2022年贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座第三讲充满活力的韦达定理.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本第三讲 布满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,这是由于该定理是由 16 世纪法国最杰出的 数学家韦达发觉的韦达定理简洁的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要表达在：运用韦达定理,求方程中参数的值；运用韦达定理,求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式,争论根的符号特点；利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程帮助解题等韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定懂得题的基本思路韦达定理,布满活力,它与代数、几何中很多学问可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类 问题常用到对称分析、构造等数学思想方法【例题求解】【例 1】 已知、是方程x2x10的两个实数根,就代数式222的值为 例m0思路点拨所求代数式为、的非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为【例 2】假如 a 、 b 都是质数,且a213 am0,b213 bm0,那么ba的值为 abx213xA123B125 或 2 22C125D123 或 2 222222思路点拨可将两个等式相减, 得到 a 、b 的关系,由于两个等式结构相同,可视 a 、b 为方程的两实根,这样就为根与系数关系的应用制造了条件注：应用韦达定理的代数式的值,一般是关于x 、1x 的对称式,这类问题可通过变形用 2x + 1x 、2x 1x 表 2示求解,而非对称式的求值常用到以下技巧：1 恰当组合；2 依据根的定义降次；3 构造对称式名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本【例 3】 已知关于x 的方程：x2m2 xm20x12x22有最小值 .4 1求证：无论m取什么实数值,这个方程总有两个相异实根 2如这个方程的两个实根x 、x 满意x2x 12,求 m的值及相应的x 、x 思路点拨对于 2 ,先判定1x 、x 的符号特点,并从分类争论入手【例 4】 设x 、x 是方程2x24mx2 m23 m20的两个实数根,当m为何值时,并求出这个最小值思路点拨利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示,再从配方法入手,应留意本例是在肯定约束条件下 0 进行的注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即应用韦达定懂得题时,须满意判别式 0 这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要留意转化前后问题的等价性名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本【例 5】 已知：四边形ABCD中, AB CD,且 AB、CD的长是关于x 的方程x22mxm1270的两个24根1 当 m 2 和 m>2 时,四边形ABCD分别是哪种四边形.并说明理由2 如 M、N分别是 AD、BC的中点,线段MN分别交 AC、BD于点 P,Q,PQ1,且 AB<CD,求 AB、CD的长思路点拨对于 2 ,易建立含AC、BD及 m的关系式,要求出m值,仍需运用与中点相关学问找寻CD、AB的另一隐含关系式注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时,往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“ 形” 向名师归纳总结 “ 数” 方程 转化,既要留意通过根的判别式的检验,又要考虑几何量的非负性第 3 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本学历训练 1 1 已知x 和x 为一元二次方程2x22 x3 m10的两个实根,并x 和x 满意不等式x1x 1x241,x2就实数 m 取值范畴是70有两个负数根,那么实数m 的取值范畴 2已知关于 x 的一元二次方程8 x2m1xm是222的值为2已知、是方程的两个实数根,就代数式33CD是 Rt ABC斜边上的高线,AD、BD是方程x26x40的两根,就ABC的面积是4设1x 、x 是关于 x 的方程x2pxq0的两根,x +1、x +1 是关于 x 的方程x2qxp0的两根,就 p 、 q 的值分别等于 A1,-3 B 1,3 C-1 ,-3 D-1 , 3 x2x7xc705在 Rt ABC中,C90° ,a、b、c 分别是 A、B、 C的对边, a、b 是关于 x 的方程的两根,那么AB边上的中线长是 A3B5C5 D2 221 21,判定6方程x2px19970恰有两个正整数根1x、x ,就x 1p21的值是 1 xA1 B- lC11 D 227如关于x 的一元二次方程的两个实数根满意关系式：x 1x 11x2x 21x 1ab24是否正确 . 8已知关于x 的方程x2 2k3 xk210名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本1 当 k 是为何值时,此方程有实数根； 2 如此方程的两个实数根0x 、1x 满意：2x2x 1p3,求 k 的值9已知方程x2pxq的两根均为正整数,且q28,那么这个方程两根为10已知、是方程x2x10的两个根,就43的值为m 的取值范畴是11 ABC的一边长为5,另两边长恰为方程2x212xm0的两根,就m的取值范畴是12两个质数a、 b 恰好是整系数方程的两个根,就ba的值是 abA9413 B9413C9413D9413194999713设方程有一个正根x ,一个负根x ,就以x1、x2为根的一元二次方程为 Ax23 xm20Bx23xm20Cx214mx20Dx214mx2014假如方程x1 x22xm0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数 A0m1 Bm3 4C3m1D 4 3 m1 x 的方程的两个根415如图,在矩形ABCD中,对角线AC的长为 10,且 AB、BC AB>BC 的长是关于1 求 rn 的值；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本（2）如 E 是 AB上的一点, CFDE于 F,求 BE为何值时, CEF的面积是3CED的面积的1 ,请说明理由316设 m是不小于1 的实数,使得关于 x 的方程工x22m2xm23m0有两个不相等的实数根x 、1x 26,求 m的值1 如x 12x222 求mx 12mx22的最大值1x11x217如图,已知在ABC中, ACB=90° ,过 C作 CDAB于 D,且 ADm,BD=n,AC 2：BC 2 2：1；又关于名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本x 的方程1x22 n1xm2120两实数根的差的平方小于和192,求整数 m、n 的值418设 a 、 b 、 c 为三个不同的实数,使得方程和x2ax10x2bxc0有一个相同的实数根,并且使方程x2xa0和x2cxb0也有一个相同的实数根,试求abc的值参考答案名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页
