2022年高中数学不等式【概念方法题型易误点及应试技巧总结】.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一不等式的性质 ：a1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：如ab cd ,就 acbd （如b cd,就 acbd ）,但异向不等式不行以相加；同向不等式不行以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除； 异向不等式可以相除 ,但不能相乘：如ab0,cd0,就 acbd （如ab0,0cd ,就a cb d）；nanb ；3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：如ab0,就ann b 或4如ab0, ab ,就1 a1；如ab0, ab ,就1 a1；如0；bb（1）对于实数a,b,c中,给出以下命题：bc2, 就ab；如ab ,就ac2bc2；如ac2b0 就11；如ab,0就a2abb2；如aab如ab0,就ba；如ab,0就ab；abb,11,就a0,b 如 c a b 0 , 就 ac其中正确的命题是 _ acbb；如aab（答：）；（2）已知1xy1,1xcy3,就 3xy 的取值范畴是 _ xy7）；（答： 13（3）已知abc,且ab0,2,1）就c 的取值范畴是 _ a（答：二不等式大小比较的常用方法：21作差：作差后通过分解因式、配方等手段判定差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；名师归纳总结 （t7查找中间量或放缩法；1时,1 2logatlogat21第 1 页,共 4 页8图象法；其中比较法（作差、作商）是最基本的方法；如（1）设a0 且a,1t0,比较1loga和logat21的大小2（答：当a1时,1 2logatlogat21（t1时取等号）；当 0a1时取等号）；（2）设a2,paa12,q2a24a2,试比较p,q的大小（答： pq）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）比较 1+log x3与2logx2 x0 且x1的大小（答：当 0 x 1 或 x 4时, 1+ log x 3 2log 2；当 1 x 4时, 1+ log x 3 2log 2；3 3当 x 4 时, 1+ log x 3 2log 2 x）3三利用重要不等式求函数最值 时,你是否留意到：“ 一正二定三相等,和定积最大,积定和最小 ” 这 17 字方针； 如（1）以下命题中正确选项A、yx1的最小值是 2 （答： C）；xB、yx23的最小值是 2 x 22C、y23x4x0的最大值是 24 3xD、y23x4x0的最小值是 24 3x（2）如x2y1,就 2x4y 的最小值是 _ （答： 2 2 ）；（3）正数,x y 满意x2y1,就11的最小值为 _ xy4. 常用不等式 有：（1）（答： 32 2 ）；2a2b2c2a2bbcab1 a21 b依据目标不等式左右的运算结构2选用 ；（2）a、b、cR,ab2abca （当且仅当 abc时,取等号）；（3）如ab0,m0,就b abm m（糖水的浓度问题）；如a假如正数 a 、 b 满意abab3,就 ab 的取值范畴是 _ （答： 9,）五证明不等式的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法 通过分解因式、配方、通分等手段变形判定符号或与比较法的步骤是：作差（商）后 1 的大小,然后作出结论； . 名师归纳总结 常用的放缩技巧有：1n1111111n111lgalgblgc ；第 2 页,共 4 页nn nn2n nnk1kk1k21kk1kkk111；如（ 1）已知abc,求证：a2bb2cc2aab2bc2ca22 已知a ,b,cR,求证：a2b2b2c2c2a2abc abc；a（3）已知a b x yR ,且1 a1 , x by,求证：xxayyb；4 如 a、b、c 是不全相等的正数,求证：lga2blgb2clgc2（5）已知a,b ,cR,求证：2 a b22 b c22 c a2abc abc ；6 如n* N ,求证：n2 11n12 n1n ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7 已知 |a| |b ,求证：|a|b|a|b|；|ab|ab|（8）求证：1 1 2 1 2 2 3 六简洁的一元高次不等式的解法1 2 2；n：标根法：其步骤是： （1）分解成如干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并留意 奇穿过偶弹回 ；（3）依据曲线显现 f x 的符号变化规律,写出不等式的解集；如（1）解不等式 x 1 x 2 2 0；（答： x x 1 或 x 2）；（2）不等式 x 2 x 22 x 3 0 的解集是 _ （答： x x 3 或 x 1）；（3）设函数 f x 、g x 的定义域都是 R,且 f 0 的解集为 x |1 x 2,g x 0 的解集为,就不等式 f x g x 0 的解集为 _ （答： ,1 2, ）；（4） 要使满意关于 x 的不等式 2 x 2 9 x a 0（解集非空）的每一个 x 的值至少满意不等式 x 2 4 x 3 0 和 x 2 6 x 8 0 中的一个,就实数 a 的取值范畴是 _. （答：7, 81）8七分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式, 并使每一个因式中最高次项的系数为正,最终用标根法求解；解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母；如（1）解不等式 2 5 x1x 2 x 3（答： 1,1 2,3 ）；（2）关于 x 的不等式 ax b 0 的解集为 ,1 ,就关于 x 的不等式 ax b 0 的解集为x 2_ （答： , 1 2 , ）.八肯定值不等式的解法：1分段争论法（ 最终结果应取各段的并集）：如解不等式 | 2 3x | 2 | x 1 |4 2（答： x R）；（2）利用肯定值的定义；名师归纳总结 - - - - - - -（3）数形结合； 如 解不等式 |x|x1|3（答： , 12, ）（4）两边平方： 如如不等式 | 3x2| | 2xa 对 xR恒成立,就实数 a的取值范畴为 _；（答：4）3九含参不等式的解法 ：求解的通法是“ 定义域为前提,函数增减性为基础,分类争论是关键” 留意解完之后要写上：“ 综上,原不等式的解集是, ” ；留意 ：按参数争论,最终应按参数取值分别说明其解集；但如按未知数争论,最终应求并集. 如（1）如loga21,就 a 的取值范畴是 _ 3第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - （答：a1或0a2）；|1x0或x0）3（2）解不等式ax21x aRax（答：a0时,x|x0；a0时,x x1 a或x0；a0时,xa提示：（1）解不等式是求不等式的解集,最终务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值；如 关于 x 的不等式ax b 0 的解集为 1,就不等式 x 2 0 的解集为 _（答：（ 1,2）ax b十一含肯定值不等式的性质：a、b 同号或有 0 | a b | | a | | b | | a | | b | | a b ；a、b 异号或有 0 | a b | | a | | b | | a | | b | | a b . 2如设 f x x x 13,实数 a 满意 | x a | 1,求证： | f x f a | 2| a | 1十二不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等问题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“ 分别变量法” 转化为最值问题,也可抓住宅给不等式的结构特点,利用数形结合法）1. 恒成立问题名师归纳总结 - - - - - - -如不等式fxA在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上fxminA如不等式fxB在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上fxmaxB如（ 1）设实数x y 满意x2y2 11,当xyc0时, c 的取值范畴是 _ （答：21,）；（2）不等式x4x3a对一切实数 x 恒成立,求实数 a的取值范畴 _ （答：a1）；（3）如不等式2x1m 2 x1对满意m2的全部 m 都成立,就 x 的取值范畴 _ （答：（71,31）；22（4）如不等式1 na21n1对于任意正整数 n 恒成立,就实数 a 的取值范畴是 _ n（答： 2,3）；2（5）如不等式x22mx2 m10对 0x1的全部实数 x 都成立,求 m 的取值范畴 . （答：m1）22.能成立问题如在区间 D 上存在实数 x使不等式fxA成立 , 就等价于在区间 D 上fxmaxA ；如在区间 D 上存在实数 x使不等式fxB成立 , 就等价于在区间 D 上的fxminB . 如已知不等式x4x3a在实数集 R 上的解集不是空集,求实数a 的取值范畴 _ （答：a1）3.恰成立问题如不等式fxA在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxA的解集为 D ；如不等式fxB在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxB的解集为 D . 第 4 页,共 4 页
