2022年高中数学必修四第一章知识点梳理-.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修四第一章学问点梳理一、角的概念的推广 任意角的概念 角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形； 正角、负角、零角按逆时针方向旋转成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所成的角叫做负角,一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角；可见,正确懂得正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针仍是 没有转动； 象限角、轴线角当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合时,那么角的终边在第几象限终边的端点除外 ,就说这个角是第几象限角；当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合时,终边落在坐标轴上的角叫做轴线角； 终边相同角全部与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成集合S= | = +k . 360° ,k Z ,即任一与角 终边相同的角,都可以表示成角 与整数个周角的和；二、弧度制 角度定义制规定周角的1为一度的角,记做1° ,60 进制；360这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,角度制为 弧度制定义 1 、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做 制叫做弧度制；1 弧度记做 1rad ；1 弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位 2 、依据圆心角定理,对于任意一个圆心角 ,它所对的弧长与半径的比与半径的大小无 关,而是一个仅与角 有关的常数,故可以取为度量标准； 弧度数一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是|0. 假如半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧的长为l ,那么,角 的弧度数的肯定值是l r； 的正负由角 的终边的旋转方向打算,逆时针方向为正,顺时针方向为负；三、任意角的三角函数 任意角的三角函数的定义名师归纳总结 设 是一个任意大小的角, 的终边上任意点P 的坐标是x,y,它与原点的距离r第 1 页,共 5 页rx2y20,那么y r；1、比值y r叫做 的正弦,记做 sin,即 sin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、比值x r叫做 的余弦,记做cos,即 cosx；r3、比值y x叫做 的正切,记做tan,即 tany；x另外, 我们把比值x叫做 的余切, 记做 cot,即 cotx；把比值r x叫做 的正割,yy记做 sec,即 secr；把比值r叫做 的余割,记做csc,即 cscr；yyx对于一个确定的角 ,上述的比值是唯独确定的,它们都可以看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射, 是以角为自变量, 以比值为函数值的函数, 诱导公式一 终边相同角的同一个三角函数的值相等；sink .2 sin,cosk .2 cos,tank .2 tan,以上 kZ；我们把它们统称为三角函数；利用此公式,可以把球求任意角的三角函数值化为求 0 到 2 角的三角函数值； 正弦线、余弦线、正切线y1、如下图,设任意角 的终边与单位圆交于点 Px,y,那么sin y y y,Pr 1cos x xx；o M xr 1过点 P x,y作 PMx 轴于 M,我们把线段 MP,OM都看做规定了方向的有向线段：当 MP的方向与 y 轴的正方向一样时,MP是正的；当 MP的方向与y 轴的负方向一样时,MP是负的；因此,有向线段 MP的符号与点 P 纵坐标的符号总是一样的,且|MP|=|y|,即总有 MP=y；同理也有 OM=x成立；从而 sin y MP ,cos x OM ；我们把单位圆中规定了方向的线段MP,OM分别叫做角 的正弦线、余弦线；2、如下图,过A1,0作 x 轴的垂线,交 的终边 OP 的yPTx延长线当 为第一、四象限角时或这条终边的反向延长线当 为其次、三象限角时于点T,借助于有向线段 OA , AT,我们有 tanyATAT；于是,我们OAxOAM把规定了方向的线段AT 叫做 的正切线；特殊地,当 的终边在 x 轴上时,点A 与点 T 重合,tanAT0；当 的终边落在y 轴上时, OP 与垂线平行,正切线不存在；四、同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 依据三角函数的定义,可以推导出同角三角函数间的基本关系；由三角函数定义有siny, cosx, tany x；rrsin22 cosy2x2x2r2y2r21,即sin2cos21；rrr2当k2kZ 时,sin costank2,kZ,即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1,商等于 角的正切其中k2,kZ ； 关于公式sin2cos21的深化；1sinsin2cos21sinsincos2； 1sinsincos如：1sin8sin 4cos4sin 4cos4；1sin8sin 4cos4五、正弦、余弦的诱导公式 诱导公式二sinsin, coscos, tantan； 诱导公式三sinsin, coscos, tantan； 诱导公式四sinsin, coscos, tanZ,就tan；的三角函数,以上几个诱导公式可以表达为：对于k.2 k,等于 的同名函数值,前面加上一个把 看成锐角时原三角函数值的符号；也可以简洁地说成“ 函数名不变,符号看象限”； 诱导公式五sin2cos, cos2sin； 诱导公式六sin2cos, cos2sin；可以概括为：的正弦余弦函数值,分别等于2上一个把 看成锐角时原函数值的符号；也可以简洁地说成“ 函数名转变,符号看象限”；六、两角和与差的正弦、余弦、正切 的余弦正弦函数值,前面加名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 两角和的正弦、余弦、正切sinsin.coscos.sin,coscos.cossin.sin,tantantan；1tantan 两角差的正弦、余弦、正切sinsincoscossin,可以看做 ,进行coscoscossinsin,tantantan；1tantan此处公式较多,可熟记两角和的三个公式,两角的差推导； 积化和差公式sin.cos1 2sinsin,cos.sin1 2sinsin,cos.cos1 2coscos,sin.sin1 2coscos； 和差化积公式sinsin2sin2.cos2,sinsin2cos2.sin2,coscos2cos2.cos2,coscos2sin2.sin2；课后练习题名师归纳总结 1.将 300o 化为弧度为；C7 6；D7 4；第 4 页,共 5 页A4 3；B5 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.假如点Psincos,2cos位于第三象限,那么角所在象限是.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限3以下选项中表达正确的选项是A三角形的内角是第一象限角或其次象限角B锐角是第一象限的角C其次象限的角比第一象限的角大D终边不同的角同一三角函数值不相等名师归纳总结 4以下函数中为偶函数的是1第 5 页,共 5 页Aysin |x|Bysin2xCysinxDysinx5. 12sin2 cos2等于Asin2 cos2 Bcos2sin2 C ±sin2cos2D sin2+cos2 6假设角的终边落在直线y=2x 上,就 sin的值为A. 1B. 5C. 2 5D. 155527. 假设点P 在角的终边的反向延长线上,且OP1,就点 P 的坐标为 Acos,sin;Bcos,sin;Ccos,sin;Dcos,sin;8. 已知角的终边经过点p -3 ,-4 ,就cos2的值为 A.4 B.3 C. 54 D. 53553. 已知、是其次象限的角,且coscos,就 A.; B.sinsin； C.tantan； D.以上都不对9.已知角 的终边经过点P3,3 ,就与 终边相同的角的集合是_ 10. 已知角终边上一点 P 4,3,求cos 211 cos 2sin9的值；sin2- - - - - - -