2022年高中数学解题技巧复习教案集合的概念与运算.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第一讲 集合的概念与运算【考点透视】1懂得集合、子集、补集、交集、并集的概念 . 2明白空集和全集的意义 . 3明白属于、包含、相等关系的意义 单的集合.把握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简4解答集合问题,第一要正确懂得集合有关概念,特殊是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合 x|x P, 要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P；要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题 . 5留意空集 的特殊性,在解题中,如未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A B,就有 A= 或 A两种可能,此时应分类争论 . 【例题解析】题型 1 正确懂得和运用集合概念懂得集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例 1.已知集合 M=y|y=x2 1,x R,N=y|y=x1,x R ,就 MN= （ ）A（ 0,1）,（ 1,2）B（0,1）,（ 1,2） C y|y=1, 或 y=2 Dy|y 1思路启发：集合 M 、N 是用描述法表示的,元素是实数 y 而不是实数对 x,y ,因此 M 、N分别表示函数 y=x2 1x R,y=x1x R的值域,求 MN 即求两函数值域的交集解： M=y|y=x2 1,xR=y|y 1 , N=y|y=x 1,xR=y|y R MN=y|y 1 y|yR=y|y 1,应选 D2y x 1, 得 x 0,或 x 1,点评：此题求 MN ,常常发生解方程组 y x 1. y 1, y 2.从而选 B 的错误,这是由于在集合概念的懂得上,仅留意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么事实上 M 、N 的元素是数而不是点,因此 M 、 N 是数集而不是点集集合是由元素构成的,熟悉集合要从熟悉元素开头,要留意区分 x|y=x2 1 、y|y=x21,xR 、 x,y|y=x2 1,x R ,这三个集合是不同的例 2.如 P=y|y=x2,x R , Q=y|y=x2 1,xR ,就 PQ 等于（）AP BQ CD不知道思路启发： 类似上题知 P 集合是 y=x2（x R）的值域集合, 同样 Q 集合是 y= x2 1（ xR）的值域集合,这样 PQ 意义就明确了解：事实上, P、Q 中的代表元素都是 y,它们分别表示函数 y=x2,y= x2 1 的值域,由 P=y|y0,Q=y|y 1 ,知 Q P,即 PQ=Q 应选 B例 3. 如 P=y|y=x2,x R ,Q=x ,y|y=x2,x R ,就必有（）AP Q= BP Q CP=Q DP Q 思路启发：有的同学一接触此题立刻得到结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x R 相同,而没有留意到构成两个集合的元素是不同的,P 集合是函数值域集合,Q集合是 y=x2,x R 上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物名师归纳总结 解：正确解法应为：P 表示函数2y=x2 的值域, Q 表示抛物线y=x2 上的点组成的点集,因第 1 页,共 9 页此 P Q=应选 Ax30,就AB= （）例 4 如Ax|x21,Bx|x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A3 B1 CD 1 思路启发：Ax x1,x1,Bx x1,x3,AB1 .解：应选 D点评：解此类题应先确定已知集合题型 2集合元素的互异性集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告知我们,集合中元素的互异性常常被同学在解题中忽视,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的熟悉1例 5. 如 A=2 ,4, a 32 a 2a7,B=1, a1, a 22 a2,2 a 2 3a 8, a3a 23 a 7 ,且 A B=2 ,5 ,就实数 a 的值是 _解答启发： A B=2 ,5 ,a 32 a2a7=5,由此求得a =2 或a =± 1 A=2,4,5 ,集合 B 中的元素是什么,它是否满意元素的互异性,有待于进一步考查当a=1 时,a 22 a2=1,与元素的互异性相违反,故应舍去 a=1当a=1 时, B=1,0,5,2,4 ,与 A B=2 ,5 相冲突,故又舍去 a =1当a=2 时, A=2 ,4, 5,B=1,3,2,5,25 ,此时 A B=2 ,5 ,满意题设故a=2 为所求例 6. 