2022年高三总复习数列知识点及题型归纳总结2.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高三总复习 -数列一、数列的概念（1）数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项；记作 a ,在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项）,在其次个位置的叫第 2 项, ,序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 a ；数列的一般形式：a ,a ,a , ,a , ,简记作 a n；例：判定以下各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; 22022 年各省参与高考的考生人数；（2）通项公式的定义：假如数列an的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式；例如： 1 ,2 ,3 ,4, 5 ,：1 1,21,31,41,5Z；数列的通项公式是a = n （ n7, nN ）,数列的通项公式是a = 1 n（ nN ）；说明：a n表示数列,a 表示数列中的第n 项,a = fn 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不肯定唯独；例如,a = 1 n =1, n2 k1 k1, n2 k不是每个数列都有通项公式；例如,（3）数列的函数特点与图象表示：序号： 1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 1,1.4 ,1.41 ,1.414 , 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射；从函数观点看, 数列实质上是定义域为正整数集 N （或它的有限子集）的函数 f n 当自变量 n 从 1 开头依次取值时对应的一系列函数值 f 1, 2, f 3, ,f n , 通常用 a 来代替 f n ,其图象是一群孤立点；例：画出数列 an 2n 1 的图像 . （4）数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摇摆数列；例：以下的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列？（1）1,2,3, 4,5,6, 210, 9, 8, 7, 6, 5, 3 1, 0, 1, 0, 1, 0, 4a, a, a, a, a,（5）数列 a 的前 n 项和 nS 与通项 na 的关系：nanS 1n1S nS n1n2例：已知数列an的前 n 项和sn2 n23,求数列an的通项公式练习：1依据数列前 4 项,写出它的通项公式：（1）1,3, 5,7 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）221,2 331,421,2 51；245（3）1,1,11*2 2*3 3*4（4）9,99,999,9999,1；4*5（ 5）7,77,777,7777,68, 88, 888, 8888.2数列a n中,已知a nn2n1nN3（1）写出a ,a ,a ,an1,a n2；（2）792是否是数列中的项？如是,是第几项？33（2003 京春理 14,文 15）在某报自测健康状况的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表观看表中数据的特点,用适当的数填入表中空白（_）内；4、由前几项猜想通项：依据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当的图形和数,写出点数的通项公式 . （ 1）（4）（7）（）（）5. 观看以下各图,并阅读下面的文字,像这样,10 条直线相交,交点的个数最多是（）,其通项公式为 . A40 个 B45 个 C50 个 D 55 个4 条 直 线 相2条 直 线 相3 条 直 线 相交,最多有1交,最多有3交,最多有6个交点个交点个交点二、等差数列题型一 、等差数列定义：一般地,假如一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个 数 列 就 叫 等 差 数 列 , 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差 , 公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 ； 用 递 推 公 式 表 示 为a n a n 1 d n 2 或 a n 1 a n d n 1；名师归纳总结 第 2 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例：等差数列a n2n1,anan1d0为递增数列,d0为常数列,d0为递减数列；题型二 、等差数列的通项公式：ana 1n1 d ；说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：例： 1. 已知等差数列an中,a7a916,a41,就a12等于（）A15 B 30 C 31 D 64 2. an是首项a 11,公差d3的等差数列,假如a n2005,就序号 n 等于（填“ 递增数列” 或b 为（A） 667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差数列a n2n,1b n2n1,就a 为“ 递减数列”）题型三 、等差中项的概念：定义：假如 a , A, b 成等差数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中项；其中Aa2ba 13（）a , A , b 成等差数列Aa2b即：2an1a nan2（2ananma nm）例：1（14 全国 I ）设na是公差为正数的等差数列,如a 1a 2a 315, 1 a a a 380,就a 11a 12A120 B 105C 90 D 75）2. 设数列 an是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,就它的首项是（A1 B.2 C.4 D.8 题型四 、等差数列的性质：（1）在等差数列a n中,从第2 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项；第 3 页,共 25 页（2）在等差数列a n中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列a n中,对任意 m , nN ,a namnm d ,danammn ；nm（4）在等差数列a n中,如 m , n , p , qN 且 mnpq ,就a manapa ；题型五 、等差数列的前n 和的求和公式：S nn a 12anna 1n n1d1n2（a1d）n；222SnAn2BnA ,B为常数an是等差数列 递推公式：S na1annamanm1 n22例： 1. 假如等差数列a n中,a 3a 4a512,那么a 1a 2.a7（ A）14 （ B）21 （ C）28 （D）35 2. （2022 湖南卷文）设S 是等差数列na的前 n 项和,已知a23,a 611,就S 等于 A13 B35 C49 D 63 3. （2022 全国卷理）设等差数列a n的前 n 项和为S ,如S 972, 就a 2a 4a = 4. （2022 重庆文）（2）在等差数列a n中,a 1a 910,就a 的值为（）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （A）5 （ B）6 （C） 8 （D）10 ）Sn n5. 如一个等差数列前3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和为390,就这个数列有（A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项6. 已知等差数列an的前 n 项和为S ,如S 1221,就a2a 5a8a 117. （2022 全国卷理）设等差数列a n的前 n 项和为S ,如a55a 就S 9S 58（2022 全国）已知数列bn是等差数列,b1=1,b1+b2+ +b10=100. （）求数列bn的通项 bn；9. 已知an数列是等差数列,a1010,其前 10 项的和S 1070,就其公差 d 等于 A2B1 C.1 D. 3233310. （2022 陕西卷文）设等差数列a n的前 n 项和为ns, 如a 6s 312, 就a n11（2022 全国）设 an为等差数列, Sn 为数列 an的前 n 项和,已知 S7 7,S15 75,Tn 为数列的前 n 项和,求 Tn；12. 等差数列an的前 n 项和记为S ,已知 na1030,a2050求通项a ；如 nS =242,求 n48,S 12168,求a 1 和d；（2）已知a610,S 55,求a 8和S 8；313. 在等差数列 an中,（1）已知S 8已知a 3a 1540,求S 17题型六 . 对于一个等差数列：（1）如项数为偶数,设共有2n 项,就 S 偶S 奇nd ； S 奇a n1；n1；第 4 页,共 25 页S 偶a n（2）如项数为奇数,设共有2 n1项,就 S 奇S 偶ana中；S 奇nS 偶题型七 . 对与一个等差数列,S n,S 2nS n,S 3nS2n仍成等差数列；）例： 1. 等差数列 an的前 m项和为 30,前 2m项和为 100,就它的前3m项和为（A.130 B.170 C.210 D.260 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 一个等差数列前n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3n 项的和为；3已知等差数列an的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,就前 110 项和为4. 设S 为等差数列 nan的前 n 项和,S 414,S 10S 730,就S 9= 5（2022 全国 II ）设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,如S 31 3,就S 6S 6S 12A3 10B1 3 C1 8D1 9题型八 判定或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an1and 常数）（nN）an是等差数列中项法：2an1anan2（nNan是等差数列通项公式法：anknbk,b为常数an是等差数列前 n 项和公式法：SnAn2BnA ,B 为常数2an是等差数列）例： 1. 已知数列an满意anan1,就数列an为 （名师归纳总结 2.A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判定第 5 页,共 25 页已知数列an的通项为an2n5,就数列an为 （） D.无法判定A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列3. 已知一个数列an的前 n 项和sn2 n24,就数列an为（）无法判定A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.4. 