2022年高三数学二轮复习教案专题四等差数列、等比数列 .pdf

.第一讲等差数列、等比数列研热点（聚焦突破）类型一 等差、等比数列的基本运算例 1(20XX 高考山东卷 )在等差数列 an 中，a3a4a584，a973. (1)求数列 an的通项公式；(2)对任意 mN*，将数列 an中落入区间 (9m，92m)内的项的个数记为bm，求数列 bm的前 m项和 Sm.解析(1)因为an 是一个等差数列，所以 a3a4a53a484，所以 a428. 设数列 an 的公差为 d，那么 5da9a4732845，故 d9. 由 a4a13d 得 28a139，即 a11，所以 ana1(n1)d19(n1) 9n8(nN*)(2)对 mN*，若 9man92m，那么 9m89n92m8，因此 9m11n 92m1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - .故得 bm92m19m1. 于是 Smb1b2b3 bm(993 92m1)(19 9m1) 9 （181m）181（19m）1992m110 9m180. 跟踪训练1(20XX 皖北四市联考 )已知数列 an为等比数列，且a14，公比为 q，前 n 项和为 Sn，若数列 Sn2 也是等比数列，那么q() A2B2 C3 D3解析： 因为数列 Sn2是等比数列，所以(S12)(S32)(S22)2， 即 6(64q4q2)(64q)2，即 q(q3)0，q0，q3.答案： C 2(20XX 高考广东卷 )已知递增的等差数列 an 满足 a11，a3a4，那么 an_解析： 利用等差数列的通项公式求解设等差数列的公差为d，那么由 a3a4，得12d(1d)24， d24， d2.由于该数列为递增数列， d2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - . an1(n1)22n1.答案： 2n1 类型二等差、等比数列的判定与证明数列 an 是等差或等比数列的证明方法(1)证明数列 an是等差数列的两种基本方法：利用定义证明 an1an(nN*)为常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2) (2)证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义证明an1an(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明a2nan1an1(n2) 例 2(20XX 高考陕西卷 )设 an是公比不为 1 的等比数列，其前n 项和为 Sn，且 a5，a3，a4成等差数列(1)求数列 an的公比；(2)证明：对任意 kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列解析(1)设数列 an 的公比为 q(q 0，q1)，由 a5，a3，a4成等差数列，得 2a3a5a4，即 2a1q2a1q4a1q3. 由 a1 0，q 0 得 q2q20，解得 q12，q21(舍去)，所以 q2. (2)证明： 证法一对任意 kN，Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk) ak1ak2ak1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - .2ak1ak1 (2) 0，所以对任意 kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列证法二对任意 kN，2Sk2a1（1qk）1q，Sk2Sk1a1（1qk2）1qa1（1qk1）1qa1（2qk2qk1）1q，2Sk(Sk2Sk1)2a1（1qk）1qa1（2qk2qk1）1qa11q2(1qk)(2qk2qk1) a1qk1q(q2q2)0，因此，对任意 kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列跟踪训练已知数列 an 和 bn满足 a1m，an1ann，bnan2n349. (1)当 m1 时，求证：对于任意的实数 ，数列 an一定不是等差数列；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - .(2)当 12时，试判断数列 bn是否为等比数列解析： (1)证明： 当 m1 时，a11，a21，a3(1)222. 假设数列 an是等差数列，由 a1a32a2，得232(1)，即210，30，方程无实根故对于任意的实数 ，数列 an 一定不是等差数列(2)当 12时，an112ann，bnan2n349. bn1an12（n1）349(12ann)2（n1）34912ann32912(an2n349)12bn，b1a12349m29. 当 m29时，数列 bn是以 m29为首项，12为公比的等比数列；当 m29时，数列 bn不是等比数列类型三 等差等比数列的性质例 3(1)(20XX 高考福建卷 )等差数列 an中，a1a510，a47，那么数列 an 的公差为 () 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - .A1 B2C3 D4 (2)(20XX 高考广东卷 )若等比数列 an满足 a2a412，那么 a1a23a5_ 解析(1)解法一利用基本量法求解设等差数列 an的公差为 d，由题意得2a14d10，a13d7.解得a11，d2.d2. 解法二利用等差数列的性质求解在等差数列 an 中，a1a52a310，a35. 又 a47，公差 d752. (2)利用等比数列的性质求解数列 an 为等比数列，a2 a4a2312，a1 a5a23. a1a23a5a4314. 答案(1)B(2)14跟踪训练(20XX 高考 XX 卷)公比为 2 的等比数列 an的各项都是正数，且a3a1116，那么 log2a10() A4 B5 C6 D7解析： 利用等比数列的性质和通项公式求解 a3 a1116， a16. 又等比数列 an的各项都是正数， a74. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - .又a10a7q342325，log2a105.故选 B.答案： B 析典题（预测高考）高考真题【真题】(20XX 高考 XX 卷)已知 an是等差数列，其前n 项和为 Sn，bn 是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410. (1)求数列 an与bn的通项公式；(2)记 Tna1b1a2b2anbn，nN*，证明： Tn8an1bn1(nN*，n2) 【解析】 (1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q，由 a1b12，得 a423d，b42q3，S486d. 由条件，得方程组23d2q327，86d2q310，解得d3，q2.所以 an3n1，bn2n，nN*. (2)证明： 由(1)得 Tn2 25 228 23(3n1) 2n，2Tn2 225 23(3n4) 2n(3n1) 2n1.由，得 Tn2 23 223 233 2n(3n1) 2n16 （12n）12(3n1) 2n12(3n4) 2n18，即 Tn8(3n4) 2n1. 而当 n2 时，an1bn1(3n4) 2n1，所以 Tn8an1bn1，nN*，n2.【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式、数列求和等知识，本题 (2)中，解题的关键是利用错位相减求和法准确求出Tn，否那么不会得出结论考情展望高考对等差、等比数列基本运算的考查一是在选择、填空中考查，二是在解答题中求通项时进行考查，难度较低，注意方程思想与整体思想的运用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - .名师押题【押题】已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a35，S15225. (1)求数列 an的通项 an；(2)设 bn2an2n，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 【解析】 (1)设等差数列 an 首项为 a1，公差为 d，由题意，得a12d5，15a115 142d225，解得a11，d2，an2n1. (2)bn2an2n12 4n2n，Tnb1b2bn12(4424n)2(12n) 4n146n2n 23 4nn2n23. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -