2022年高三数学二轮专题复习极限突破数形结合思想3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【专题一】数形结合思想【考情分析】在高考题中,数形结合的题目主要显现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性 题目上,把图象作为工具、载体,以此寻求解题思路或制定解题方案,真正表达数形结合的 简捷、敏捷特点的多是填空小题；从近三年新课标高考卷来看,涉及数形结合的题目略少,猜测20XX年可能有所加强；因为对数形结合等思想方法的考查,是对数学学问在更高层次的抽象和概括才能的考查,是对 同学思维品质和数学技能的考查,是新课标高考明确的一个命题方向；1数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来争论数量关系或者利用数量 关系来争论图形的性质,是一种重要的数学思想方法；它可以使抽象的问题详细化,复杂的问题简洁化； “ 数缺形时少直观,形少数时难入微”数学问题的本质；,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示2数形结合的思想方法在高考中占有特别重要的位置,考纲指出“ 数学科的命题,在考 查基础学问的基础上,留意对数学思想思想方法的考查,留意对数学才能的考查”,敏捷运用 数形结合的思想方法,可以有效提升思维品质和数学技能；3“ 对数学思想方法的考查是对数学学问在更高层次的抽象和概括的考查,考查时要与 数学学问相结合”, 用好数形结合的思想方法,需要在平常学习时留意懂得概念的几何意义 和图形的数量表示,为用好数形结合思想打下坚实的学问基础；4函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等,是“ 以形示数” ,而解析几何的方程、斜率、距离公式,向量的坐标表示就是“ 以数助形”,仍有导数更是数形形结合的产物,这些都为我们供应了“ 数形结合” 的学问平台；5在数学学习和解题过程中,要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径,制定解题方案,养成数形结合的习惯,解题先想图,以图助解题；用好数形结合的方法,能起到事半功倍的成效,“ 数形结合千般好,数形分别万事休”；纵观多年来的高考试题,奇妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的成效,数形结合的重点是争论“ 以形助数”；【学问交汇】数形结合的数学思想：包含“ 以形助数” 和“ 以数辅形” 两个方面,其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 ；应用数形结合的思想,应留意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：1 构建函数模型并结合其图象求参数的取值范畴；2 构建函数模型并结合其图象争论方程根的范畴；3 构建函数模型并结合其图象争论量与量之间的大小关系；4 构建函数模型并结合其几何意义争论函数的最值问题和证明不等式；5 构建立体几何模型争论代数问题；6 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型争论最值问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载7 构建方程模型,求根的个数；8 争论图形的外形、位置关系、性质等常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特点；借 助于解析几何方法 . 以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合；数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特殊是在解挑选题、填空题时发挥着奇妙功效,这就要求我们在平常学习中加强这方面的训练,以提高解题才能和速度详细操作时,应留意以下几点：1 精确画出函数图象,留意函数的定义域；2 用图象法争论方程 特殊是含参数的方程 的解的个数是一种行之有效的方法,值得留意的是第一要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 有时可能先作适当调整,以便于作图 ,然后作出两个函数的图象,由图求解这种思想方法表达在解题中,就是指在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索,促使抽象思维和形象思维的和 谐复合,通过对规范图形或示意图形的观看分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问 题得到简捷解决；1数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化；这一方法在解析几何中表达的；值得强调的是,形题数解 相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为学问载体来考察的）时,通过帮助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是由于三角公式的使用,可以大大缩 短代数推理）实现数形结合,常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对 应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复 数 、 三 角 函 数 等 ； 所 给 的 等 式 或 代 数 式 的 结 构 含 有 明 显 的 几 何 意 义 ；如等式x22y1 24；常见方法有：（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系,极坐标系）的代数关系；,引进坐标将几何图形变换为坐标间（2）三角法：将几何问题与三角形沟通,运用三角代数学问获得探求结合的途径；（3）向量法：将几何图形向量化,运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题；把抽象的几何推理化为代数运算；特殊是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循；（2）通过转化构造数题形解很多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数与形进行奇妙地转化 . 例如,将 a0 与距离互化,将 a 2 与面积互化,将 a 2+b 2+ab=a 2+b 22 a b cos 60 或 120 与余弦定理沟通,将 abc 0 且 b+ca 中的 a、b、c 与三角形的三边沟通,将有序实数对（或复数）和点沟通,将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等 . 这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）；另外,函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一,正是基于此,函数思想和数形结合思想常常借助于相伴名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载而充分地发挥作用；常见的转换途径为：（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题,并借助函数的图象和 性质解决相关的问题；（2）利用平面对量的数量关系及模AB 的性质来寻求代数式性质；（3）构造几何模型；通过代数式的结构分析,构造出符合代数式的几何图形,如将2 a 与正方形的面积互化,将abc与体积互化,将a 2c2与勾股定理沟通等等；（ 4 ） 利 用 解 析 几 何 中 的 曲 线 与 方 程 的 关 系 , 重 要 的 公 式 （ 如 两 点 间 的 距 离x 1x 22 y 1y 22 ,点到直线的距离d|Ax0ABy02C|,直线的斜率,直线的截距）、定义2B等来寻求代数式的图形背景及有关性质；2数形结合的原就（1）等价性原就在数形结合时, 代数性质和几何性质的转换必需是等价的,否就解题将会显现漏洞. 有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的 说明,但它同时也是抽象而严格证明的诱导；（2）双向性原就 在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探究,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在很多时候是很难行得通的；例如,在解析几何中,我们主要是运用代数的方法来争论几何问题,但是在很多时候,如能充分地挖掘利用图形的几何特点,将会使得复杂的问题简洁化；（3）简洁性原就 就是找到解题思路之后,至于用几何方法仍是用代数方法、或者兼用两种方法来表达解题过程,就取决于那种方法更为简洁 何方法,几何问题查找代数方法；【思想方法】. 而不是去刻意追求一种流性的模式代数问题运用几题型 1：利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题 例 1（1）（2022 山东文 1）设集合M =x|x+3x2<0 ,N =x|1 x3, 就 MN =（） 2,3 ）A1,2 B1,2 C 2,3 D（2）（2022 湖南文 1）设全集UMN1,2,3, 4,5,MC N2, 4,就 N（A1,2,3 B 1,3,5 1,4,5 2,3,4x2,应选 A；解析：（1）A；解析；由于Mx| 3x2,所以MNx|1点评：不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行,解题时留意验证区间端点是否符合题意；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2） B；解析：画出韦恩图,可知N学习必备欢迎下载1,3,5 ；点评：此题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系；例 2（ 1）（2022 陕西理 3）设函数f x （ xR）满意fxf x ,f x2f x ,2xR ,f x g x x4,x g x ,就就函数yf x 的图像是（）（ 2）（20XX 年天津卷）设函数g x x2g x x x g x .f x 的值域是（）A9 ,0 1, B 0, C 9, D9 ,0 2, 4 4 4解析：（1）B；依据题意,确定函数 y f x 的性质,再判定哪一个图像具有这些性质选由f x f x 得 y f x 是偶函数,所以函数 y f x 的图象关于 y 轴对称,可知 B, D符合；由 f x 2 f x 得 y f x 是周期为 2 的周期函数, 选项 D的图像的最小正周期是4,不符合,选项 B 的图像的最小正周期是 2,符合,应选 B2 2x 2 x 4, x x 2（ 2 ）D ； 依 题 意 知 f x 2 2,x 2 x x x 2x 22, x 1 或 x 2f x 2x 2 x , 1 x 2点评：数学中考查创新思维,要求必需要有良好的数学素养,考查新定义函数的懂得、解确定值不等式,中档题,借形言数；题型 2：解决方程、不等式问题名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3如方程 lgx23 xm学习必备x欢迎下载0,3内有唯独解,求实数m 的取值lg3在 x范畴；解析：（1）原方程可化为x221m0x3ay 1与y2的设 y 1x221 0x3 ,y2m在同一坐标系中画出它们的图象（如图）；由原方程在（ 0,3）内有唯独解,知图象只有一个公共点,可见m的取值范畴是1m0或 m1；1 ,求例 4已知 u1,v1且 logau2logav2logaau2logaav2log a uv 的最大值和最小值；解析：令 x log a u,y log a v,2 2就已知式可化为 x 1 y 1 4 x 0,y 0,再 设 t log a uv x y x 0,y 0, 由 图 3 可 见 , 就 当 线 段 y x t2 2x 0,y 0 与圆弧 x 1 y 1 4 x 0,y 0 相切时,截 距 t 取最大 值tmax 2 2 2（如图 3 中 CD位置）；当线段端点是圆弧端点时,t 取最小值tmin 1 3（如图中 AB位置）；因此 log auv 的最大值是 2 2 2 ,最小值是 1 3 ；点评：数形结合的思想方法,是争论数学问题的一个基本方法；深刻懂得这一观点,有利于提高我们发觉问题、分析问题和解决问题的才能；题型 3：解决三角函数、平面对量问题例 5（ 1）（20XX年江西理） E,F 是等腰直角点,就 tanECF（）ABC斜边 AB上的三等分名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1623学习必备3欢迎下载A. 27 B. 3 C. 3 D. 4（2）（20XX年陕西 15）如图,平面内有三个向量OA 、OB 、OC , 其中 OA与 OB的夹角为 120° ,OA 与 OC 的夹角为 30° , 且| OA | | OB | 1,| OC | 23,如 OC OA + OB （ , R）, 就 + 的值为；解析：（1）考查三角函数的运算、解析化应用意识；解 法 1 ： 约 定 AB=6,AC=BC=3 2 , 由 余 弦 定 理 CE=CF= 10 , 再 由 余 弦 定 理 得4 3cos ECF,解得 tan ECF5 4解法 2：坐标化； 商定 AB=6,AC=BC=3 2 ,F1,0,E-1,0,C（ 0,3 ）利用向量的夹角公式得：cos ECF 4,解得 tan ECF 3；5 4（2）6；解析：（ OC ）2（ OA + OB ）2= 2OA 2+ 2OB 2+2 OA OB =12；留意 OA 与 OC 的夹角为 30° ,OA与 OB 的夹角为 120° ,结合图形简洁得到 OB 与 OC 的夹角为 90° ,得 =0；这样就得到答案；点评：综合近几年的高考命题,平面对量单纯只靠运算解题是不够的,需要结合几何特征；例 6（2022 全国卷 1 文数）已知圆 O 的半径为 1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA PB 的最小值为（）A4 2 B 3 2 C 4 2 2 D 3 2 2答案： D；名师归纳总结 【解析1】如下列图：设PA=PB=x x0, APO=2, 就y0,由2 x 是实数,所以第 6 页,共 13 页APB=2,PO=12 x,sin11x2,11=PAPB|PA| |PB| cos2=x212sin2=x2xx2x42x2,令 PAPBy ,就yx42x2,即x41y x2x1x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1y24 1y0,y2学习必备1欢迎下载y322或y32 2. 故6y0,解得PA PB min32 2. 此时x21. 2【解析 2】设APB2,01sin,PA PB2PAPBcos1/ tan2cos1,cos2212sin22212sin2换元：xsin22,0xsin22sin22PAPB1x12x2x132 23y 1,B x 1,y 1,P x 0,0,3xx【解析 3】建系：园的方程为x2y21,设A x 1,PAPBx 1x 0,y 1x 1x 0,y 12 x 12x x 02 x 02 y 1x x 1 012 2AOPAx y 1 1x 1x 0,y 102 x 1x x 1 02 y 10PA PB2 x 12x x 02 x 02 y 12 x 122 x 012 x 122 x 12 x 03点评：本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法判别式法 , 同时也考查了考生综合运用数学学问解题的才能及运算才能 . 