2022年高中数学三角形形状的判定 .pdf

学习好资料欢迎下载(微 lily2064) 高中数学三角形形状的判定判断三角形的形状的特征，必须深入地研究边、角间的关系，解决这类问题：1、 基本知识点： （1）等腰三角形a=b 或 A=B （2）直角三角形222abc或 A=90（3）钝角三角形222abc或 A90（4） 锐角三角形若 a 为最大边且222abc或 A 为最大角且A902、基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进行代换、转化。逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：（1）统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；（2）统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等；常见的题型有：一、利用三角形三边的代数关系直接判断1、 在三角形 ABC 中，三边 a、b、c 满足:2:6 :(31)a b c，试判断三角形的形状。解析：abc则 c 边最大，且242 3c，228ab，222cab，则最大角C 为锐角，所以三角形为锐角三角形。二、运用三角函数的关系直接判断2、 （ 05 北京）在ABC中已知2sincossin,AAC那么ABC一定是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形三角形D、正三角形解析：(),sinsin()2sincossin(),sincoscossin0sin()0,CABCABABABABABABA B C又是三角形的内角A-B=0,则选B3、在ABC中，已知sinsinBCcos22A，试判断此三角形的类型.解析：sinsinBCcos22AsinsinBC2cos1A2sinsinBC1cos180()BC将cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC代入上式得cosBcosC+sinBsinC=1cos（BC） 1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载又 0B，C， BC BC0 BC故此三角形是等腰三角形.评述： (1) 此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cosA2cos22A1 的逆用 .(2) 由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形三、运用向量进行判断4、(06 陕西卷 ) 已知非零向量 AB与AC满足 (AB|AB|+AC|AC|)BC=0 且AB|AB|AC|AC|=12, 则ABC 为( ) A、三边均不相等的三角形B、直角三角形C、等腰非等边三角形D、等边三角形解析： 非零向量与满足(|ABACABAC) =0，即角 A 的平分线垂直于BC，AB=AC，又cosA| |ABACABAC=12， A=3，所以 ABC 为等边三角形，选D5、在ABC中，设,BCa CAb ABc若,a bb cc a判断ABC的形状。解析：0abc，22,()abc abc，2222aba bc同理2222bcb ca，两式相减，得22222()aca bb cca，a bb c，2a=2c，ac，同理ab，abc，故ABC是等边三角形。四、运用正（余）弦定理判断6、在 ABC 中，coscosbAaB试判断三角形的形状分析 ：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析 .解法一： 利用余弦定理将角化为边. coscosbAaBbacbcaabcacb22222222b2c2a2a2c2b2a2b2ab故此三角形是等腰三角形.解法二： 利用正弦定理将边转化为角.coscosbAaB又2sin,2sinbRB aRA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2RsinBcosA=2RsinAcosBsinAcosB-cosAsinB=0sin （AB） 00A，B， ABAB0 即AB故此三角形是等腰三角形.评述： (1) 在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边， 走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路. 通常是运用正弦定理 .要求学生要注重边角转化的桥梁正、余弦定理；(2) 解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一 定 要 先 确 定 角 的 范 围 . 另 外 ， 也 可 运 用 同 角 三 角 函 数 的 商 数 关 系 ， 在 等 式sinBcosA=sinAcosB端同除以sinsinAB得cotcotAB，再由 0A，B，而得AB. 7、在ABC中，如果lg alg c=lg sinlg2B，且角B为锐角，判断此三角形的形状。解 析 ： 由lg alg c=lg sinlg2B， 得l g s i nl g2B2lg2，2sin2B，又B是锐角，45B，又lg alg clg2，即22lglg,22aacc由 正 弦 定 理 ， 得 ：sin2sin2AC，2 sin2sin,180CAABC，180ACB18045C135C，2 sin2sin(135)CC，sinsincos,CCCcos0,90CC故此三角形是等腰直角三角形。巩固练习： 在ABC中，若22tan: tan:,ABab试判断ABC的形状。解一： 由已知条件及正弦定理可得22sincossincossinsinABAABB，,A B为三角形的内角，sin0,sin0AB，sin 2sin 2 ,22ABAB或22AB，AB或2AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解二： 由已知条件及正弦定理可得sincossincosAABB22sinsinAB，即cossincossinBAAB，由正弦定理和余弦定理可得22222222acbacbcabc=ab，整理，得4222240aa cb cb，即22()ab222()0abc，222220ababc或，222ababc或ABC为等腰三角形或直角三角形。小结： 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边， 再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。本题的两种解法，就是通过两种不同的转化来实现的。求解有关三角形的形状问题时，除了要掌握正、 余弦定理并能熟练运用它们外，还应掌握：（1）三角形的内角和定理A+B+C=，大边对大角；（2）sin()sin,sincos22ABCABC等；（3）三角形面积公式111sinsinsin222SabCbcAcaB。（4）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -