2022年高中数学-第课时一元二次不等式同步导学案北师大版必修3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - § 2 一元二次不等式 第 1 课时 一元二次不等式的解法 知能目标解读 1. 懂得一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系,能借助二次函数的图像解一元二次不 等式 . 2. 娴熟把握将一元二次不等式转化为一元一次不等式组 3. 对于含参数的一元二次不等式,能进行分类争论求解 . 重点难点点拨 重点：一元二次不等式的解法 . 难点：一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系及对含参数的一元二次不等式的分类讨 论. 学习方法指导 1. 一元二次不等式与相应的二次函数,二次方程的联系 一 元二 次方程 ax 2+bx+c=0a 0, 一 元二次 不等式 ax 2+bx+c>0、 ax 2+bx+c<0 a 0 与 二次函 数 y=ax 2+bx+c=0 a 0 有着亲密联系, 这种关系是用函数观点作指导,以函数图像来沟通的 . 它们之间的关系 详细如下： =b2-4 ac >0 =0 <0 y=ax 2+bx+c a>0 的图像ax 2+bx+c=0 a>0 的根有两个不相等的有两个相等的实没有实数根实根 x1, x2 且 x1<x2根 x1, x2 且 x1=x2ax 2+bx+c>0 a>0 的解集x| x<x1或 x>x2 x| x -b R ax 2+bx+c<0 a>0 的解集x| x1<x<x22a2. 解一元二次不等式的一般步骤（1）对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0.（2）运算相应的判别式 .（3）当 0 时,求出相应的一元二次方程的根 .（4）依据对应二次函数的图像,写出不等式的解集 .留意：（1）利用数形结合法解一元二次不等式 . 在熟识图像的前提下,关键是快速求解对应的一元二次方程 . 求解时优先考虑因式分解法,其次才是公式法（2）特殊地,如 a<0 时,应先运用不等式的性质将其化成正数,再解不等式 .（ 3）当判别式 =0 时,不等式 ax 2+bx+c>0 a>0 与 ax 2+bx+c0 a>0 的解集不同 .3. 解含参数的一元二次不等式 含参数的一元二次不等式的解法与详细的一元二次不等式的解法在本质上是一样的,解这类不等式可名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 以从分析两个根的大小及二次项系数的正负入手去解答,必要的时候应依据二次项系数的正负或两根的大小关系上分类争论,对于每一种情形都要留意结合二次函数的图像写出不等式的解集 .4. 解不等式应留意的问题（1）解不等式的核心问题是不等式的同解变形,是将复杂的、生疏的不等式问题转化为简洁的、熟悉的最简不等式问题 . 不等式的性质就是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解法亲密相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化 .（2）一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）的解法是不等式的基础,由于许多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）进行的 .（3）解不等式的过程中,常常要去分母、去肯定值符号等,往往易忽视限制条件和变量取值范畴的转变；对分步或分类求出的结果,何时求交集,何时求并集很简洁失误 .（4）解含参数的不等式时,留意参数的取值范畴,并在此范畴内对参数进行分类争论 . 分类的标准是通过懂得题意（例如能依据题意挖掘出题目的隐含条件）、依据方法（例如利用单调性解题时,抓住使单调性发生变参数值） 、依据解答的需要（例如进行不等式变形时,必需具备的变形条件）等方面来打算,一般都应做到不重复、不遗漏 . 知能自主梳理1. 一元二次不等式含有未知数,且未知数的次数为不等式,叫做一元二次不等式 .2. 一元二次不等式的解及其解集一般地,使某个一元二次不等式成立的.叫做这个不等式的解. 一元二次不等式的全部解组成的,叫做这个不等式的解集答案1. 一个最高2 的整式2. x 的值集合思路方法技巧命题方向一元二次不等式的解法.1 ,0）和（ 2,0）,如图2例 1解以下不等式：（1）2x2-3 x-2>0 ；（2）-3 x2+6x>2.分析先求相应方程的根,然后依据相应函数的图像,观看得出不等式的解集解析1 方程 2x 2-3 x-2=0 的两根为 x1=-1 , x2=2. 2函数 y=2x2-3 x-2 的图像是开口向上的抛物线,图像与x 轴有两个交点为（-所示 .名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 观看图像可得原不等式的解集为 xx<-1 或 x>2. 2（2）原不等式可化为3x 2-6 x+2<0,方程 3x 2-6 x+2=0 的两根为图像与 x 轴的两个交点为 （1-3 ,3x1=1-3 , x2=1+ 33 , 函数 y=3x 32-6 x+2 的图像是开口向上的抛物线,0）和（ 1+3 ,0）,如下列图 . 3观看图像可得原不等式的解集是 x|1-3 <x<1+ 33 . 3说明解一元二次不等式的步骤：整理二次不等式运算对应方程的判别式求相应方程的根依据二次函数图像确定解集变式应用 1 解以下不等式：（1）2x 2-8 x+80;2- x 2+6x-9 0. 解析 1 原不等式可化为 x 2-4 x+40,即（ x-2 ）2 0, 原不等式的解集为 x| x=2.2 原不等式可化为 x 2-6 x+90, 即（ x-3 ）2 0,原不等式的解集为 R. 命题方向 三个二次之间的关系例 2已知 ax 2+2x+c>0 的解集为 x|-1 <x< 1 , 试求 a、c 的值,并解不等式 - cx 2+2x-a>0.分3 2析由题意可知 -1 , 1 是方程 ax 2+2x+c=0 的两根,故可用韦达定理求得 a、c 的值 .3 2解析由 ax 2+2x+c>0 的解集为 x|-1 <x< 1 ,知 a<0,且方程 ax 2+2x+c=0 的两根为 x1=-1 , x2= 1 ,3 2 3 2由韦达定理知名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - a<0 -1 + 31 = 22 a-1 ×31 2c , a由此得 a=-12, c=2.此时 - cx 2+2x-a >0,即 2x 2-2 x-12<0,解得 -2< x<3.所求不等式的解集为x|-2< x<3. 说明一元二次不等式解集的端点恰好是其对应的一元二次方程的两根,也是与其对应的二次函数与 x 轴交点的横坐标 . 变式应用 2 已知关于 x 的不等式 x 2+ax+b<0 的解集为（ 1,2）,求关于 x 的不等式 bx 2+ax+1>0 的解集 . 解析由韦达定理有- a=1+2 b=1× 2 ,得a=-3, b=2 代入不等式, 2x 2-3 x+1>0,2x2-3 x+1>0 2 x-1 x-1>0x<1 或 x>1. 2bx2+ax+1>0 的解集为（ -, 1 ） 1,+ . 2探究延拓创新命题方向含参数的一元二次不等式的解法0<a<1 时不等式的解集例 3解关于 x 的不等式 ax2- a+1 x+1<0 a<1. 分析当 a=0 时,不等式的解集a<0 时,不等式的解集解析（1）如 a=0, 就原不等式可化为- x+1<0, 即 x>1.2 如 a<0, 就原不等式化为（x-1 ） x-1>0, 即 x< a1 或 x>1. a3 如 0<a<1 时,原不等式的解为1<x<1 . a综上所述：当a<0 时,解集为 x| x<1 或 x>1; a当 a=0 时,解集为 x| x>1;名师归纳总结 当 0<a<1 时,解集为 x|1< x<1 . a第 4 页,共 11 页说明含参数的一元二次不等式,如二次项系数为常数可先考虑分解因式,再对参数进行争论；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如不易因式分解,就可对判别式分类争论,分类要不重不漏. 如二次项系数含有参数,就应先考虑二次项系数是否为零,然后再争论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式；其次对相应方程的根进行讨 论,比较大小,以便写出解集 . 变式应用 3 解关于 x 的不等式（ x-2 ） ax-2>0 a>0. 解析由于 a>0, 所以原不等式可化为（x-2 ）（x-2 ）>0, a由2 2 可得 a=1, ax| x>2 或 x<2, a当 0<a<1 时,解不等式可得x<2 或 x>2 ; a当 a=1 时,解不等式得xR且 x 2;当 a>1 时,解不等式得x<2 或 x>2. a综上所述,当0<a<1 时,原不等式的解集为当 a=1 时,原不等式的解集为x| x 2 ,2 . a当 a>1 时,原不等式的解集为x| x>2 或 x<名师辨误做答例 4已知 x1, x2是关于 x 的方程 x 2- a-2 x+a 2+3a+5=0 的两个实根,求2 x2 1+x2的最大值 .误会由根与系数的关系,得x1+x2=a-2, x1x2=a2+3a+5,x2 21+x2= x1+x2 2 -2 x1x2= a-2 2 -2 a2+3a+5=- a 2-10 a-6 =- a+5 2 +1919,x2 21+x2的最大值为19.a 的取值范畴有限制,此题没辨析由于一元二次方程只是在判别式 0 时才有两个实根,故有考虑这一限制,会使x2 1+x2 2的范畴不精确 .正解由 =（a-2 ）2-4 a 2+3a+5 0,得-4 a-4 . 