已知集合 A= a ,ab, a2b ,B= a, a c, a c2 如 A=B ,就 c 的值是 _思路启发： 要解决 c 的求值问题, 关键是要有方程的数学思想,此题应依据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式解：分两种情形进行争论（1）如ab= ac 且a2b= a c2,消去 b 得：aa c22 a c=0,a =0 时,集合 B 中的三元素均为零,和元素的互异性相冲突,故 a 0c22c1=0,即 c=1,但 c=1 时, B 中的三元素又相同,此时无解（2）如ab= ac2 且a2b= a c,消去 b 得： 2 a c2a ca=0,1 a 0, 2c2c1=0,即 c12c1=0,又 c 1,故 c=2 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相冲突的增解,这需要解题后进行检验和修正例 7.已知集合 A=x|x2 3x2=0,B=x|x2 ax a 1=0 ,且 A B=A ,就 a 的值为 _思路启发：由 A B=A B A 而推出 B 有四种可能,进而求出 a 的值解： AB=A ,B A , A=1 ,2 , B= 或 B=1 或 B=2 或 B=1 ,2 如 B=,就令 <0 得a；如 B=1 ,就令 =0 得a =2,此时 1 是方程的根；如 B=2 ,就令 =0 得a =2,此时 2 不是方程的根,a ；如 B=1 ,2 就令 >0 得aR 且a 2,把 x=1 代入方程得aR,把 x=2 代入方程得a=3综上a的值为 2 或 3点评：此题不能直接写出 B=1 ,a1 ,由于a1 可能等于 1,与集合元素的互异性冲突,另外仍要考虑到集合 B 有可能是空集,仍有可能是单元素集的情形题型 3要留意把握好证明、判定两集合关系的方法 集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中常常遇到,并且必需解决的问题,名师归纳总结 因此应予以重视 反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的因第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此,在证明（判定）两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去例 8.设集合A= a |a =3n 2,nZ ,集合B=b|b=3k 1,kZ ,就集合A、 B 的关系是_解：任设aA,就a =3n2=3n11n Z,. 的 nZ, n1Z.a B,故AB 又任设bB,就 b=3k1=3k12kZ, kZ, k1Z. bA ,故BA由、知A=B 点评：这里说明a B 或 b A 的过程中,关键是先要变（或凑）出形式,然后再推理例 9 如 A、B、C 为三个集合,ABBC,就肯定有（）A . ACB .CAC .ACD . A考查目的 此题主要考查集合间关系的运算. 解：由ABBC 知,ABB ABCABC ,应选 A. 例 10设集合A1,2,就满意AB1,2,3的集合 B 的个数是（）A . 1 B .3 C .4 D . 8 考查目的 此题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想解：A1,2,AB1,2,3,就集合 B 中必含有元素3,即此题可转化为求集合A1,2子集个数问题,所以满意题目条件的集合B 共有224个 .应选 C. 例 11记关于x的不等式xa0的解集为 P ,不等式x1 的解集为 Qx1（I）如a3,求 P ；（II ）如QP,求正数 a的取值范畴思路启发：先解不等式求得集合P 和Q解：（ I）由x30,得Px1x3x1（II ）Qx x11x0x2由a0,得Px1xa ,又 QP ,所以a0,即a的取值范畴是2,题型 4. 要留意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集明显, 空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合当题设中隐含有空集参加的集合关系时,其特殊性很简单被忽视的,从而引发解题失误例 12. 已知A=x|x2 3x 2=0,B=x|a x2=0 且 AB=A ,就实数 a 组成的集合C 是_解：由 x23x 2=0 得 x=1 或 2当 x=1 时,a =2,当 x=2 时,a =1名师归纳总结 这个结果是不完整的,上述解答只留意了B 为非空集合, 实际上, B=时,仍满意 AB=A ,第 3 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当a=0 时, B=,符合题设,应补上,故正确答案为C=0 ,1,2 例 13已知集合Ax|xa 1,B2 x x5x40如AB,就实数a的取值范畴是思路启发：先确定已知集合A 和 Bx x4,x1 .解：Ax|xa1x a1xa+1 ,Bx x25x40a14,a11.2x3.故实数a的取值范畴是2 3, ,就实数m 的取值范畴是例 14. 已知集合A=x|x2 m2x1=0,x R ,如A R =_思路启发：从方程观点看,集合 A 是关于 x 的实系数一元二次方程 x2m 2x1=0 的解集,而 x=0 不是方程的解,所以由 AR= 可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由判别式转化为关于 m 的不等式,并解出 m 的范畴解：由 AR= 又方程 x2m2x1=0 无零根,所以该方程只有两个负根或无实数根,2m 2 4 0,m 2 0, 或 =m 224<0解得 m0 或 4<m<0,即 m> 4点评：此题简单发生的错误是由 A R = 只片面地推出方程只有两个负根（由于两根之积为 1,由于方程无零根）,而把 A= 漏掉,因此要全面精确懂得和识别集合语言例 15.已知集合 A=x|x2 3x100 ,集合 B=x|p 1x2p1 如 B A ,就实数 p的取值范畴是 _解：由 x23x 100得 2x52 p 13 p 3.欲使 B A ,只须 2 p 1 5 p 的取值范畴是3p3上述解答忽视了 "空集是任何集合的子集 "这一结论,即 B= 时,符合题设应有：当 B时,即 p12p1 p2由 B A 得： 2p1 且 2p15由 3p3 2 p3.当 B= 时,即 p1>2p1 p2由、得： p3点评：从以上解答应看到：解决有关A B=、A B=,AB 等集合问题易忽视空集的情形而显现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度注视问题题型 5要留意利用数形结合解集合问题集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题敏捷直观地获解例 16.设全集 U=x|0<x<10,x N* ,如 AB=3 ,ACUB=1 ,5,7 , CUACUB=9,就集合 A、B 是_思路启发： 此题用推理的方法求解不如先画出文氏图,用填图的方法来得简捷,由图不难看出解： A=1 ,3,5,7 ,B=2 ,3,4,6,8 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 17.集合 A=x|x2 5x60,B=x|x2 3x>0 ,求 A B 和 AB解： A=x|x2 5x60=x|6x1,B=x|x2 3x>0=x|x< 3,或 x>0 如下列图, A B=x| 6x1x|x< 3,或 x>0=R A B=x| 6 x 1 x|x<3,或 x>0=x| 6x 3,或 0<x 1点评：此题采纳数轴表示法,依据数轴表示的范畴,可直观、精确的写出问题的结果例 18.设 A=x| 2<x< 1,或x>1 , B=x|x2 a x b 0,已知AB=x|x> 2 ,A B=x|1<x 3,求a、 b 的值思路启发：可在数轴上画出图形,利用图形分析解答解：如下列图,设想集合 B 所表示的范畴在数轴上移动,明显当且仅当 B 掩盖住集合 x| 1<x<3 ,才能使 A B=x|x> 2 ,且 AB=x|1<x 3依据二次不等式与二次方程的关系,可知1 与 3 是方程 x2a xb=0 的两根,a =13=2, b=1 ×3=3点评： 类似此题多个集合问题,借助于数轴上的区间图形表示进行处理,采纳数形结合的方法,会得到直观、明白的解题成效【专题训练】一.挑选题 : 1设 M=x|x2+x+2=0,a =lglg10 ,就 a 与 M 的关系是（）A、 a =M B、M a C、 a M D、M a 2已知全集U=R,A=x|x- a |<2 ,B=x|x-1| 3 ,且 A B=,就a的取值范畴是（）0,2 B、（ -2,2）C、（ 0,2 D、（ 0, 2）3已知集合 M=x|x= a 2-3 a+2,a R ,N=x|x=b2-b , bR ,就 M ,N 的关系是（）M N B、M N C、 M=N D、不确定4设集合 A=x|x Z 且-10x-1 ,B=x|x Z,且 |x|5 ,就 AB 中的元素个数是（）A、11 B、10 C、 16 D、15 5集合 M=1 , 2,3,4,5 的子集是（）A、15 B、16 C、 31 D、32 6. 集合 M=x|x=kxk 24,kZ,N=x|x=42,kZ, 就 A. M=N B. MN C. MN D. M N=7. 已知集合 A=x|x2 4mx2m 6=0,xR ,如 AR ,求实数 m 的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8 命题甲：方程x2mx 1=0 有两个相异负根；命题乙：方程4x2 4m 2x1=0 无实根,这两个命题有且只有一个成立,求m 的取值范畴 9. 已知集合 A=x| 2x7,B=x|m+1<x<2m1 且 B,如 A B=A ,就 A. 3m4 B. 3<m<4C.2<m<4 D.2<m 4 10集合 M=x x22xa0,xR ,且M.就实数 a 的取值范畴是 A. a-1 B. a1 C. a-1 D.a1 11满意a ,b UM= a ,b,c,d的全部集合M 的个数是（）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 12如命题 P：xAB,就P 是（）A. xAB B. xA 或 xB C. xA 且 xB D. xAB 13已知集合M= 2 a ,a .P=-a ,2 a -1；如 cardMP=3,就 MP= A.-1B.1C.0D.314设集合 P=3,4,5.Q= 4,5,6,7.令 P*Q=a bap bQ ,就 P*Q 中元素的个数是A. 3 B. 7 C. 10 D. 12 二填空题：15已知 M=m|m24Z ,N=x|x23N ,就 M N=_. 1）p1 ,2,3,4,5 ,（ 2）如元素a p,就 6- a16非空集合p 满意以下两个条件：（p,就集合 p 个数是 _. 17设 A= 1,2, B=x xA如用列举法表示,就集合2007B 是 . 18含有三个实数的集合可表示为a,b,12 a,ab,0,就ab2022a三解答题：19设集合 A=x ,y|y= a x+1 ,B=x ,y|y=|x| ,如 A B 是单元素集合,求 a 取值范畴 . 20.设 A=x|x2+px+q=0,M=1 , 3,5,7,9 ,N=1 ,4, 7,10 ,如 AM=,AN=A ,求 p、q 的值 . 21已知集合 22已知集合23已知全集24已知集合M=y|y=x2+1 ,xR ,N=y|y=x+1 ,xR ,求 M NA=x|x2-3x+2=0,B=x|x2-mx+2=0,且 A B=B ,求实数 m 范畴U =R,且Ax x2x120 ,B2 x x4x50,求C AC B . Ax x22x30 ,Bx x2axb0, 且ABR AB x3x4,ABR ABx3x4,求a ,b 的值 . 【参考答案】名师归纳总结 1 C 2. A 3. C 4. C 5. D 第 6 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. C 解析 : 对 M 将 k 分成两类 : k=2n 或 k=2n+1n Z, M=x|x=n +4,nZ x|x=n 3+4 ,nZ, 对 N 将 k 分成四类, k=4n 或 k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3n Z, 35,nZ. N=x|x=n +2,nZ x|x=n +4,nZ x|x=n + ,nZ x|x=n +437解：设全集U =m| =4m242m 6 0=m|m 1 或 m2 如方程 x24mx 2m6=0 的二根为 x1、x2 均非负,就x 1mUm60m3,x 242x x22m3因此, m|m2 关于 U 补集 m|m 1 即为所求8解：使命题甲成立的条件是：21 m 4 0,m 2.x 1 x 2 m 0 集合 A=m|m>2 使命题乙成立的条件是： 2=16m 2216<0, 1m3 集合 B=m|1<m<3 如命题甲、乙有且只有一个成立,就有：（1）mACRB ,（ 2）mCRAB 如为（ 1）,就有： ACRB=m|m>2m|m1或 m3=m|m3 ；如为（ 2）,就有： BCRA=m|1<m<3m|m2=m|1<m2;综合（ 1）、（ 2）可知所求m 的取值范畴是 m|1<m2 ,或 m3 9.D 解析 : AB=A , B A,又 B, m 1 22 m 1 7m 1 2 m 1,即 2m4. 10.C 11.D 12.B 13.D 14.B 二.填空题 : 15.；16. 7 ；17. ,1,2, 1,2 ； 18.-1. 三.解答题 : 19. a 1 或 a-1,提示：画图 . p 8, p 20, p 14,20q 16, 或 q 10, 或 q 40.21解：在集合运算之前,第一要识别集合,即认清集合中元素的特点M 、N 均为数集,不 能 误 认 为 是 点 集 , 从 而 解 方 程 组 ； 其 次 要 化 简 集 合 , 或 者 说 使 集 合 的 特 征 明 朗化 M=y|y=x2+1 ,xR=y|y 1 ,N=y|y=x+1 ,xR=y|y R M N=M=y|y 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 22解：化简条件得A=1 ,2 ,AB=BBA依据集合中元素个数集合B 分类争论, B=,B=1 或2 ,B=1 ,2 当 B=时,=m2-8<0 22m220名师归纳总结 当 B=1 或2 时,1m20或42 m20,m 无解第 8 页,共 9 页12m ,当 B=1 ,2 时,1 22. m=3综上所述, m=3 或22m2223. 解:Ax3x4 ,Bx x1 或 >5,C Ax x3或x4 ,C Bx1x5 ,C AC Bx4x5 .24. 解：Ax x1或x3, ABR . x1x3中元素必是B 的元素 . 又ABx3x4,x3x4中的元素属于B, 故Bx1x3或3x4x1x4. 而Bx x2axb0. -1,4 是方程x2axb0的两根,a=-3,b=-4. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页