2022年高中数学解题基本方法待定系数法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高中数学解题基本方法- 待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式 fx gx 的充要条件是：对于一个任意的 a 值,都有 fa ga ；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程；使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判定一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,假如具有,就可以用待定系数法求解；例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、 解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解；使用待定系数法,它解题的基本步骤是：第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式；其次步,依据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程；第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决；如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析：利 用对应系数相等列方程；由 恒等的概念用数值代入法列方程；利 用定义本身的属性列方程；利 用几何条件列方程；比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程：第一设所求方程的形式,其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最终解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程；、再现性题组：1. 设 fxxm,fx 的反函数 f 1 x nx5,那么 m、n 的值依次为 _；2A. 5 , 2 B. 5, 2 C. 5 , 2 D. 5, 2 2 2 2 22. 二次不等式 ax 2 bx2>0 的解集是 1 ,1 ,就 a b 的值是 _；2 3A. 10 B. 10 C. 14 D. 14 3. 在1 x 3 （1x）10 的绽开式中, x 5 的系数是 _；A. 297 B. 252 C. 297 D. 207 4. 函数 yabcos3x b<0 的最大值为3,最小值为1,就 y 4asin3bx 的最小2 2正周期是 _；5. 与直线 L：2x 3y5 0 平行且过点 A1,-4 的直线 L的方程是 _；26. 与 双 曲 线 x 2 y 1 有 共 同 的 渐 近 线 , 且 过 点 2,2 的 双 曲 线 的 方 程 是4_；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【简解】 1 小题：由 fxx m求出 f 1 x 2x2m,比较系数易求,选 C；22 小题：由不等式解集 1 ,1 ,可知1、1 是方程 ax 2 bx20 的两根,代入2 3 2 3两根,列出关于系数 a、 b 的方程组,易求得 ab,选 D；3 小题：分析 x 5的系数由 C10 5 与 1C 10 2 两项组成,相加后得 x 5 的系数,选 D；24 小题：由已知最大值和最小值列出 a、b 的方程组求出 a、b 的值,再代入求得答案；35 小题：设直线 L方程 2x3yc0,点 A1,-4 代入求得 C10,即得 2x3y10 0；2 2 26 小题：设双曲线方程 x 2 y ,点2,2 代入求得 3,即得方程xy 1；4 3 12、示范性题组：例1. 已知函数 ymx2x4 3xn的最大值为7,最小值为 1,求此函数式；21【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m、 n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“ 判别式法”；【解】函数式变形为： y mx 2 4 3 xy n 0, x R, 由已知得 ym 0 4 3 2 4y my n 0 即： y 2 mny mn12 0 不等式的解集为 -1,7,就 1、7 是方程 y 2 mny mn12 0 的两根,1 m n mn 12 0 m 5 m 1代入两根得：解得：或49 7 m n mn 12 0 n 1 n 52 2 y 5 x2 4 3 x 1 或者 yx 4 32 x 5x 1 x 1此题也可由解集 -1,7 而设 y 1y 7 0, 即 y 2 6y70,然后与不等式比较m n 6系数而得：,解出 m、n 而求得函数式 y；mn 12 7【注】在所求函数式中有两个系数 m、n 需要确定,第一用“ 判别式法” 处理函数值域问题,得到了含参数 m、 n 的关于 y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数 m、n；两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m、n 的方程求解；二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出 m、n 的方程组求解；此题要求对一元二次不等式的解集概念懂得透彻,也要求懂得求函数值域的“ 判别式法”：将 y 视为参数,函数式化成含参数 y 的关于 x 的一元二次方程,可知其有解, 利用 0, 建立了关于参数y 的不等式, 解出 y 的范畴就是值域,使用“ 判别式法” 的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载例 2. 设椭圆中心在 2,-1,它的一个焦点与短轴两端连线相互垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是 10 5 ,求椭圆的方程；【分析】求椭圆方程,依据所给条件,确定几何数据 a、b、c 之值,问题就全部解决了；设 a、b、c 后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为 a c y Bx 的值后列出其次个方程；【解】设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c,就 |BF|A F OFAa 2 2 2aa 2 a b2 c 2 b 2解得：a 10 B b 5a c 10 52 2 所求椭圆方程是：xy1 10 5也可有垂直关系推证出等腰 Rt BBF后,由其性质推证出等腰 Rt BOF ,再进行如下b c列式：a c 10 5,更简单求出 a、b 的值；2 2 2a b c【注】圆锥曲线中,参数（a、b、c、 e、p）的确定,是待定系数法的生动表达；如何确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式；在曲线的平移中,几何数据（a、 b、c、e）不变,此题就利用了这一特点,列出关于 ac 的等式；一般地, 解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是： 设方程（或几何数据）几何条件转换成方程求解已知系数代入；例 3. 是否存在常数 a、b、c,使得等式 1· 2 2 2· 3 2 nn 1 2n n 1 an 212bnc 对一切自然数 n 都成立？并证明你的结论；（89 年全国高考题）【分析】 是否存在, 不妨假设存在； 由已知等式对一切自然数 n 都成立, 取特别值 n 1、2、3 列出关于 a、 b、c 的方程组,解方程组求出 a、b、c 的值,再用数学归纳法证明等式对全部自然数 n 都成立；【解】假设存在 a、b、c 使得等式成立,令：n1,得 4161 4a 2bc ；n3,得 709a3bc；整理得：2a b c 24 a 34 a 2 b c 44 , 解得 b 11,9 a 3 b C 70 c 10a bc ；n2,得 22名师归纳总结 于是对n1、2、3,等式1·222·32 nn 12 n n 121 3n2 11n10第 3 页,共 5 页成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数n,该等式都成立：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2 11k10 ；假设对 nk 时等式成立, 即 1· 22 2· 32 kk 12 k k 121 3k当 nk1 时, 1·10 k 1k 22 2 2· 3 2 kk 1 2 k 1k 2 2 k k122 k k 1 k 2 （ 3k5） k 1k 2 2 1213k2 11kk1 k212（3k25k12k 24）k1 k23k 1211k 1 10 ,12也就是说,等式对nk1 也成立；综上所述,当a8、b 11、c 10 时,题设的等式对一切自然数n 都成立；【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特别值代入而得到；此种解法中,也体现了方程思想和特别值法；对于是否存在性问题待定系数时,可以依据先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行；此题假如记得两个特别数列 1 3 2 3 n 3、1 22 2 n 2 求和的公式, 也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解：由 nn 1 2 n 3 2n 2n 得 S n 1· 2 2 2·3 2 nn 1 21 3 2 3 n 3 21 2 2 2 n 2 2 21 2 n n n 1 2×n n 1 2 n 1 n n 1 n n 1 3n 2 11n4 6 2 1210 ,综上所述,当 a8、b 11、c 10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立；例 4. 有矩形的铁皮, 其长为 30cm,宽为 14cm,要从四角上剪掉边长为 xcm 的四个小正方形, 将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问 x 为何值时, 矩形盒子容积最大,最大容积是多少？【分析】实际问题中,最大值、最小值的讨论,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的讨论；【解】依题意,矩形盒子底边边长为 30 2xcm,底边宽为 14 2xcm,高为 xcm； 盒子容积 V 30 2x14 2xx 415 x7 xx ,明显 :15 x>0,7x>0,x>0；名师归纳总结 设 V4 ab15a ax7b bxx a>0,b>0）21× 27576；第 4 页,共 5 页要使用均值不等式,就ab10bxx15 aax7 b解得： a1 4, b 3 4, x 3 ；15从而 V64 315 4x 421 43 4xx 64 3434364 3所以当 x3 时,矩形盒子的容积最大,最大容积是576cm 3 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【注】均值不等式应用时要留意等号成立的条件,当条件不满意时要凑配系数,可以用“ 待定系数法” 求；此题解答中也可以令V4 ab15a ax7 xbx 或415 x7a abaxbx ,再由使用均值不等式的正确条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,此题也表达了“ 凑配法” 和“ 函数思想”；、巩固性题组：1. 函数 ylog ax 的 x2,+ 上恒有 |y|>1 ,就 a 的取值范畴是 _；A. 2>a>1 且 a 1 B. 0<a<1 或 1<a<2 C. 1<a<2 D. a>2 或 0<a<12 2 22. 方程 x 2px q0 与 x 2 qxp0 只有一个公共根,就其余两个不同根之和为_；A. 1 B. 1 C. p q D. 无法确定3. 假如函数 ysin2x a·cos2x 的图像关于直线 x 对称,那么 a_；8A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 4. 满意 Cn 0 1·Cn 1 2· Cn 2 n·Cn n <500 的最大正整数是 _；A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 无穷等比数列 a n 的前 n 项和为 S n a1 n , 2就全部项的和等于_；kA. 1 2 B. 1 C. 1 D.与 a 有关26. 1 kx9 b 0 b 1 xb 2 x2 b 9 x9 ,如 b 0 b1 b 2 b 9 1,就_；7. 经过两直线11x3y90 与 12xy190 的交点,且过点3,-2的直线方程为_；名师归纳总结 8. 正三棱锥底面边长为2,侧棱和底面所成角为60° ,过底面一边作截面,使其与底第 5 页,共 5 页面成 30° 角,就截面面积为_；9. 设 yfx 是一次函数,已知f8 15, 且 f2 、f5 、f14成等比数列,求f1f2 fm 的值；10. 设抛物线经过两点-1,6和-1,-2,对称轴与x 轴平行,开口向右,直线y 2x7 和抛物线截得的线段长是410 , 求抛物线的方程；- - - - - - -