3x2 21+x2= x1+x2 2 -2 x1x2=- a+5 2+19,当 a-4 时, x2 21+x2取最大值18. 课堂巩固训练 一、挑选题名师归纳总结 1. 不等式 16x 2+8x+10 的解集为（）B. x|-1 x41 4第 5 页,共 11 页A. x| x -1 4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C. D. x| x=-1 4答案Dm的取值范畴是（）解析 16x 2+8x+1=4 x+1 2 0,不等式16x 2+8x+10 的解集为 x| x=-1 ,应选 D. 4 2. 不等式 -3 x2+7x-2<0 的解集为（）A. x|1 <x<23B. x| x>2 或 x<1 3C. x|-2< x<-1 3D.x| x>2答案B解析原不等式可化为3x2-7 x+2>0,即3 x-1 x-2>0,x>2 或 x<1 , 应选 B. 33.2022 · 福建文, 6 如关于 x 的方程 x 2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,就实数A.-1,1 B.-2,2C.- , -2 （ 2,+）答案C D.（ - , -1 ）（ 1,+）解析本次考查一元二次方程根的个数问题." 方程 x 2+mx+1=0 有两个不相等实数根二、填空题" m 2-4>0, 解得 m>2 或 m<2. 4. 设集合 A= x| x-1 2 <3x-7, 就集合 A中有 个元素 .答案0解析不等式 x-1 2<3x-7 可化为 x 2-5 x+8<0,即 x-5 2+ 7 <0,2 4A= , 故 AZ 中没有元素 . 5. 二次函数 y=ax 2+bx+c（a 0）的部分对应值如下表：x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 就不等式 ax 2+bx+c>0 的解集是 . 答案x| x<-2 或 x>3解析由表知 x=-2 时, y=0,x=3 时, y=0.二次函数 y=ax 2+bx+c 可化为 y=a x+2 x-3, 又当 x=1 时, y=-6, a=1.不等式 ax 2+bx+c0 的解集为 x| x-2 或 x3. 三、解答题名师归纳总结 6. 如不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 x|-3< x<4, 求不等式 bx 2+2ax- c-3 b<0 的解集 .第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 ax 2+bx+c>0 的解集为 x|-3< x<4 ,a<0 且-3 和 4 是方程 ax2+bx+c=0 的两根,-3+4 b a-3 × 4c a解得b=-a c=-12 a不等式 bx 2+2ax-c -3 b<0 可化为 - ax 2+2ax+15a<0, 即 x 2-2 x-15<0,-3< x<5, 所求不等式的解集为 x|-3< x<5. 课后强化作业一、挑选题1.2022 · 山东理, 1 设集合 M = x| x 2+x-6<0 ,N = x|1 x 3, 就 M N = （.）A. 1,2 B.1,2 C. 2,3 D.2,3 答案A 解析此题主要考查集合的运算（交集）、集合的表示法及二次不等式的解法依题意： M=-3,2,又 N=1,3 ,M N=1,2, 应选 A. . 不等式 - x2x-2 的解集为（）A. x| x-2 或 x1 B.x|-2< x<1C. x|-2 x 1 D.名师归纳总结 答案C 第 7 页,共 11 页解析原不等式可化为x 2+x-2 0,即 x+2 x-1 0, -2 x1. 应选 C. 3. 不等式 ax 2+bx+2>0 的解集是 x|-1 <x< 21 , 就 a-b 等于（3）A.-4 B.14C.-10 D.10答案C解析不等式 ax2+bx+2>0 的解集为 x|-1 <x< 21 , 3-1 、21 是方程 ax 32+bx+2=0 的两根 ,1 21 3ba- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11 322a解得a=-12 b=-2.a-b =-10. 4. 如 0<t <1, 就不等式 x-t x-1 <0 的解集为（t）1,所以x2+kx+2<0 的解集为A. x|1 <x<ttB. x| x>1 或 x<t tC. x| x<1 或 x>t tD. x| t <x<1 t答案D解析 0<t <1, 1 >1, t x-t x-1 <0, t<x < t1 , 应选 D. t5. x=2 是方程 x 2+kx+2=0 的一根,就不等式x2+kx+2<0 的解集为（）A. x| x 2 B. x|1< x<2C. x| x<1 或 x>2 D.答案B 解析方程x2+kx+2=0 的一根为x=2, 就由根与系数关系知另一根为x|1< x<2. 6. 以下四个不等式：- x 2+x+10；x 2-2 5 x+ 5 >0;x 2+6x+10>0;名师归纳总结 2x2-3 x+4<1.）第 8 页,共 11 页其中解集为R的是（）A. B. C. D.答案C 解析明显不行能 .中 =-25 2-4 ×5 >0, 解集不为 R.中 =6 2-4 × 10<0. 应选 C. 7. 不等式 x 2- ax-12 a 2<0（其中 a<0）的解集为（A. （-3 a,4 a）B.4 a,-3 a C.-3,4 D.2 a,6 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案B解析 x 2- ax-12 a 2<0, x-4 a x+3a<0, 又 a<0, 4a<x<-3 a. 8. 假如 ax2+bx+c>0 的解集为 x| x<-2 或 x>4, 那么对于函数f x=ax2+bx+c 有（）A. f 5< f 2< f -1 B. f 2< f 5< f -1C.f 2< f -1< f 5 D. f -1< f 2< f 5 答案C 解析 ax2+bx+c>0 的解为 x<-2 或 x>4. 就 a>0 且-2 和 4 是方程 ax2+bx+c=0 的两根,函数 f x= ax2+bx+c 的图像开口向上,对称轴为x=-b =1.2af 5> f -1> f 2, 应选 C. 二、填空题9. 不等式 ax 2+bx+3>0 的解集为 x| x>3 或 x<1, 就 a-b 等于 .答案5解析由题意,得a-b =5. 10. 如集合 A= x| x 2-2 x-3>0, B= x| x2+ax+b0. 且 AB=R, AB=x|3< x4. 就 a= , b= .答案-3,-4解析A= x| x>3 或 x<-1, AB=R,AB= x|3< x4, B= x|-1 x4,名师归纳总结 -1,4是方程 x2+ax+b=0 的两根 . a=-1+4=-3,b=-1 × 4 4. 11. 如关于 x 的不等式 x 2- ax-a -3 的解集不是空集,就实数a 的取值范畴是. 答案a-6 或 a2 解析 x 2- ax-a-3 的解集不是空集,y=x2- ax-a +3 的图像与 x 轴有交点 ,就 =- a 2-4 × 1× - a+3 0,解得 a-6 或 a 2. 12. 对于实数 x, 当且仅当 nx<n+1 nN+ 时,规定x=n, 就不等式 4x2-36x+45<0 的解集为答案 x|2 x<8第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析由 4 x2-36 x+45<0,得3 <x <7.5, 即 1.5< x<7.5, 2故 2 x 7, 2x<8. 三、解答题13. 解以下关于 x 的不等式：（1）（5- x） x+1 0；（2） -4 x 2+18x-81 0；4（3） -1 x 2+3x-5>0;2（4） -2 x 2+3x-2<0. 解析（ 1）原不等式化为 x-5 x+1 0,-1 x5.故所求不等式的解集为x|-1 x 5.2 原不等式化为 4x 2-18 x+ 81 0,4即（ 2x-9 ）20,2x= 9 .4故所求不等式的解集为x| x= 9 .43 原不等式化为 x 2-6 x+10<0,即 x-3 2+1<0, x.故所求不等式的解集为 .4 原不等式化为 2x 2-3 x+2>0,即 2 x-3 2+ 7 >0. 4 8x R.故所求不等式的解集为 R. 14. 解关于 x 的不等式 4 x 2-3 x-6 2x+8. 解析原不等式可化为名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解得 5x 7 或 x=-2.原不等式的解集为x|5 x7 或 x=-2 . 15. 已知不等式 ax 2+5x+c>0 的解集为 x1 <x< 1 ,求 a,c 的值 .3 2解析由于不等式 ax 2+5x+c>0 的解集为 x1 <x< 1 ,3 2所以 x1= 1 与 x2= 1 是方程 ax 2+5x+c=0 的两个实数根,且 a<0.3 2解法一：将 x1= 1 与 x2= 1 分别代入方程 ax 2+5x+c=0,得3 2a=-6, c=-1.解法二：由根与系数的关系,得16. 解关于 x 的不等式： 56x 2- ax-a 2>0. 解析 56x 2- ax-a 2 0 可化为（ 7x-a ）8 x+a 0,当 a0 时, -a a , xa 或 x-a ;8 7 7 8当 a0 时, -a a , x-a 或 xa ；8 7 8 7当 a=0 时, x 0.名师归纳总结 综上所述,当a>0 时,原不等式的解集为x| x>a 或 x<-7a , 8第 11 页,共 11 页当 a=0 时,原不等式的解集为x| xR且 x 0,当 a<0 时,原不等式的解集为x| x>-a 或 x< 8a . 7- - - - - - -