已知一个数列an的前 n 项和sn2n2,就数列an为（） D.无法判定A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列5. 已知一个数列an满意an22an1an0,就数列an为（）无法判定A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.6. 数列an满意a =8,a42,且an22an1an0（nN）求数列an的通项公式；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7（14 天津理, 2）设 Sn 是数列 an的前 n 项和,且 Sn=n 2,就 an 是（）A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列题型九 . 数列最值（1）a 1 0,d 0 时,S 有最大值；a 1 0,d 0 时,S 有最小值；2（2）S 最值的求法：如已知 S ,S 的最值可求二次函数 S n an bn 的最值；可用二次函数最值的求法（n N ）；或者求出 a n 中的正、负分界项,即：a n 0 a n 0如已知 a ,就 S 最值时 n 的值（ n N ）可如下确定 或；a n 1 0 a n 1 0例： 1等差数列 a n 中,a 1 0,S 9 S 12,就前 项的和最大； 2设等差数列 a n 的前 n项和为 S ,已知 a 3 12,S 12 0,S 13 0求出公差 d 的范畴,指出 S 1,S 2,S 12 中哪一个值最大,并说明理由；3（12 上海）设 an（nN *）是等差数列,Sn是其前 n 项的和,且 S5S6, S6S7S8,就以下结论错误的名师归纳总结 是（）第 6 页,共 25 页A.d0 B.a70 C.S9 S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值4已知数列an的通项n98（nN）,就数列an的前 30 项中最大项和最小项分别是n995. 已知an是等差数列,其中a 131,公差d8；（ 1）数列an从哪一项开头小于0？（ 2）求数列an前n项和的最大值,并求出对应n 的值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 已知an是各项不为零的等差数列,其中a 10,公差d0,如S 100, 求数列an前 n 项和的最大值7. 在等差数列an中,a 125,S 17S ,求S 的最大值题型十 . 利用a nS 1S n1n1求通项S nn21. 数列 an的前 n 项和S nn21（1）试写出数列的前5 项；（2）数列 na是等差数列吗？（3）你能写出数Snn24n1,就列 an的通项公式吗？2已知数列an的前 n 项和3. 设数列an的前 n 项和为 Sn=2n 2,求数列an的通项公式；4. 已知数列an中,a13,前 n 和Sn1n1 an1 12名师归纳总结 求证：数列a n是等差数列第 7 页,共 25 页求数列an的通项公式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. （2022 安徽文）设数列a n的前 n 项和S n2 n ,就8a 的值为（）（A） 15 B 16 C 49 （D） 64 等比数列等比数列定义一般地, 假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示 q 0,即：a n 1：a n q q 0；一、递推关系与通项公式递推关系：an1anq4 ,q2,就an）a 4a 5（）通项公式：ana1qn1推广：anamqnm1 在等比数列a n中,a12 在等比数列a n中,a 712,q32, 就a 19_.3. （2022 重庆文）在等比数列 an 中, a28,a164,就公比 q 为（ A）2 （B）3 （C）4 （D）8 a 34.在等比数列an中,a 22,a554,就a = 5. 在各项都为正数的等比数列an中,首项a 13,前三项和为21,就A 33 B 72 C 84 D 189 二、等比中项：如三个数a ,b,c成等比数列,就称b 为a与c的等比中项,且为3bac,注：b2a nac是成等,a 成等比数列, 就的前 n 项比数列的必要而不充分条件. 例： 1. 23 和 23 的等比中项为 A 1 1C1D22. （2022 重庆卷文） 设a n是公差不为0 的等差数列,a 12且a a和S =（）An27nBn25nCn23 nDn2n443324第 8 页,共 25 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、等比数列的基本性质,1. （ 1）如mnpq,就amanapaq其中m ,n,p ,qNa4a 7 a 10（）（2）qnman,an2anmanmnNam（3）an为等比数列,就下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列. 例： 1在等比数列na中,1a 和a 10是方程2x25x10的两个根 , 就 5B2C1D12222a2Llog32. 在等比数列an,已知a 15,a9a 10100,就a 18= 3. 在等比数列an中,a 1a633,a3a432,anan1求an如Tnlga1lga2lgan,求T n4. 等比数列 an的各项为正数,且a a6a a 718,就log3a 1log3log2 A 12 B10 C8 D2+log 5n1,2, L ,且a5a2n522 nn3,就当n1时,5.（2022 广东卷理） 已知等比数列an满意an0,a 1log2a3Llog2a2n1（）12 C. 2 n D. n2 1A. n2n1 B. n2. 