题型 4：解析几何问题0 x 2例 7（ 1）（2022 广东理 5）已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D由不等式组 y 2 给x 2 y定. 如 Mx,y 为 D上动点,点 A的坐标为 2 , 1 就 z OM OA 的最大值为（）A. 4 2 B. 3 2 C.4 D.3 （ 2 ）（ 2022 江 苏 14 ） 设 集 合 A x , y | m x 2 2y 2m 2 , x , y R , 2B x , y | 2 m x y 2 m 1 , x , y R , 如 A B , 就 实 数 m 的 取 值 范 围 是_ 名师归纳总结 解析： （1 ）如图,区域D为四边形OABC 及其内部区域, 第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - zx ,y 21,2xy ,即学习必备y欢迎下载zz 为直线就2 x的纵截距,明显当直线y2 xz 经过点B 2, 2 时 ,z 取到最大值,B从而zmax222,4应选C .（2）（数形结合）当m0时,集合A 是以（ 2,0）为圆心,以m 为半径的圆,集合是在两条平行线之间,22 m1m12m20,由于AB,此时无解；22m 和 m 为半径的圆环,集合 2B 是在两条平行当m0时,集合 A是以（ 2,0）为圆心,以线之间,必有2 2m1m21m21. 又由于m2 m,1m21；22 2mm2222点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式,最终借助图形的性质 解决问题；对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题,往往要转化为点到线 的距离问题来解决；例 8（ 1）2022 上海 22 已知平面上的线段l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为点P到线段l的距离,记作d P l , ；d P l2, 其 中 求点P1,1 到线段l:xy303x5的距离d P l , ； 设 l 是长为 2 的线段,求点集DP d P l , 1所表示图形的面积；写 出 到 两 条 线 段l l2距 离 相 等 的 点 的 集 合P d P l , l1AB l2CD ,2 分, 6A B C D 是以下三组点中的一组；对于以下三组点只需选做一种,满分分别是分, 8 分；如挑选了多于一种的情形,就依据序号较小的解答计分；名师归纳总结 A 1,3,B1,0,C 1,3,D 1,0； A1,3,B1,0,C 1,3,D 1, 2； 第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A0,1,B0,0,C0,0,D2,0；学习必备欢迎下载解析：设Q x x3是线段l:xy303x5上一点,就x,|PQ|x2 1x422x5293x5,当x3时22dP,l mi|P；nQ|51 设线段 l 的端点分别为A B ,以直线 AB 为 x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系,就A 1,0,B1,0,点集 D 由如下曲线围成l1:y1|x| 1,l2:y1|x| 1,C 1:x2 1y21x1,C 2: x2 1y21其面积为S4； 挑选A1,3,B1,0,C 1,3,D 1,0,x y , |x0 挑选A1,3,B 1,0,C 1,3,D 1, 2；x y , |x0,y0x y |y24 , 2y0x y , |xy10,x1 挑选A0,1,B0,0,C0,0,D 2,0；x y , |x0,y0x y |yx,0x1x y , |x22y1,1x2x y , | 4x2y30,x2yC3yAC3Ay2.5BDOBx-1-2O1xAB=C12Dx-1D1；（2）（2022 福建理 17）（福建理17）已知直线l ：y=x+m,mR；（I ）如以点 M（2,0 ）为圆心的圆与直线l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（II ）如直线 l 关于 x 轴对称的直线为l ,问直线 l 与抛物线 C：x2=4y 是否相切？说明理由；解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础学问,考查运算求解才能,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想；满分 13 分；解法一：（I ）依题意,点 P 的坐标为（ 0,m）0 m1 1由于MP l ,所以 2 0,解得 m=2,即点 P 的坐标为（ 0,2）从而圆的半径2 2r | MP | 2 0 0 2 2 2,2 2故所求圆的方程为 x 2 y 8.