2022年高三总复习——函数综合应用 .pdf

高三总复习函数综合应用函数知识是贯穿高中数学的一条主线，其方程思想揭示了知识间的内在联系，它与不等式，数列，解析几何，三角等知识都有交汇。此外函数知识中图象，性质，函数概念等纵向的综合问题，也是考察的重点，难点。本周教学例题：例 1 设函数 f(x)=lg(x2+ax-a-1) ，给出下述命题： f(x) 有最小值。 当 a=0 时， f(x) 的值域为R。 当 a0 时， f(x) 在区间 2，+) 上有反函数。 若 f(x) 在区间 2,+ ) 上单调递增，则实数a 的取值范围是a -4。其中正确命题的序号为：，。分析： 既要逐个判断命题，又要注意各个命题之间的相互联系。有时，判断其中一个命题成立时，同时可判断其否命题不成立。如其中的和。 逐个命题给予判断：由 :a=0 时， f(x) R, f(x) 无最小值，因此不正确，而是正确的。由 :若使 f(x)在2，+）上有反函数，设u=g(x)=x2+ax-a-1, 对称轴 x=-, 当 x 2,+ )时，要使u0, 即 g(2)0 。则有： 22+2a-a-10 ，即 a-3, 又 -2a -4。 a0, 则符合题意要求。又u 在 (-,+ ) 上单调增，lgu 也为单增函数， f(x) 当 a0 时，在 2,+ ) 上有反函数，即正确。由 f(x) 在2,+ ）上单增，只需：a-3, a -4 不能保证f(x) 在 2,+ )上单增，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 因此不正确。小结： 上述问题中， 复合函数的单调性问题是一个难点问题。既要考虑分解出的各个函数的单调性，又要重视定义域问题。例 2 已知点 P(x, y) 在函数 y=-x2+x-的图象上运动，其对应点Q()在函数 g(x)的图象上运动， 求 g(x) 的解析式。 问：是否存在实数m, n(mn) ，使得函数g(x)在区间 m, n 上的值域为 3m, 3n 。解： 设 g(x) 图象上的点 (x1, y1), 据题意有：，。 。 对称轴： x=1。又 mn, 则有：当 mn 1 时， g(x) 在m, n 上单调递增，即m=-4, n=0 。当 m1n 时，易知 g(1)=3n，所以 n=,显然不合题意。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 当 1mn时，根据计算易知不合题意。 综上， m=-4, n=0 。另解： , ，即, x=1 为对称轴，在 m,n 上 g(x) 单调递增。则有评述： 这是一个求轨迹方程与二次函数的综合问题。求轨迹实质是相关点法解决的，而二次函数问题是属于给定二次函数，而x 取值的区间m,n 是一个动区间的问题，其值域与二次函数图象变化趋势相关，即要抓住二次函数单调性改变的分界线即对称轴与m,n 的相对位置展开讨论，并且不重不漏。而另解中应用了二次函数的最值，从而确定了m,n 与对称轴之间的位置，使问题的解法一下子就简化了。例3 定 义在 实 数 集上 的 单 调 函数f(x) 满 足 f(3)=log23。 且 对 于任 意x,y R， 都有f(x+y)=f(x)+f(y) （ 1）求证： f(x) 为奇函数。（ 2）若： f(k 3x)+f(3x-9x-2)0，又 f(0)=0, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - f(3)f(0) ，又 f(x) 在 R 上单调函数， f(x) 在 R上为单调增函数， f(k 3x)+f(3x-9x-2)0，t2-(k+1)t+20对任意 t0 均成立。（ 方法 1）令 g(t)=t2-(k+1)t+2, 对称轴：当，即 k0 符合题意。当时，对任意t0，有 g(t)0 恒成立，只需：解得：。综上，当时，对任意均成立。（方法2） 由（I） 3x0, , 使,（等号可以取到） 。要使对任意（I ）成立，只需即可。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 小结： 对于抽象函数， 先从性质入手，再由性质来解决其它问题。例3 中方法 1 是化为一元二次不等式的解集问题处理的。而方法 2 则将 k 与 x 两个变量分离在不等式两边，从而由一边关于 x 的范围得出k 的范围，而求关于x 的函数的值域时，应用的是平均不等式。例 4 已知函数（a,b,c R, a0, b0 ）是奇函数，当x0 时， f(x)有最小值 2，其中bN,且。（ 1）试求函数f(x) 的解析式。（ 2）问函数f(x) 图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。解 ： （ 1） ：f(x) 为奇函数， f(-x)=-f(x), c=0, x0 时， f(x)min=2。即，当且仅当， 即时达到最小值， 有 a=b2。又, 即，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - bN， b=1, a=1。（ 2）设存在一点(x0, y0)在 y=f(x) 的图象上，且关于点(1,0)的对称点为 (2-x0, -y0)也在 y=f(x)图象上则，解得：， y=f(x) 图象上存在两点关于点 (1,0)对称。例 5已知函数，f2(x)=x+2 。 （ 1）若方程 f1(x+a)=f2(x)有两个不相等的实根，求实数 a 的取值范围。 （ 2）若 f1(x)f2(x-b) 的解集为，求实数 b 的值。解：（1） ，图象如下：圆心 (-a, 0)，半径r=1, 设圆心到y=x+2 距离为 d, , 由题意，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 如上图，时， l 与 C 相交，当 a=1 时，如图（3） ，l 与 C 有两个公共点，a1 时， l 与半圆只有一个公共点，。 有两个实根有两个不小于-2 的根。设 g(x)=2x2+2(a+2)x+a2+3。如右图，只需。（ 2）f1(x)f2(x-b) 即，解集为， 当时，只需直线：过点， 解得：。小结：例 4 是函数与解析几何知识的结合。而例 5 则是数形结合的思想解决函数问题的类型。对于（ 1）中解法1 应注意等价转化，且不同情况画出相应图形，注意如何表述。而解法2 则是应用化为一元二次方程实根分布的思想解决的，要联系二次函数图象，主要考察开口方向，对称轴位置，与x 轴交点情况，及区间端点函数值的符号。总之， 函数的综合问题一是本身各方面知识综合，另一个就是与其它知识的结合，需要多练名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 习，多反思。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -