2022年高三数列解题方法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载数列解题方法 一、基础学问：数列的定义 项数列数列的有关概念项数数列的通项通项数列与函数的关系等差数列等差数列的定义等比数列等比数列的定义等差数列的通项等比数列的通项等差数列的性质等比数列的性质等差数列的前n 项和等比数列的前n项和数列：1数列、项的概念 ：按肯定次序排列的一列数,叫做数列 ,其中的每一个数叫做数列的项 2 数列的项的性质： 有序性； 确定性； 可重复性3 数列的表示 ：通常用字母加右下角标表示数列的项,其中右下角标表示项的位置序号,因此数列的一般形式可以写成a1,a2,a3, ,an,（ ）,简记作 an 其中 an是该数列的第n 项,列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法 （通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法4 数列的一般性质：单调性；周期性5 数列的分类 ：按项的数量分：有穷数列、 无穷数列；、常数列、摇摆数列、其他；按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；按项的变化范畴分：有界数列、无界数列6 数列的通项公式：假如数列 an 的第 n 项 an与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式 a n =f （n）（nN+或其有限子集 1 ,2,3, ,n ） 来表示,那么这个公式叫做名师归纳总结 这个数列的通项公式数列的项是指数列中一个确定的数,是函数值, 而序号是指数第 1 页,共 10 页列中项的位置, 是自变量的值 由通项公式可知数列的图象是散点图,点的横坐标是项的序号值,纵坐标是各项的值不是全部的数列都有通项公式,数列的通项公式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载在形式上未必唯独7 数列的递推公式：假如已知数列 an 的第一项（或前几项） ,且任一项 an与它的前一项an-1（或前几项 an-1,an-2, ）间关系可以用一个公式 an=f（ a n 1）（n=2,3, ） （或an=f（ a n 1 ,a n 2）n=3,4,5, , ）来表示,那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 n8 数列的求和公式：设 Sn表示数列 an 和前 n 项和,即Sn=i1a =a1+a2+ + an,假如 Sn与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式Sn= f（n）（ n=1, 2,3, ） 来表示,那么这个公式叫做这个数列的求和公式a nS n 1129 通项公式与求和公式的关系：通项公式 an 与求和公式Sn 的关系可表示为：S nS n1n等差数列与等比数列：文等差数列等比数列一般地,假如一个数列从其次项起,每一项与一般地,假如一个数列从其次项起,每一项与字它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列它的前一项的比是同一个常数,那么这个数列定就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差；就叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比；义符a n1a ndann1q q0号a定义名师归纳总结 分a n递增数列：d0nm d递增数列：a 10,q1 或a 10 0,q1第 2 页,共 10 页递减数列：a 10,q1 或a 10 0q1递减数列：d0类摇摆数列：q0常数数列：d0通a 1n1 dpnqam常数数列：q1q0）a na qn1a qnm（项其中pd qa 1d前S nn a 12anna1n n21 dpn2qnS na 11qn q1b2acnd1q项其中pd,qa 1na 1q1和22ac中a b c 成等比的必要不充分条件：a b c成等差的充要条件:2b项- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 等和性： 等差数列a n优秀学习资料欢迎下载a n等积性： 等比数列主如 mnpq 就amanapaq如 mnpq 就a ma napa q2推论：如mn2p 就aman2ap推论：如mn2p 就a ma nap要性an ka n k2a na n kan kan2质a 1ana 2an1a3an2a 1a na 2a n1a 3a n2即：首尾颠倒相加,就和相等即：首尾颠倒相乘,就积相等1、等差数列中连续m 项的和,组成的新数列是等差数列；即：其s m,s 2ms m,s 3ms 2s 2m,等差,公差为2 m d 就有s 3m3ms m2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是1、等比数列中连续项的和,组成的新数列是它一个等差数列；等比数列； 即：s m,s 2ms m,s 3ms 2m,等比,如：a a4,a 7,a 10,（下标成等差数列）公比为qm；3 、a n,b n等 差 , 就a 2n,a 2n1,2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列ka nb ,pa nqb n也等差；是一个等比数列；如：a a4,a7,a 10,（下标成等差数列）性4、等差数列a n的通项公式是n 的一次函数,3、a n,b n等比,就a 2n,a 2n1,ka n即：a ndnc d0 也等比；其中k0等差数列a n的前 n 项和公式是一个没有常4、等比数列的通项公式类似于n 的指数函数,即：a nn cq ,其中c1a数项的 n 的二次函数,q即：S nAn2Bn d0 等比数列的前n 项和公式是一个平移加振5、项数为奇数2 n1的等差数列有：幅的 n 的指数函数,即：nscqnc q1s 奇nn1s 奇s 偶a na 中5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数s 偶列是等比数列；s 2n12n1 an项数为偶数 2n 的等差数列有：名师归纳总结 质s 奇a n1, s 偶s 奇nd第 3 页,共 10 页s 偶a n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - s 2nn anan1优秀学习资料欢迎下载证 明 方 法设 元 技 巧联 系6、anm amn 就a m n0s ns 就s m n0nm s nm s mn就s m nmn 证明一个数列为等差数列的方法：证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：a n1a nd 常数1、定义法：an1q 常数an2、中项法：a n1a n12a nn22、中项法：a n1an1（a2 n）n2,a n0三数等差：ad a ad三数等比：a a aq q或a aq aq2四数等差：a3 , d ad ad a3 d四数等比：a aq aq2,aq31、如数列a n是等差数列, 就数列Can是等比数列, 公比为Cd,其中 C 是常数, d 是a n的公差；2、如数列a n是等比数列,且an0,就数列logaa n是等差数列,公差为log a q ,其中 a是常数且a0,a1, q 是a n的公比；数列的项a 与前 n 项和S 的关系：a ns 1s n1 n1s n