（II ）由于直线l的方程为 y x m ,所以直线 'l 的方程为 y x m .y2 ' x m ,得 x 24 x 4 m 0由 x 4 y24 4 4 m 161 m （1）当 m 1, 即 0 时,直线 'l 与抛物线 C相切（2）当 m 1,那 0时,直线 'l 与抛物线 C不相切；综上,当 m=1时,直线 'l 与抛物线 C相切；当 m 1 时,直线 'l 与抛物线 C不相切；解法二：名师归纳总结 （I ）设所求圆的半径为lr ,就圆的方程可设为x22yr2.第 10 页,共 13 页依题意,所求圆与直线:xym0相切于点 P（0,m）,42 mr2,就|20m|r,2m2,解得r2 2.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以所求圆的方程为x22y28.学习必备欢迎下载（II ）同解法一；题型 5：导数问题yyfxx例 9（ 06 天津卷）函数fx的定义域为开区间a,b ,导b函数fx在a,b内的图象如下列图,就函数fx在开区间aOa,b 内有微小值点（）A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个解析：函数fx的定义域为开区间a,b,导函数fx在a,b 内的图象如下列图,函数fx在开区间a,b内有微小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1 个,选 A；点评：通过函数图像分解导函数的正负,对应好原函数的单调递增、单调递减；例 10（06 浙江卷）已知函数 fx=x 3 + x 3 ,数列 x n x n 0 的第一项 x n 1,以后各项按如下方式取定：曲线 x=fx 在 x n 1 , f x n 1 处的切线与经过（ 0,0）和（ x n ,f x求证：当 n* N 时,n ）两点的直线平行（如图）名师归纳总结 k n x2x n3x212xn1;（）1n1xn1n2；,f x n1处的切线斜率第 11 页,共 13 页nn22证明： （ I ）由于f' 3 x22 , x 所以曲线yf x 在x n1132 x n12 x n1 .xn3xn122xn1. 由于过 0,0 和 xn,f xn两点的直线斜率是x2xn,所以2 x nn（II ）由于函数h x x2x 当x0时单调递增,n1 .而x2x n3xn122x n14xn122xn12x n122xn1,n所以x n2x n1,即xn11 , 2因此x nx n1xn1x 21 2x nxnxn2x 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又由于2 x nx n22 x n1x n1,令学习必备欢迎下载yn11 . 2y n2 x nx n,就yn由于y 12 x 1x 12,所以,yn1 2n1y 11n22.2因此x nx2 nxn1 2n2故1 2n1xn1n.2点评：切线方程的斜率与函数的导数对应,建立了几何图形与函数值的对应；题型 6：平面几何问题及其例 11已知ABC三顶点是A 4,1,B7,5,C 4,7,求A的平分线AD的长；解析：第一步,简洁数形结合,在直角坐标系下,描出已知点A B C ,画出ABC 的边A 的平分线 AD ；（如图）其次步,观看图形,挖掘图形的特性（一般性或特殊性）否定）观看、挖掘出来的特性；特性有：（1） ABAC ；（2）BADCAD45；,通过数量关系证明（确定或（3）CD2DB ,（ 4）ABC2ACB60等等；10证明：A4,1,B7,5,C 4,7AB3,4,AC 8,6,AB5,ACABAC3 8460102 角平分线定理 （ 1） ABAC , AD 是A 的平分线；（ 2）BADCAD45,CDACDBAB5；（ 3）CD 2 DB , tan ABC tan 60 3 2,（ 4）ABC 2 ACB 60 不正确,第三步,充分利用图形的属性,制造性地数形结合,完成解题；过点 D 作 DE AB ,交AB 于点 E ,就有 BDE BCA 或 DE 1 AC 10 等等；又在 Rt ADE 中,（可以口3 3答出）AD 2 DE 10 2；3点评：数形结合的基础是作图要基本精确,切忌顺手作图！数形结合的关键是挖掘图形的几何属性,切忌名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载只重数量关系忽视位置关系！假如把此题的图形顺手作成如下一般平面图形,就失去了数形结合的基础,很难挖掘出图形的几何属性,是很失败的；例 12已知 A= x,y | x| 1,| y| 1, B= x,y | x a 2+ y a 21, a R, 如 AB,就 a 的取值范畴是；A所表示的点为正方形 PQRS的内部及其边界,集合 B 所表示的点为以 解析：如图,集合 C a , a 为圆心,以 1 为半径的圆的内部及其边界而圆心 C a , a 在直线 y=x 上,故要使 AB,就 1 2 a 1 2 为所求；2 2点评：应用几何图象解决问题时,特殊要留意特殊点（或位置）的情形,此题就是依据 这样的思路直接求出实数 a的取值范畴；【思维总结】从目前高考“ 留意通法,淡化绝技” 的命题原就来看,对于数形结合的数学思想方法,我们在复习时,应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分 利用之上即可；数形