2022年高中数学平面向量习题及答案 4.pdf

第 1 页 共 9 页第二章平面向量一、选择题1 在 ABC 中，ABAC， D，E 分别是 AB，AC 的中点，则() A AB 与 AC 共线B DE 与 CB 共线C AD 与 AE 相等D AD 与 BD 相等2下列命题正确的是() A向量 AB 与 BA 是两平行向量B若 a，b都是单位向量，则abC若 AB DC ，则 A，B，C，D 四点构成平行四边形D两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点 A(3，1) ，B( 1，3) ，若点 C 满足 OCOA OB ，其中，R，且1，则点 C 的轨迹方程为 () A3x2y110 B( x1)2( y1)25C2xy0 Dx2y50 4已知 a、b 是非零向量且满足( a2b) a，( b2a) b，则 a 与 b 的夹角是 () A6B3C23D565 已知四边形ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上( 不包括端点A， C) ， 则 AP () A ( AB AD ) ， ( 0，1)B ( AB BC ) ， ( 0，22)C ( AB AD ) ， ( 0，1)D ( AB BC )， ( 0，22)6 ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点，则DF () A EF EDB EF DEC EF ADD EF AF7若平面向量a 与 b 的夹角为60 ，| b| 4，( a2b) ( a3b) 72，则向量a 的模为 () ( 第 1 题)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 9 页A2 B4 C6 D12 8点 O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ，则点 O 是 ABC 的() A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点9在四边形ABCD 中， AB a2b， BC 4ab，DC 5a3b，其中a，b 不共线，则四边形ABCD 为() A平行四边形B矩形C梯形D菱形10如图，梯形ABCD 中， | AD | BC |， EF AB CD 则相等向量是 () A AD 与 BCB OA 与 OBC AC 与 BDD EO 与 OF二、填空题11已知向量 OA(k，12) ， OB (4，5) ，OC ( k，10) ，且 A，B，C 三点共线，则k12已知向量a(x3，x23x4) 与 MN 相等，其中M( 1，3) ，N(1，3) ，则x13已知平面上三点A，B，C 满足|AB| 3，|BC| 4，|CA| 5，则 AB BC BC CA CA AB 的值等于14给定两个向量a(3，4) ，b( 2， 1) ，且 ( amb) ( ab) ，则实数m 等于15已知 A，B，C 三点不共线， O 是 ABC 内的一点，若OA OB OC 0，则 O是 ABC 的( 第 10 题)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 9 页16设平面内有四边形ABCD 和点 O， OA a， OB b， OC c, OD d，若 acbd，则四边形ABCD 的形状是三、解答题17已知点 A( 2，3) ，B(5，4) ，C(7，10) ，若点 P 满足 AP AB AC ( R)，试求 为何值时，点P 在第三象限内？18如图，已知ABC，A(7，8) ，B( 3，5) ，C( 4，3) ，M，N，D 分别是AB，AC，BC 的中点，且MN 与 AD 交于 F，求 DF ( 第 18 题)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 9 页19如图，在正方形ABCD 中， E，F 分别为 AB，BC 的中点，求证：AFDE( 利用向量证明 ) 20已知向量a( cos ，sin ) ，向量 b(3， 1) ，则 | 2ab| 的最大值( 第 19 题)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 9 页参考答案一、选择题1B 解析：如图，AB 与 AC ， AD 与 AE 不平行，AD 与 BD 共线反向2A 解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对若AB DC ，可能 A，B，C，D 四点共线，故C 不对两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对3D 解析：提示：设OC( x，y) ，OA( 3，1) ，OB( 1，3) ，OA( 3 ，) ，OB( ，3 ) ，又OAOB( 3 ，3 ) ， ( x， y) (3 ，3 )，33yx，又 1，由此得到答案为D4B 解析： ( a2b)a，(b2a) b，(a2b) aa22ab0，( b2a)bb22ab0， a2b2，即 | a| | b| | a|22| a| b| cos 2| a|2cos 解得 cos 21 a 与 b 的夹角是35A 解析：由平行四边形法则，AB AD AC ，又 AB BC AC ，由 的范围和向量数乘的长度， (0，1) 6D 解析：如图，AF DE ，DF DE EF EF AF (第 6 题)( 第 1 题)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 9 页7C 解析：由 ( a2b)( a3b) 72，得 a2ab6b2 72而| b| 4，ab| a| b| cos 60 2| a| ， | a|22| a| 96 72，解得 | a| 68D 解析：由OA OB OB OC OC OA ，得 OA OB OC OA , 即 OA ( OC OB ) 0，故 BC OA 0， BC OA ，同理可证AC OB ， O 是 ABC 的三条高的交点9C 解析： AD AB BC DC8a2b2 BC ， AD BC 且| AD | BC | 四边形 ABCD 为梯形10D 解析： AD 与 BC ， AC 与 BD ， OA 与 OB 方向都不相同，不是相等向量二、填空题1132解析： A，B，C 三点共线等价于AB ， BC 共线，AB OB OA ( 4，5) (k，12) (4k， 7) ，BC OC OB ( k，10) ( 4，5) ( k4，5) ，又 A，B，C 三点共线， 5(4k) 7( k4) ，k3212 1解析：M( 1，3) ，N( 1，3) ，MN (2，0) ，又 aMN，043232xxx解得411xxx或名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共 9 页 x 113 25解析：思路1：AB 3， BC 4， CA 5， ABC 为直角三角形且ABC90 ，即 AB BC ， AB BC 0，AB BC BC CA CA ABBC CA CA AB CA ( BC AB ) ( CA )2 2CA 25思路 2：AB 3， BC 4， CA 5， ABC90 ， cosCABCAAB53，cosBCACABC54根据数积定义，结合图( 右图 ) 知 AB BC 0，BC CA BC CA cosACE45( 54) 16，CA AB CA AB cosBAD35( 53) 9AB BC BC CA CA AB 0169 2514323解析： amb( 32m，4m) ，ab(1，5) ( a mb) (ab) ， ( a mb) (ab) ( 32m) 1( 4m)50m32315答案：重心解析：如图，以 OA ，OC 为邻边作AOCF 交 AC 于( 第 15 题)D( 第 13 题)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 9 页点 E，则 OF OA OC ，又OA OC OB ， OF 2OE OB O 是 ABC 的重心16答案：平行四边形解析：acbd， abdc， BA CD 四边形 ABCD 为平行四边形三、解答题17 1解析：设点P 的坐标为 ( x，y) ，则 AP (x，y)( 2，3) ( x2，y3) AB AC ( 5，4) ( 2，3) ( 7，10)( 2，3) ( 3， ) ( 5，7)( 35 ， 7 ) AP AB AC ， ( x 2，y3) ( 35 ，17 ) 713532yx即7455yx要使点 P 在第三象限内，只需074055解得 118 DF (47，2) 解析：A( 7，8) ，B(3，5) ，C(4，3) ，AB ( 4， 3) ， AC (3， 5) 又 D 是 BC 的中点，AD 21( AB AC ) 21( 43， 35)21( 7， 8) ( 27， 4) 又 M，N 分别是 AB，AC 的中点， F 是 AD 的中点，DF FD 21AD 21( 27， 4)(47，2) ( 第 18 题)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 9 页19证明：设AB a， AD b，则 AF a21b，EDb21aAF ED (a21b) ( b21a) 21b221a243ab又AB AD ，且 AB AD ，a2b2，ab0AF ED 0， AF ED 本题也可以建平面直角坐标系后进行证明20分析：思路1：2ab(2cos 3，2sin 1) ， | 2ab|2(2cos 3)2(2sin 1)284sin 43cos 又 4sin 43cos 8(sin cos3cos sin3) 8sin( 3) ，最大值为8， | 2ab|2的最大值为16， | 2ab| 的最大值为4思路 2：将向量2a，b 平移，使它们的起点与原点重合，则| 2ab| 表示 2a，b 终点间的距离 | 2a| 2，所以 2a 的终点是以原点为圆心，2 为半径的圆上的动点P，b 的终点是该圆上的一个定点Q，由圆的知识可知，| PQ| 的最大值为直径的长为4(第 19 题)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -