2022年高中数学北师大版选修-《简单复合函数的求导法则》word教案 .pdf

5 简单复合函数的求导法则一、教学目标： 1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。二、教学重点： 简单复合函数的求导法则的应用教学难点： 简单复合函数的求导法则的应用三、教学方法： 探析归纳，讲练结合四、教学过程（一） 、复习： 两个函数的和、差、积、商的求导公式。1. 常见函数的导数公式：0C；1)(nnnxx；xxcos)(sin；xxsin)(cos2.法则 1 )()()()(xvxuxvxu法则 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x, ( )( )Cu xCux法则 3 2(0)uu vuvvvv（二） 、引入新课海上一艘油轮发生了泄漏事故。 泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积 S (单位： m2)是油膜半径 r(单位： m)的函数：2)(rrfS。油膜的半径 r 随着时间 t（单位： s）的增加而扩大，假设r 关于 t 的函数为12)(ttr。油膜的面积 S关于时间 t 的瞬时变化率是多少？分析：由题意可得S关于 t 的新的函数：2)12()(ttfS。油膜的面积 S关于时间 t 的瞬时变化率就是函数)(tfS的导函数。) 144() 12()(22ttttf，)12(4)48()(tttf。又rrf2)(，2)(t，可以观察到22)12(4rt，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 即)()()(trftf。一般地，对于两个函数)(ufy和baxxu)(，给定 x 的一个值，就得到了 u 的值，进而确定了 y 的值，这样 y 可以表示成 x 的函数，我们称这个函数为函数)(ufy和)(xu的复合函数，记作)(xfy。其中 u 为中间变量。复合函数)(xfy的导数为：)()()(xufxfyx(xy 表示 y对 x 的导数 ) 复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数， 等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代例 1、试说明下列函数是怎样复合而成的？32)2(xy；2sin xy；)4cos(xy；)13sin(lnxy解：函数32)2(xy由函数3uy和22xu复合而成；函数2sin xy由函数uysin和2xu复合而成；函数)4cos(xy由函数uycos和xu4复合而成；函数) 13sin(lnxy由函数uyln、vusin和13xv复合而成说明：讨论复合函数的构成时，“ 内层” 、“ 外层” 函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等例 2、求函数13xy的导数。解： 引入中间变量13)(xxu， 则函数13xy是由函数21)(uuuf与)(xu13x复合而成的。根据复合函数求导法则可得：1323321)()(13xuxufx例 3、求函数3)12( xy的导数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 解：引入中间变量12)(xxu，则函数3) 12( xy是由函数3)(uuf与)(xu12x复合而成的。根据复合函数求导法则可得：223)12(623)()(12xuxufx注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导. 例 4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位： cm） 。关于时间 t（单位： s）的函数为12100)(tthy，求函数在 t=3 时的导数，并解释它的实际意义。解：函数12100)(tthy是由函数xxf100)(与12)(ttx复合而成的，其中 x 是中间变量。22)12(2002100)()()(txtxfthyt。将 t=3 代入)(th得：49200)3(h（cm/s） 。它表示当 t=3 时，水面高度下降的速度为49200cm/s。（三） 、小结 ：复合函数的求导， 要注意分析复合函数的结构， 引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代（四） 、练习： 课本51P 练习. （五） 、作业： 课本51P 习题 2-5： 2、3、5 五、教后反思：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -