).， 求 证（1）若f('x )x2对任意的x0恒成立，求实数a 的取值范围；x 21(x)f(x )， 若x 1,x2(11, ),x 1（ 2 ） 当a1时 ， 设 函 数gxex 1x2(x 1x2)4ax2bxc的图象经过坐标原点，且在x1处取例 7（绝对值处理） 已知函数f(x)3 x得极大值（I）求实数 a 的取值范围；（II ）若方程f(x)(2a9)32恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；|)81（III ）对于（II ）中的函数f( x )，对任意、R，求证：|f(2sin)f(2sin例 8（等价变形） 已知函数f(x )ax1lnx(aR)恒成立，直线l1。（）讨论函数f(x )在定义域内的极值点的个数；（）若函数f(x)在x1处取得极值，对x(0,),f(x)bx2求实数 b 的取值范围；（）当0xye2且xe时，试比较y与1lny的大小x1lnx例 9（前后问联系法证明不等式）已知f x ( )lnx g x ( )1x2mx7(m0)22与函数f x ( ),g x 的图像都相切，且与函数f( ) x 的图像的切点的横坐标为（I）求直线l 的方程及 m 的值；名师归纳总结 - - - - - - -（II ）若h x ( )f x1)g x 其中g'(x)是g(x) 的导函数)，求函数h x 的最大值。（III ）当0ba 时，求证：f ab )f(2 )ba.2a例 10 (整体把握，贯穿全题)已知函数f x ( )lnx1x（1）试判断函数f x 的单调性；（2）设m0，求f x 在 m ,2m 上的最大值；（3）试证明：对任意n* N ，不等式ln(1nn)e1nn都成立（其中e是自然对数的底数）（）证明：1112 n1a 1a 2a nn例 11（数学归纳法） 已知函数f x ( )ln(x1)mx ，当x0时，函数f x 取得极大值 . （）求实数m 的值；第 6 页，共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载（）已知结论：若函数 f x ( ) ln( x 1) mx 在区间 ( , ) a b 内导数都存在， 且 a 1，则 存 在 x 0 ( , a b ， 使 得 f ( x 0 ) f b ( ) f a ( ) .试 用 这 个 结 论 证 明 ： 若b a1 x 1 x 2， 函 数 g x ( ) f x 1 ) f x 2 )( x x 1 ) f ( x 1 )， 则 对 任 意x 1 x 2x ( x x 2 )，都有 f x ( ) g x ；（） 已知正数 1 , 2 , L , n，满足 1 2 L n 1，求证： 当 n 2， n N 时，对 任 意 大 于 1， 且 互 不 相 等 的 实 数 x x 2 , L , x n， 都 有f ( 1 1 x 2 x 2 L n x n ) 1 f x 1 ) 2 f x 2 ) L n f x n ) . 恒成立、存在性问题求参数范围例 12（分离变量） 已知函数f(x )x2alnx(a 为实常数 ).a 的取值范围 . . (1)若a2，求证：函数f(x )在(1,+)上是增函数；(2)求函数f(x)在1,e上的最小值及相应的x值；(3)若存在x,1e ，使得f(x)(a2)x成立，求实数例 13（先猜后证技巧）已知函数f(x )11 n(x1 )x（）求函数 f (x)的定义域（）确定函数 f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论（）若 x>0时 f ( x ) kx 1例 14（创新题型） 设函数 f(x)=e恒成立，求正整数 k的最大值 .x+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x) g(x). ()若 x=0 是 F(x) 的极值点 ,求 a 的值；()当 a=1 时,设 P(x 1,f(x 1), Q(x 2, g(x 2)(x 1>0,x 2>0), 且 PQ/x 轴,求 P、Q 两点间的最 短距离；()若 x0时,函数 y=F(x) 的图象恒在y=F( x) 的图象上方 ,求实数 a 的取值范围例 15(图像分析，综合应用 ) 已知函数g(x )ax22 ax1b( a0 ,b1 )，在区间,23上有最大值4，最小值 1，设f x ( )g x ( )x（）求a,b的值；1,1 上恒成立，求实数k 的范围；（）不等式f( 2x)k2x0在x（）方程f(|2x1|)k(|2x21|3 )0有三个不同的实数解，求实数k的范围导数与数列例 16（创新型问题）设函数f x ( )(xa2 ) (xx b e ， a、bR，xa 是f x 的一个极大值点名师归纳总结 若a0，求b的取值范围；x 3是f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可当 a 是给定的实常数，设x 1， ，第 7 页，共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载找 到 4x R ， 使 得 x 1， ， ，x 4 的 某 种 排 列 x i 1 , x i 2 , x i 3 , x i 4（ 其 中i 1， ， ，i 4 = 1 2 3 4， ）依次成等差数列 ?若存在， 求所有的 b 及相应的 4x ；若不存在，说明理由导数与曲线新题型例 17（形数转换） 已知函数 f x ( ) ln x , g x ( ) 1ax 2bx ( a 0) . 2(1)若 a 2 , 函数 h x ( ) f ( ) g x ( ) 在其定义域是增函数 ,求 b 的取值范围 ; (2)在(1) 的结论下 ,设函数 (x)=e 2x+be x,x 0,ln2, 求函数 (x) 的最小值 ; (3)设函数 f (x ) 的图象 C1与函数 g (x ) 的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M 、 N ,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2在N 处的切线平行 ?若存在 ,求出 R 的横坐标 ;若不存在 ,请说明理由 . 例 18（全综合应用）已知函数 f x ( ) 1 ln x (0 x 2) . 2 x(1)是否存在点 M a b ,使得函数 y f x 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q也在函数 y f x 的图像上 ?若存在 ,求出点 M 的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 ; 2 n 1 i 1 2 2 n 1 *(2)定义 S n f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ,其中 n N ,求 S 2013 ; i 1 n n n na n m *(3)在(2)的条件下 ,令 S n 1 2 a ,若不等式 2 ( a n ) 1 对 n N 且 n 2 恒成立 ,求实数 m 的取值范围 . 导数与三角函数综合例 19（换元替代，消除三角）设函数f x ( )x xa )2（xR ），其中 aR （）当a1时，求曲线yf x 在点 (2，f(2)处的切线方程；x )对任意的（）当a0时，求函数f x 的极大值和极小值；（）当a3，k10， 时，若不等式f kcos )f k22 cosxR 恒成立 ,求 k 的值。创新问题积累例 20 已知函数f x ( )lnx2x. f x 的取值范围x44I、求f x 的极值 . II、求证f x 的图象是中心对称图形. III 、设f x 的定义域为 D ,是否存在,a bD .当xa b 时，是a b ,4 4?若存在 ,求实数 a 、 b 的值；若不存在，说明理由导数压轴题题型归纳参考答案名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 优秀教案欢迎下载第 9 页，共 25 页例 1 解： (1)a1时，g(x )x3x，由g(x)3x210，解得x3. 3g(x)的变化情况如下表：x0 ( 0,3)3(31, )1 333g(x)- 0 + g(x )0 极小值0 所以当x3时，g( x )有最小值g(3)293. 33(2)证明：曲线yf(x)在点P(x1,2 x12a )处的切线斜率kf(x1)2x 1曲线yf( x )在点 P 处的切线方程为y(2 x12a)2x 1(xx1). 令y0，得x 2x2a，x2x 1x 12x 1ax 1a2x 1212x 12x1x1a，ax 120，即x2x1. 2 1又x 1a，x2x 12x 1ax 1a2x 1aa2222x 122x 12x 1所以x 1x2a. 例 2f x ( )lnxax1xa1(x0)，f( )laa212 axxa1(x0)a x0)x2xx令h x ( )2 axx1当a0时，h x ( )x1(x0)，当x(0,1), ( )0,f( )0,函数f x 单调递减；当x(1,),h x ( )0,f( )0，函数f x 单调递增 . 当a0时，由f( )0，即ax2x1a0，解得x 11,x 211. a当a1时x 1x ，h x ( )0恒成立，此时f( )0，函数f x 单调递减；2当0a1时，1 a110,x(0,1)时h x ( )0,f( )0，函数f x 单调递减；2x1 (1,a1)时，h x ( )0,f( )0，函数f x 单调递增；x(11,)时，h x ( )0,f( )0，函数f( ) x 单调递减 . a当a0 时1a(1,),10，当x(0,1),h x ( )0,f( )0,函数f x 单调递减；当x0,f( )0，函数h x ( )f x 单调递增 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 优秀教案欢迎下载，第 10 页，共 25 页综上所述：当a0时，函数f x 在 (0,1) 单调递减， (1,) 单调递增；当a1时x 1x , ( )0恒成立,此时f( )0，函数f x 在 (0,) 单调递减；2当0a1时,函数f x 在 (0,1) 递减 ,(1,11)递增 ,1 a1,)递减 . 2a当a1时，f x 在 (0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意x 1(0, 2)4有f x 1)f(1)1，2又已知存在x 21,2，使f x 1)g x 2)，所以1g x 2)，x 21,2，（ ）2又g x ( )(xb )24b 2,x1,2当b1时，g x ( )ming(1)52 b0与（ ）矛盾；当b1,2时，g x ( )ming(1)4b20也与（ ）矛盾；当b2时，g x ( )ming(2)84b1,b17. 28综上，实数 b 的取值范围是17,3). 8例 3 解：fx2 3 ax2 bx根据题意，得f12,即ab332,解得a1所以fxx33 x f10,3 a2 b0,b02 令fx0，即3 x230得x1x22, 111,11 1,2fx+ + 2 fx2增极大值减极小值增因为f12，f12，所以当x2,2时，fxmax2，fxmin2则对于区间2,2 上任意两个自变量的值x x ，都有fx1fx2fxmaxfxmin4，所以c4所以 c 的最小值为4因为点M2,mm2不在曲线 yfx 上，所以可设切点为x 0,y 0则y03 x 03x 因为fx 02 3 x 03，