前 n 项和公式名师归纳总结 S nna 1qnq11q2,就其前 n 项和S nn 项第 9 页,共 25 页a 1 1a 1a nqq1q1q5,公比例： 1. 已知等比数列an的首相a12. 已知等比数列an的首相1a5,公比q1,当项数 n 趋近与无穷大时,其前2和Snan的前 n 项和为S ,已a26 ,6a 1a330,求a 和S n3. 设等比数列- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4（2022 年北京卷）设f n 2242710 2L23n10nN,就f n 等于（）A2 8 n1 B2 8 n 11 C2 8 n 31 D 28 n 417 7 7 75（2022 全国文, 21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,如 S3S62S9,求数列的公比q；6设等比数列an的公比为 q,前 n 项和为 Sn,如 Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,就q 的值为 . 3. 如数列a n是等比数列,S 是其前 n 项的和,kN*,那么S ,S2kS k,S 3kS 2k成等比数列 . S 6S 9S = ）例： 1. （2022 辽宁卷理）设等比数列 a 的前 n 项和为S ,如S =3 ,就78A. 2 B. 3 C. 3 D.3 2. 一个等比数列前n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为（A83 B108 C75 D63 3. 已知数列an是等比数列,且S m10,S2m30,就S 3m4. 等比数列的判定法（1）定义法：an 1q（常数）an为等比数列；无法判定第 10 页,共 25 页an（2）中项法：a n12a na n2 an0 an为等比数列；（3）通项公式法：ankqnk,q为常数）an为等比数列；（4）前 n 项和法：S nk 1qn（k,q为常数）an为等比数列；S nkkqn（k,q 为常数）an为等比数列；例： 1. 已知数列an的通项为an2 ,就数列 nan为 （）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.2. 已知数列an满意an12anan2an0 ,就数列an为 （）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判定3. 已知一个数列an的前 n 项和sn22n1,就数列an为（）无法判定A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 利用a nS 1S n1n1求通项S n n2例： 1. （2022 北京卷）数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an11S , n=1, 2,3, ,求a2,a3,a43的值及数列 an 的通项公式2. （2022 山东卷）已知数列a n的首项a 15,前 n 项和为S ,且S n1S nn5nN*,证明数列a n1是等比数列四、求数列通项公式方法（1） 公式法（定义法）依据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列nan满意：a3n7,a5a7n26, 求a ；n的通项公式；2. 已知数列a满意a 1,2aan111,求数列a 3.数列an满意a =8,a42,且an22an1an0（nN）,求数列an的通项公式；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 已知数列an满意a 12,a1112,求数列an的通项公式；na n5. 设数列an满意a 10且11n111n1,求an的通项公式aa6. 已知数列 a n满意an12a n2,a 11,求数列 an的通项公式；a n7. 等比数列an的各项均为正数,且2 a13 a21,a329 a 2a6,求数列an的通项公式8. 已知数列an满意a 12,an3 an1n1,求数列an的通项公式；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 已知数列an满意a 12,a24 且an2ana n12（nN）,求数列an的通项公式；10. 已知数列an满意a 12,且an15n12a nn 5 （nN）,求数列an的通项公式；11. 已知数列an满意a 12,且a n152n123an5 2n2（nN）,求数列an的通项公式；12. 数列已知数列a n满意a 11 , 2an4an11 n1.就数列a n的通项公式 = （2）累加法名师归纳总结 1、累加法适用于：an1a nf n 第 13 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如a n1anf n n2,就a 21a 1f1a 3a2f2La nLf n a nn两边分别相加得an1a 11k1f n 1an4n11,求数列 an的通项公式；例： 1.已知数列 a n满意a11,an222. 已知数列 an满意a nan2n1,a 11,求数列 an的通项公式；3. 已知数列 an满意a n1an23n1,a 13,求数列 a n的通项公式；4. 设数列an满意a12,an1an322n1,求数列an的通项公式名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）累乘法适用于：a n1f n annfa 31,a 2f2,L La n,an1f n an的通项公式；如an1f n ,就a2an