n2数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和；2、错项相减法：适用于差比数列（假如a n等差,nb等比,那么a b n叫做差比数列）即把每一项都乘以nb的公比 q ,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和；3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和；名师归纳总结 适用于数列ana n11和an1a n1（其中1a n等差）1a n第 4 页,共 10 页a n可裂项为：1n11 1d a n1a n11 da n1,aa na n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载等差数列前 n 项和的最值问题：1、如等差数列a n的首项a 10,公差d0,就前 n 项和S 有最大值；（）如已知通项；a ,就S 最大a n10a n0（）如已知S npn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时S 最大；2p2、如等差数列a n的首项a 10,公差d0,就前 n 项和S 有最小值（）如已知通项a ,就S 最小a n10；a n0（）如已知S npn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时S 最小；2p数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式；已知S （即a 1a2a nf n ）求a ,用作差法 ：a nS 1S n,n S n1 1 ,n2；已知a a2a nf n 求a ,用作商法：anf1, nf n 12；,nf n1已知条件中既有S 仍有a ,有时先求S ,再求a ；有时也可直接求a ；如a n1a nf n 求a 用累加法 ：a na nan1an1an2a2a 1a n2；已知ann1f n 求a ,用累乘法 ：a na n1an1a2a 1n2；aanan2a 1已知递推关系求a ,用构造法 （构造等差、等比数列） ；特殊地 ,（1）形如ankan1b 、ankan1n b （k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列 后,再求a ；形如anka n1kn的递推数列都可以除以n k 得到一个等差数列后,再求a ；（2）形如a nan1b的递推数列都可以用倒数法求通项；ka n1（3）形如a n1a nk的递推数列都可以用对数法求通项；（7）（理科） 数学归纳法 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （8）当遇到an1an1d或优秀学习资料欢迎下载,结果可能是分段an1q时, 分奇数项偶数项争论an1形式 ；数列求和的常用方法：（1）公式法 ：等差数列求和公式；等比数列求和公式；（2）分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时,常将“ 和式” 中“ 同类项” 先合并 在一起,再运用公式法求和；（3）倒序相加法 ：如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. （4）错位相减法 ：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. （5）裂项相消法 ：假如数列的通项可“ 分裂成两项差” 的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：n1k；1k1111；1 n n11 nn11； 1 n nk1 1 k n1k2111k11k11,1k111k22kk1 kk21 kkkn n1n2111n1n2；nn111.；12n n11.n.n2n1nn2n11n2n12nn1n二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、由S 求ana1S 1,n2时,anSnSn1）（n1 时,3、求差（商）法名师归纳总结 如：an满意1a 11a2 a11an22n1551第 6 页,共 10 页2222n解： n1 时,1a 1215,142n2时,1a11a2 211an1n2222n12得：1an22na n2n1an141n1 2nn2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载练习数列an满意S nnSn15an1,a14,求an3（留意到an1S1Sn代入得：Sn14Sn又S 14,Sn是等比数列,S n4nn2时,anSnS n1 3·4n14、叠乘法例如：数列an中,a13,an1nn1,求ann1an解：a 2a 1·a3 an11 2·2 nn1,aa2an3a1n又a13,an3n5、等差型递推公式由anan1f n ,a1a0,求an,用迭加法n2时,a2a 1f a3a2f 两边相加,得：ana anan1f n a1f f f n na0f f f n 练习数列an,a111,an3n1an1n2,求an（a n13n）26、等比型递推公式名师归纳总结 ancan 1d c、 为常数,c0,c1,d0第 7 页,共 10 页可转化为等比数列,设anxc an 1xancan 1c1x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令c1 xd,xcd优秀学习资料欢迎下载1ancd1c是首项为a1dcd1, 为公比的等比数列canda1cd1·cn11ana1d1cn1c1练习数列an满意a 19,3 an1an4,求an（an84n11）37、倒数法例如：a 11,an12an2,求an1an由 已 知 得 ：1 a n1an2112an2ana1111nan211,公差为1为等差数列,ana 1211n1·11n1an22ann21数列前 n 项和的常用方法：1、公式法：等差、等比前 n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之显现成对互为相反数的项；名师归纳总结 如：an是公差为d 的等差数列,求kn111d0第 8 页,共 10 页a ak解： 由a k11111·ak1akakddakak1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - kn111kn111优秀学习资料欢迎下载1a akdakak1111111 1a11da1a2a2a3ann111da 1an练习求和：11113 11231 n212（an ,Sn2n1）3、错位相减法：如an为等差数列,bn为等比数列,求数列11a bn（差比数列）前n项和,可由SnqSn求Sn,其中q为bn的公比；如：Sn12x3 x24x3 nxn1x·Snx2x23 x34x4 nxn1nxn212：1x S n1xx2 xn1nxnx1 时,S n1xn2nxn1x1xx1 时,Sn123 nn n124、倒序相加法：把数列的各项次序倒写,再与原先次序的数列相加；Snna1a 1a21 an11an相加a1an Snanan a2a12 Sana2an 练习名师归纳总结 已知f x 1x22,就f f f1f f1f f1第 9 页,共 10 页x234- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载12名师归纳总结 （由 f x ff1 xfx21x121x221f1f11第 10 页,共 10 页1x2xx2x原式 f1f f1 23411113 1 2）2- - - - - - -