2022年高三数学总复习知能达标训练 .pdf

高三数学总复习知能达标训练第八章第八节直线与圆锥曲线的位置关系(时间 40 分钟，满分 80 分) 一、选择题 (65 分30分) 1直线 ykx2 与抛物线 y28x 有且只有一个公共点，则k 的值为A1B1 或 3 C0 D1 或 0 解析由ykx2，y28x，得 ky28y160，若 k0，则 y2，若 k0，则 0，即 6464k0，解得 k1，因此直线 ykx2 与抛物线 y28x 有且只有一个公共点，则k0 或 k1. 答案D 2(2012 长沙模拟 )已知椭圆 C 的方程为x216y2m21(m0)，如果直线 y22x 与椭圆的一个交点M在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则 m 的值为A2 B2 2 C8 D2 3 解析根据已知条件 c16m2，则点(16m2，2216m2)在椭圆x216y2m21(m0)上，16m21616m22m21，可得 m2 2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 答案B 3抛物线 y24x 的焦点为 F，过 F 且倾斜角等于3的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A，则AF 的长为A2 B4 C6 D8 解析焦点 F(1,0)，AF 的直线方程为y0tan3(x1)，即 y3(x1)，代入抛物线方程y24x，得3(x1)24x，即 3x210 x30，解得 x3 或 x13(舍去)，故点 A 的坐标为 (3,2 3)，|AF|312 2 3024. 答案B 4(2012 杭州模拟 )AB 为过椭圆x2a2y2b21 中心的弦， F(c,0)为它的焦点，则 FAB 的最大面积为Ab2BabCacDbc解析设 A、B 两点的坐标为 (x1，y1)、(x1，y1)，则 SFAB12|OF|2y1|c|y1|bc. 答案D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 5斜率为 1的直线 l 与椭圆x24y21 相交于 A、B 两点，则 |AB|的最大值为A2 B.4 55C.4 105D.8 105解析设椭圆交直线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由x24y24，yxt.消去 y，得 5x28tx4(t21)0. 则有 x1x285t，x1x24 t215. |AB|1k2|x1x2| 285t244 t2154 255t2，当 t0 时，|AB|max4 105. 答案C 6如图，过抛物线y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B，交其准线于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为Ay232xBy23x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - Cy292xDy29x解析由抛物线定义， |BF|等于 B 到准线的距离，由|BC|2|BF|得BCM30 ，又|AF|3，AFx60 ，从而 Ap232，3 32，A 在抛物线上，代入抛物线方程y22px，解得 p32. 答案B 二、填空题 (34 分12分) 7直线 ykx1 与椭圆x25y2m1 恒有公共点，则 m 的取值范围是 _解析方程x25y2m1 表示椭圆， m0 且 m5. 直线 ykx1 恒过(0,1)点，要使直线与椭圆总有公共点，应有：02512m1，m1，m 的取值范围是 m1 且 m5. 答案m1 且 m5 8(2012 湛江模拟 )直线 ykx2 与抛物线 y28x 交于 A、B 不同两点，且 AB 的中点横坐标为 2，则 k 的值是 _解析设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由ykx2，y28x，消去 y得 k2x24(k2)x40，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 由题意得 4 k2 24k240，x1x24 k2k222，k1，k1或k2，即 k2. 答案2 9在抛物线 yx2上关于直线 yx3 对称的两点 M、N 的坐标分别为 _解析设直线 MN 的方程为 yxb，代入 yx2，整理得 x2xb0， 14b，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x21，y1y22x1x22b12b，则 12，12b 在直线 yx3 上，代入得 b2，解得 x12，y14，x21，y21. 答案(2,4)，(1,1) 三、解答题 (38 分) 10 (12 分)(2011 天津)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左， 右焦点分别为 F1， F2.点 P(a， b)满足|PF2|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2与椭圆相交于 A，B 两点若直线 PF2与圆 (x1)2(y3)216 相交于 M，N 两点，且|MN|58|AB|，求椭圆的方程解析(1)设 F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 所以ac2b22c. 整理得 2ca2ca10，得ca1(舍)，或ca12.所以 e12. (2)由(1)知 a2c，b3c，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线 PF2的方程为 y3(xc)A，B 两点的坐标满足方程组3x24y212c2，y3 xc .消去 y 并整理，得 5x28cx0. 解得 x10，x285c.得方程组的解x10，y13c，x285c，y23 35c.不妨设 A85c，3 35c ，B(0，3c)，所以|AB|85c23 35c3c2165c. 于是|MN|58|AB|2c. 圆心(1，3)到直线 PF2的距离 d|333c|23|2c|2. 因为 d2|MN|2242，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 所以34(2c)2c216. 整理得 7c212c520.得 c267(舍)，或 c2. 所以椭圆方程为x216y2121. 11(12 分)P(x0，y0)(x0 a)是双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)上一点，M，N 分别为双曲线 E 的左、右顶点，直线 PM，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为1 的直线交双曲线于A， B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OAOB，求 的值解析(1)M(a,0)，N(a,0)，由 kPM kPNy0 x0ay0 x0ay20 x20a215，又x20a2y20b21，a25b2，c2a2b26b2，eca305. (2)联立x25y25b2，yxc，得 4x210cx35b20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)则 x1x25c2，x1x235b24. 设OC(x3，y3)，由于 OC OAOB，即 x3x1x2，y3y1y2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 又 C 为双曲线上一点， x235y235b2，即(x1x2)25(y1y2)25b2，即 2(x215y21)(x225y22)2 (x1x25y1y2)5b2. 又 A，B 在双曲线上，x215y215b2，x225y225b2. 又 x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c) 4x1x25c(x1x2)5c210b2，24 0， 0 或 4. 12(14 分)(2011 江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M，N 分别是椭圆x24y221 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A 两点，其中点 P 在第一象限 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C.连接 AC 并延长，交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k. (1)若直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值；(2)当 k2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；(3)对任意的 k0，求证： PAPB. 解析(1)由题设知， a2，b2，故 M(2,0)，N(0，2)，所以线段 MN 中点的坐标为1，22. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 由于直线 P A 平分线段 MN，故直线 P A 过线段 MN 的中点，又直线 P A 过坐标原点，所以 k22122. (2)直线 P A 的方程为 y2x，代入椭圆方程得x244x221，解得 x23，因此 P23，43，A 23，43. 于是 C23，0 ，直线 AC 的斜率为04323231，故直线 AB的方程为 xy230. 因此， d23432312122 23. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - (3)证法一将直线 PA 的方程 ykx 代入x24y221，解得 x212k2.记 212k2，则 P( ，k)，A( ，k)于是 C( ，0)故直线 AB的斜率为0k k2，其方程为 yk2(x )，代入椭圆方程得 (2k2)x22k2x2(3k22)0，解得 x3k222k2或 x . 因此 B3k222k2，k32k2. 于是直线 PB 的斜率k1k32k2k3k222k2k3k 2k23k22 2k21k. 因此 k1k1，所以 PAPB. 证法二设 P(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x10，x20，x1x2，A(x1，y1)，C(x1,0)设直线 PB，AB 的斜率分别为 k1，k2. 因为 C 在直线 AB 上，所以 k20 y1x1 x1y12x1k2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 从而 k1k12k1k21 2y2y1x2x1y2 y1x2 x11 2y222y21x22x211x222y22 x212y21x22x2144x22x210. 因此 k1k1，所以 PAPB. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -