2022年高二数学知识点总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 新泰市新汶中学2022-2022 学年度期末考试高二数学学问点及方法总结 必修 5 学问点及方法2022-1-3 第一章：解三角形1、正弦定理：在 C 中, a 、 b 、 c 分别为角、 C 的对边, R为 C 的外接圆的半径,就有a b c2 Rsin sin sin C2、正弦定理的变形公式： a 2 sin,b 2 sin,c 2 R sin C ； sin a, sin b, sin C c；正弦定理的变形常常用在有三角函数的等式中2 R 2 R 2 R a b c sin :sin :sin C ；a b c a b csin sin sin C sin sin sin C1 1 13、三角形面积公式：S C bc sin ab sin C ac sin2 2 22 2 2 2 2 24、余 定理：在 C 中,有 a b c 2 bc cos,b a c 2 ac cos,2 2 2c a b 2 ab cos C 2 2 2 2 2 2 2 2 2b c a a c b a b c5、余弦定理的推论：cos,cos,cos C2 bc 2 ac 2 ab2 2 26、设 a 、 b 、 c 是 C 的角、 C 的对边,就：假设 a b c ,就 C 90 为直角三角形；2 2 2 2 2 2假设 a b c ,就 C 90 为锐角三角形；假设 a b c ,就 C 90 为钝角三角形其次章：数列1、数列：根据肯定次序排列着的一列数3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的数列2、数列的项：数列中的每一个数5、递增数列：从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列6、递减数列：从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列7、常数列：各项相等的数列8、摇摆数列：从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列9、数列的通项公式：表示数列 a n 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式10、数列的递推公式：表示任一项 a 与它的前一项 a n 1或前几项间的关系的公式11、假如一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,就这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差12、由三个数 a , b 组成的等差数列可以看成最简洁的等差数列,就 称为 a 与 b 的等差中项假设a cb,就称 b 为 a 与 c 的等差中项2第 1 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13、假设等差数列a n的首项是1a ,公差是 d ,就a na 1n1d 通项公式的变形：a na mnm d ；a 1a nn1d ；da na 1；nanda 11；n1danamnmq m 、 n 、 p 、q*,就amanapa ；假设na是14、假设a n是等差数列,且mnp等差数列,且 2npq n 、 p 、pa ；下角标成等差数列的项仍是等差数列；q*,就 2a na连续 m 项和构成的数列成等差数列；15、等差数列的前n 项和的公式：S nn a 1a n；S nna 1n n1d nnd,2216、等差数列的前n 项和的性质：假设项数为2n n*,就S 2nn a na n1,且 S 偶S 奇S 奇a n1假设项数为2 n1n*,就S 2n12 n1a ,且S 奇S 偶an,S 奇n1其S 偶a nS 偶中S 奇nan,S 偶n1a n17、假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,就这个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比18、在 a 与 b 中间插入一个数G ,使 a , G , b 成等比数列,就G 称为 a 与 b 的等比中项假设G2ab ,就称 G 为 a 与 b 的等比中项19、假设等比数列a n的首项是1a ,公比是 q,就ana qn1是等20、通项公式的变形：ann a qm；a 1a qn1；qn1an；qnma na 1a m21、假设a n是等比数列,且mnpq m 、 n 、 p 、q*,就a ma napa ；假设a n比数列,且 2npq n 、 p 、q*,就2 a napa ；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续 m 项和构成的数列成等比数列；22、等比数列a nna 1q1的前 n 项和的公式：S na 11n qa 1a q q q1q1时,1q1S n1a 11a 1qqn,即常数项与n q 项系数互为相反数；q23、等比数列的前n 项和的性质：假设项数为2n n*,就S 偶S 奇q第 2 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - S nmS nqnS S ,S 2nS ,S 3nS 2n成等比数列24、a 与S 的关系：anS nS n1n2S 1n1一些方法：一、求通项公式的方法：1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法假设相邻两项相减后为同一个常数设为a nknnb,列两个方程求解；假设相邻两项相减两次后为同一个常数设为anan2bnc,列三个方程求解；假设相邻两项相减后相除后为同一个常数设为aaqnb, q 为相除后的常数,列两个方程求解；2、由递推公式求通项公式：假设化简后为an 1annd形式,可用等差数列的通项公式代入求解；假设化简后为an1anfn,形式,可用叠加法求解；假设化简后为an 1anq形式,可用等比数列的通项公式代入求解；假设化简后为an 1kax b形式,就可化为an1xkanx,从而新数列a nx 是等比数a n列,用等比数列求解的通项公式,再反过来求原先那个；其中 x 是用待定系数法来求得3、由求和公式求通项公式：a 1S 1a nS nSn1检验a 是否满意an,假设满意就为a ,不满意用分段函数写；4、其他1a na n1fn 形式, fn 便于求和,方法：迭加；1 a n为以 -2 为公差的等差数列；2；例如：anan1n1有：a nan1n1a 2a 13a 3a 24a na n1n1各式相加得a na 134n1a 1n42n12anan1a a n1形式,同除以a an1,构造倒数为等差数列；例如：anan12 a an1,就anan12111,即a a n1a nan3anqan1m 形式,q1,方法：构造：a nxq a n1x 为等比数列；例如：an2an12,通过待定系数法求得：a n22a n12,即a n2等比,公比为第 3 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4anqan1pnr 形式：构造：a nxnyq a n1x n1y 为等比数列；5anqan1npn形式,同除n p ,转化为上面的几种情形进行构造；1,转化为 3qan p ,就anqan11,假设q1转化为 1的方法,假设不为由于a n1pnp pn1p的方法二、等差数列的求和最值问题：二次函数的配方法；通项公式求临界项法k10假设a 10,就S 有最大值,当n=k 时取到的最大值k 满意ad0a kk0假设a 10,就S 有最小值,当n=k 时取到的最大值k 满意a0d0a k10三、数列求和的方法：叠加法：倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值；错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如：na2 n13 n；分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式；如：a n111n11,a n2 n112 n111111等；n nn22 n2 n一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以便利求和的部分,如：a n2nn1等；四、综合性问题中等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为ad 和ad类型,这样可以相加约掉,相乘为平方差；等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和a q类型,这样可以相乘约掉；第三章：不等式1、ab0ab ；ab0ab ；ab0ab比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等；2、不等式的性质： abba ；ab bcac ； abacbbc ；ab c0acbc,ab c0acbc ；ab cdacd ；ab0,cd0acbd ；ab0anbnn,n1；ab0nanb n,n12 的不等式3、一元二次不等式：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是第 4 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式yb24 acc000二次函数ax2bxa0的图象有两个相异实数根一元二次方程ax2bxc0x 1,2b2a有两个相等实数根没有实数根x 1x 2ba0的根2 ax 1x 2一元二次不ax20bxc0x xx 1 或 xx 2x xb 2 aRa等式的解集ax20bxc0x x 1xx 21的不等式a5、二元一次不等式：含有两个未知数,并且未知数的次数是6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式组的解集：满意二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ,x y ,全部这样的有序数对 ,x y 构成的集合8、在平面直角坐标系中,已知直线 x y C 0,坐标平面内的点 x 0 , y 0假设 0,x 0 y 0 C 0,就点 x 0 , y 0 在直线 x y C 0 的上方假设 0,x 0 y 0 C 0,就点 x 0 , y 0 在直线 x y C 0 的下方9、在平面直角坐标系中,已知直线 x y C 0假设 0,就 x y C 0 表示直线 x y C 0 上方的区域；x y C 0 表示直线x y C 0 下方的区域假设 0,就 x y C 0 表示直线 x y C 0 下方的区域；x y C 0 表示直线x y C 0 上方的区域10、线性约束条件：由 x , y 的不等式或方程组成的不等式组,是目标函数：欲到达最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式线性目标函数：目标函数为 x , y 的一次解析式x , y 的线性约束条件线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满意线性约束条件的解 ,x y 可行域：全部可行解组成的集合第 5 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解11、设 a 、 b 是两个正数,就 a b 称为正数 a 、 b 的算术平均数,ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数212、均值不等式定理：假设 a 0,b 0,就 a b 2 ab ,即 a b ab 213、常用的基本不等式：2 2 a b 2 ab a b R ；2 2 ab a ba b R ；22 2 2 2 ab a b a 0, b 0； a b a b a b R2 2 214、极值定理：设 x 、 y 都为正数,就有2假设 x y s和为定值,就当x y 时,积 xy 取得最大值 s 4假设 xy p 积为定值,就当 x y 时,和 x y取得最小值2 p选修 21 学问点及方法1、命题：用语言、符号或式子表达的,可以判定真假的陈述句. . 真命题：判定为真的语句.假命题：判定为假的语句. q 称为命题的结论2、“ 假设p ,就 q ” 形式的命题中的p 称为命题的条件,3、对于两个命题,假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,就这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题 . 假设原命题为“ 假设 p ,就 q ” ,它的逆命题为“ 假设 q ,就 p ” . 4、对于两个命题,假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认,就这两个命题称为互否命题 .中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题 . 假设原命题为“ 假设 p ,就 q ” ,就它的否命题为“ 假设 p ,就 q ” . 5、对于两个命题,假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认,就这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题. 假设原命题为“ 假设p ,就 q ” ,就它的否命题为“ 假设q ,就p ” . 6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题四种命题的真假性之间的关系：真真真真1 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真真假假真假真真真假性；2 两个命题为互逆命题或互否命题,假假假假它们的真假性没有关系7、假设p q ,就 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件假设 p q ,就 p 是 q 的充要条件8、用联结词“ 且” 把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p q当p、q都是真命题时,p q是真命题；当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时,p q 是假命题第 6 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 用联结词“ 或” 把命题p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作pq 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时,p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题都是假命题时,p q 是假命题对一个命题p全盘否认否认结论 ,得到一个新命题,记作 p 假设p是真命题,就 p 必是假命题；假设 p 是假命题,就 p 必是真命题9、短语“ 对全部的”、“ 对任意一个” 在规律中通常称为全称量词,用“” 表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“ 对 中任意一个x,有p x成立” ,记作“x,p x” 短语“ 存在一个”、“ 至少有一个” 在规律中通常称为存在量词,用“” 表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“ 存在 中的一个x,使p x成立” ,记作“x,p x” 10、全称命题 p ：x,p x,它的否认 p ：x,p x 全称命题的否认是特称命题11、平面内与两个定点 F ,F 2 的距离之和等于常数大于 F F 2的点的轨迹称为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2y21ab0y2x21ab02b222aab范畴axa 且byb2abxb 且aya顶点1a,0、2a ,010, a、20,a轴长10, b、20,b1b ,0、2b ,0短轴的长2b长轴的长焦点F 1c ,0、F 2c ,0F 10,c 、F 20,c焦距F F 1 22 2 c ca2b2对称性关于x轴、y轴、原点对称第 7 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 离心率ec1b20e1aa2准线方程xa2F2ya2到F 对应准线的距离为d2,就cc13、设是椭圆上任一点,点到F 对应准线的距离为d ,点F 1F 2ed 1d2的距离之差的肯定值等于常数小于F F2的点的轨迹称为双曲线这14、平面内与两个定点F ,两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距15、双曲线的几何性质： 类比椭圆写出双曲线的性质,并参看课本16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线17、设是双曲线上任一点,点到1F对应准线的距离为d ,点到F 对应准线的距离为d2,就F 1F 2ed 1d2l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点F称为抛物线的焦点,18、平面内与一个定点F 和一条定直线定直线l称为抛物线的准线19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段,称为抛物线的“ 通径”,即2 p20、焦半径公式：假设点x 0,y 0在抛物线y22px p0上,焦点为 F ,就Fx0x 0p；2Fpx 0,y 0y22px p0上,焦点为F,就假设点在抛物线2假设点x 0,y 0在抛物线2 x2py p0上,焦点为F,就Fy0y 0p；2Fpx 0,y 02 x2py p0上,焦点为F,就假设点在抛物线221、抛物线的几何性质：标准方程y22pxy22pxx22pyx22py第 8 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - p0p0p0p0图形顶点 0,0对称轴x 轴y 轴F0,p有焦点Fp, 0Fp, 0F0,p2222准线方程xpxpypyp 2222离心率e1y0范畴x0x0y022、空间向量的概念：1 在空间,具有大小和方向的量称为空间向量2 向量可用一条有向线段来表示向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向3 向量的大小称为向量的模或长度,记作4 模或长度为0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量5 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量,记作a 6 方向相同且模相等的向量称为相等向量23、空间向量的加法和减法：1 求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行 四 边 形 法就即：在空间以同一点 为起点的两个已知向量 a 、b 为 邻 边作平行四边形 C,就以 起点的对角线 C 就 是a与b的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边 形法就2 求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角 形法就即：在 空 间 任 取 一 点, 作 a ,b , 就a b 第 9 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 24、实数与空间向量a的乘积a 是一个向量,称为向量的数乘运算当0 时,a 与 a 方向相同；当0 时,a 与 a 方向相反；当0 时,a 为零向量,记为0 a 的长度是 a 的长度的倍25、设,为实数,a,b是空间任意两个向量,就数乘运算满意安排律及结合律安排律：abab；结合律：aa 26、假如表示空间的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线27、向量共线的充要条件： 对于空间任意两个向量a,b b0,/b 的充要条件是存在实数,使ab 28、平行于同一个平面的向量称为共面对量29、向量共面定理： 空间一点 位于平面 C 内的充要条件是存在有序实数对 x ,y,使 x y C ；或 对 空 间 任 一 定 点, 有 x y C ； 或 假 设 四 点,C共 面 , 就x y z C x y z 130、已知两个非零向量 a 和 b ,在空间任取一点,作 a ,b ,就 称为向量a,b的夹角,记作 a b两个向量夹角的取值范畴是：a b 0,a b31、对于两个非零向量 a 和 b ,假设 2,就向量a,b相互垂直,记作 a b 32、已知两个非零向量 a 和 b ,就 a b cos a b 称为a,b的数量积,记作a b即 a b a b cos a b零向量与任何向量的数量积为 0 33、a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos a b的乘积34、假设a , b 为非零向量, e 为单位向量,就有 1 e a a e a cos a e ；a b a 与 同向 ba b2 a b a b 0；3 a b a 与 反向 b,a a a , a 2a a ；a bcos a b4 a b；5 a b a b35、向量数乘积的运算律：1 a b b a ；2 a b a b a b；3 a b c a c b c36、假设i , j , k 是空间三个两两垂直的向量,就对空间任一向量 p ,存在有序实数组 x y z ,使得第 10 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - pxiyjzk ,称 xi , yj , zk 为向量 p 在 i , j , k 上的重量37、空间向量基本定理：假设三个向量a , b , c 不共面,就对空间任一向量p ,存在实数组x y z,使得pxaybzc 38、假设三个向量a ,b, c 不共面,就全部空间向量组成的集合是p pxaybzc x y zR这个集合可看作是由向量a , b , c 生成的,a b c称为空间的一个基底,a , b , c 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底39、设 1e,2e,3e为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量称它们为单位正交基底,以 1e,e ,3e的公共起点 为原点,分别以 1e,2e,3e的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系 xyz 就对于空间任意一个向量 p ,肯定可以把它平移,使它的起点与原点 重合,得到向量 p 存在有序实数组 x y z ,使得 p xe 1 ye 2 ze 把 x , y , z 称作向量 p 在单位正交基底 1e,2e,3e下的坐标,记作 p x y z 此时,向量 p 的坐标是点 在空间直角坐标系 xyz 中的坐标 x y z 40、设 a x y z 1 1 1,b x 2 , y 2 , z 2,就1 a b x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 22 a b x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 23 a x 1 , y 1 , z 14 a b x x 1 2 y y 1 2 z z 5 假设 a 、 b 为非零向量,就 a b a b 0 x x 1 2 y y 1 2 z z 1 2 06 假设 b 0,就 a / b a b x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2 2 27 a a a x 1 y 1 z 8 cos a b a ba b x 1 2 x xy 1 2 2z 1 y y2 2x 2 2 z zy 22 2z 2 22 2 29 x y z 1 1 1,x 2 , y 2 , z 2,就 d x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 141、在空间中,取肯定点 作为基点,那么空间中任意一点 的位置可以用向量 来表示向量 称为点 的位置向量42、空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 以及一个定方向确定点 是直线l上一点, 向量a第 11 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 表示直线l的方向向量,就对于直线l 上的任意一点,有ta ,这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置,仍可以详细表示出直线 l 上的任意一点43、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点,它们的方向向量分别为a,b为平面 上任意一点, 存在有序实数对 ,x y ,使得 xa yb ,这样点 与向量a,b 就确定了平面 的位置44、直线l 垂直,取直线l的方向向量a,就向量a称为平面 的法向量45、假设空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 a , b ,就 a / b a / ba b R ,a b a b a b 046、假设直线a 的方向向量为 a ,平面 的法向量为n,且a,就 a / a /a n a n 0,a a a / n a n 47、假设空间不重合的两个平面,的法向量分别为 a , b ,就 / a / ba b ,a b a b 048、设异面直线 a , b 的夹角为,方向向量为a,b,其夹角为,就有a bcos cosa b49、设直线l 的方向向量为 l ,平面 的法向量为 n , l 与 所成的角为,l与n的夹角为,就有l nsin cosl n50、设 1n,n 是二面角 l 的两个面,的法向量,就向量 n ,n 的夹角或其补角就是二面n 1 n 2cos角的平面角的大小假设二面角 l 的平面角为,就 n n 251、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应向量 的模 运算52 、 在 直 线l 上 找 一 点, 过 定 点 且 垂 直 于 直 线l的 向 量 为n, 就 定 点 到 直 线l的 距 离 为第 12 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - dcos,nnn53、点是平面,外一点,n是平面内的肯定点,n 为平面的一个法向量,就点到平面的距离为dcosnn第 13 页 共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页