2022年高中立体几何证明垂直的专题训练.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 高中立体几何证明垂直的专题训练深圳龙岗区东升学校罗虎胜立体几何中证明线面 垂直或面面 垂直都可转化为线线垂直 ,而证明线线 垂直一般有以下的一些方法：（1） 通过“ 平移” ；（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质；（3） 利用勾股定理；（4） 利用三角形全等或三角行相像；5 利用直径所对的圆周角是直角,等等；1 通过“ 平移” ,依据如 a / b , 且 b 平面 , 就 a 平面1在四棱锥 P-ABCD中, PBC为正三角形, AB平面 PBC,AB CD,AB= 1 DC,2E 为PD 中点 . 求证： AE平面 PDC. D 分析：取 PC 的中点 F,易证 AE/BF,易证 A BF平面 PDC E B C P P2如图,四棱锥 PABCD 的底面是正方形, PA底面ABCD , PDA=45° ,点 E 为棱 AB 的中点求证：平面 PCE平面 PCD；F分析：取 PC 的中点 G,易证 EG/AF ,又易证 A F平面 PDC于是 EG平面 PCD,就平面 PCE平面 PCDBEACD（第 2 题图）1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、如图所示,在四棱锥PABCD中,AB 平面 PAD , AB / / CD , PD AD , E 是 PB 的中点,F 是 CD 上的点,且DF 1 AB , PH 为 PAD 中 AD 边上的高；2（1）证明： PH 平面 ABCD；（2）如 PH 1,AD 2,FC 1,求三棱锥 E BCF 的体积；（3）证明： EF 平面 PAB . 分析：要证 EF 平面 PAB,只要把 FE 平移到 DG,也即是取 AP 的中点 G,易证 EF/GD, 易证 DG平面 PAB4. 如 图 所 示 , 四 棱 锥PABCD底 面 是 直 角 梯 形BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面 ABCD , E 为 PC 的中点 , PAAD；证明 : BE平面PDC; 分析：取 PD 的中点 F,易证 AF/BE, 易证 A F平面 PDC（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质5、在三棱锥 PABC 中,ACBC2,ACB90o,APA BPAB ,PCAC B P （）求证： PCAB ；（）求二面角 BAPC 的大小；C 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、如图,在三棱锥PABC 中, PAB 是等边三角形, PAC=PBC=90 o证明： ABPC由于PAB是等边三角形,PACPBC90, 所以 Rt PBCRt PAC , 可得 ACBC ；如图,取 AB 中点 D ,连结 PD , CD , 就 PD AB , CD AB , 所以 AB 平面 PDC , 所以 AB PC ；（3）利用勾股定理7、如图,四棱锥PABCD 的底面是边长为1 的正方形,PACD PA1,PD_D2.求证 : PA平面 ABCD ；_P_A8、如图 1,在直角梯形ABCD 中,AB /CD,AB_B_CAD,且ABAD1 CD 21现以 AD 为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面 2ADEF 与平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图（ 1）求证： AM 平面 BEC ；（ 2）求证： BC平面 BDE ；E名师归纳总结 EMDBCFMBC3 FAAD第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9、如图,四周体 ABCD 中, O、E 分别是 BD 、BC 的中点,CACBCDBD2,ABAD2.AC（1）求证： AO平面 BCD ；（2）求异面直线AB 与 CD 所成角的大小；D（1）证明：连结OC OQBODO ABAD,AOBD.QBODO BCCD,COBD.BE在AOC 中,由已知可得AO1, CO3.OC .而AC2,AO2CO2AC2,AOCo 90 ,即AOQBDIOCO,AO平面 BCDCD ,侧面 SAB为等边三角形,10、如图,四棱锥SABCD 中,ABBC,BCABBC2,CDSD1（）证明：SD平面SAB; （）求 AB 与平面SBC所成角的大小解法一：（ I）取 AB 中点 E,连结 DE,就四边形BCDE 为3.矩形, DE=CB=2 ,连结 SE,就SEAB SE又 SD=1,故ED2SE2SD2,所以DSE为直角；由ABDE ABSE DEISEE,得AB平面 SDE,所以ABSD；SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直；所以SD平面 SAB ；4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）利用三角形全等或三角行相像 11正方体 ABCDA1B1C1D 1中 O 为正方形 ABCD 的中心, M 为 BB 1的中点,求证： D1O平面 MAC.分析：法一：取 AB 的中点 E,连 A 1E,OE,易证 AB M A1AE, 于是 AMA 1E,又 OE平面 ABB1A1OEAM, AM平面 OEA 1D1AMD1O 法二：连 OM, 易证 D 1DOOBM,于是 D1OOM12 如图,正三棱柱ABC A 1B1C1 的全部棱长都为2,D 为 CC 1 中点 . 求证： AB 1平面 A1BD；分析：取 BC 的中点 E,连 AE,B 1E,易证 DC B EBB 1 ,从而 BDEB113、.如图,已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D 1 中,过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 求证： A1C平面 BDE；CC1 于点 E,交 B1C 于点 F,（5）利用直径所对的圆周角是直角 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页z精选学习资料 - - - - - - - - - 14、如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆周上一点, PA平面 ABC. （1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）如 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中全部互相垂直的各对平面 .PA. COBD15、如图,在圆锥PO 中,已知 PO =2 , O 的直径AB2,C 是狐 AB 的中点,D 为平面 ABCD 以 BD 的PAC 的中点证明：平面POD平面PAC; 16、如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M 求证：平面ABM 平面 PCD ；证：依题设,在以为直径的球面上,就. M由于平面,就,又,所以平面,就,因此有平面AD,所以平面平面. OBC6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
