2022年高中绝对值不等式--适合高三复习用--可直接打印.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 肯定值不等式肯定值不等式 |ab| |a|b , |ab| |a|b|基本的肯定值不等式：|a|-|b|a ± b| |a|+|b| y=|x-3|+|x+2|x-3-x+2|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是 5,没有最大值|y|=|x-3|-|x+2|x-3-x+2|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y| 5 得-5 y5 即函数的最小值是-5 ,最大值是5 也可以从几何意义上懂得,|x-3|+|x+2|表示 x 到 3,-2 这两点的距离之和,明显当 -2 x3 时,距离之和最小, 最小值是 5；而 |x-3|-|x+2| 表示 x 到 3,-2 这两点的距离之差,当 x-2 时,取最小值 -5 ,当 x3 时,取最大值 5 变题 1解以下不等式： 1| x+1|>2 x；2| x 2 x6|<3 x名师归纳总结 思路利用fx <gx -gx<fx<gx和第 1 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx >gx fx>gx或 fx<-gx去掉肯定值后转化为我们熟识的一元一次、一元二次不等式组来处理；解： 1 原不等式等价于x +1>2 x 或 x +1<2 x 解得 x >1 2或无解,所以原不等式的解集是 x | x >1 2 2 原不等式等价于3 x <x 2 x 6<3 x即x22x633xx2xx60x3x20x13 或x2x22x6xx2560x1x60x62< x <6 所以原不等式的解集是 x |2< x<6 x3x4 1解不等式 1x-x2-2 >x2-3x-4 ；221 解：1分析一可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：x-x2-2>x2-3x-4 或 x-x2-2<-x2-3x-4 解得： 1-2 <x<1+2解得： x>-3 故原不等式解集为分析二 x-xxx>-3 2-2 x 2-x+2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 7而 x 2-x+2 x-4 2+ 4>0 所以 x-x 2-2 中的肯定值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4 解得： x>-3 原不等式解集为x>-3 3 x2分析 不等式可转化为-1 21 求解,但过x 43 x程较繁,由于不等式 21 两边均为正,所以可平方后x 4求解 . 原不等式等价于3x241 2 x9x2x2-42 x ± 2 x4-17x2+16 0 x21 或 x216 -1 x1 或 x4 或 x-4 留意：在解肯定值不等式时,假设fx中的 fx 的值的范畴可确定 包括恒正或恒非负,恒负或恒非正 ,就可直接去掉肯定值符号,从而简化解题过程 . 第 2 变 含两个肯定值的不等式变题 2解不等式 1| x 1|<| x + a| ；2x-2 +x+3>5. fx思路1题由于两边均为非负数,因此可以利用 gx f2x g 2x 两边平方去掉肯定值符号；2题可采纳零点分段法去肯定值求解；解题1由于 | x 1| 0,| x+a| 0,所以两边平方后有：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - | x 1|2 <| x +a |2a2即有x 2 x +1<x +2 ax+a ,整理得 2 a +2 x >1当 2 a+2>0 即 a >1 时,不等式的解为 x >1 21 a ；当 2 a +2=0 即 a =1 时,不等式无解；当 2 a+2<0 即 a <1 时,不等式的解为x<1 1 2a2解不等式 x-2 +x+3>5. 解：当x-3时,原不等式化为2-x-x+3>5-2x>6x<-3. 5>5 无解 . 当-3<x<2 时,原不等式为2-x+x+3>5当 x2 时,原不等式为x-2+x+3>52x>4x>2. 综合得：原不等式解集为x x>2 或 x<-3 . 请你试试42x | a >01 解关于 x 的不等式|log 1x | | log 1且 a 1 解 析 ： 易 知 1< x <1 , 换 成 常 用 对 数 得 ：名师归纳总结 |lg1ax | |lg1ax | lg1xx2 |第 4 页,共 29 页lglg| lg1x2 |于是2 lg 1x2 lg 10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lg1x xlg1x lg1x lg1x 0lg12lg1x x01 1< x <1 20<1x <1 lg 1 x <0 lg 11 xx<0 0 1 x 11 x解得 0< x <1 2不等式 |x+3|-|2x-1|<x+1 的解集为；2解：名师归纳总结 |x+3|-|2x-1|=4xx1 2x1x>2 x2第 5 页,共 29 页4x23x2当x1时x4x3 4xx1221 当-3<x< 2x 时 4x+2< 2+1 37x4x13当x3时2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综上x2或 x>2 7故填,2 712 ,；1x1的解集 . 3求不等式logxlog333解：由于对数必需有意义,即解不等式组名师归纳总结 x03x1第 6 页,共 29 页31x0,解得 0x3又原不等式可化为log3xlog3等式化为1当0x1时,不log3xlog33x1即log33xlog 3x综 合 前 提 得 ：3x3xx340x3；4xlog 3. 2 当 1<x2 时,即log 3xlog 33x23x30x；3xlog 3 31当 2x3时,log3xlog3, 结 合 前 提 得 ：2x3 3xx949x3；4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综合得原不等式的解集为0,39,344第 3 变 解含参肯定值不等式变题 3解关于 x 的不等式x24 mx4 m2m3思路 此题假设从外表现象看当含一个根号的无理根式不等式来解,运算理较大；假设化简成|x2m|m3,就解题过程更简洁；在解题过程中需依据肯定值定义对m3的正负进行争论；解题原不等式等价于|x2m|m3时6 ,当m30即m3x2mm3 或x2mxm3 x3 m3 或xm3| x6|0当m30即m3时,当m30即m3时,xR 请你试试431解关于x的不等式：xxa2a2a09分析：本例主要复习含肯定值不等式的解法,分类争论的思想；此题的关键不是对参数a 进行争论,而是去肯定值时必需对末知数进行争论,得到两个不等式组,最终对两个名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 不等式组的解集求并集,得出原不等式的解集；解aa 时,不等式可转化为：xxaa2 a2即xx2a当2a20x9x99axx3b17a当xa 时不等式可化为xax2 a2即xx2a9 ax2 a20ax a9xa或2 axa33故不等式的解集为,a2 a,3617a；332关于 x 的不等式 | kx 1| 5 的解集为 x | 3 x 2 ,求 k 的值；按肯定值定义直接去掉肯定值符号后,由于 k 值的不确定,要以 k 的不同取值分类处理；名师归纳总结 解：原不等式可化为4 kx 6 x6 k, 依 题 意 有第 8 页,共 29 页当 k >0时 , 进 一 步 化 为4k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6423k4,此时无解；k3k3k当 k =0 时,明显不满意题意；当 k <0 时,6x4 k,依题意有642k2kk3k综上, k =2；第 4 变 含参肯定值不等式有解、解集为空与恒成立问题变题 4假设不等式 | x4|+|3 x|< a 的解集为空集,求 a的取值范畴；思路此不等式左边含有两个肯定值符号,可考虑采用零点分段法,即令每一项都等于0,得到的值作为争论的分区点,然后再分区间争论肯定值不等式,最终应求出解集 的并集,这是按常规去掉肯定值符号的方法求解,运算量较 大；假设认真观看不等式左边的结构,利用肯定值的几何意 义 用 数 形 结 合 方 法 或 联 想 到 绝 对 值 不 等 式 | a +b | | a |+| b | ,便把问题简化；解题 解法一 1 当 a 0 时,不等式的解集是空集；2 当 a >0 时,先求不等式| x 4|+|3 x |< a 有解名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 时 a 的取值范畴；令 x 4=0 得 x =4,令 3 x =0 得 x =3 当 x 4 时,原不等式化为 x 4+ x 3< a,即 2 x 7< a解不等式组xx4a4x27 当 3< x <4 时,原不等式化为 当 x 3 时,原不等式化为 2 x <a7 a2, a >1 4 x + x 3< a 得 a >1 4 x +3 x < a 即 7解 不 等 式x3a72ax372a3, 72xa >1 综合可知,当 a >1 时,原不等式有解,从而当 0< a1 时,原不等式解集为空集；由12 知所求 a取值范畴是 a1 解法二由 | x 4|+|3 x | 的最小值为4|+|3 x|< a 有解1 得当 a>1 时,| x从而当 a 1 时,原不等式解集为空集；解法三： a >| x 4|+|3 x| | x 4+3 x |=1 当 a >1 时, | x 4|+|3 x |< a有解 从而当 a 1 时,原不等式解集为空集；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 请你试试 441对任意实数 x ,假设不等式 | x +1| | x 2|> k 恒成立,求 k 的取值范畴；思维点拨： 要使 | x+1| | x 2|> k 对任意实数 x 恒成 立,只要 | x +1| | x 2| 的最小值大于 k ；因| x +1| 的几何意义为数轴上点 x 到 1 的距离, | x 2| 的几何意义为数轴上点 x到 2 的距离, | x +1| | x2| 的几何意义为数轴上点 x 到 1 与 2 的距离的差,其最小值可求；此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数,通过画出图象,观看k 的取值范畴；解法一 依据肯定值的几何意义,设数 x ,1,2 在数轴上对应的点分别为 P、A、B,就原不等式即求 |PA| |PB|> k成立|AB|=3 ,即 | x +1| | x 2| 3 故当 k<3 时,原不等式恒成立解法二令 y =| x+1| | x2| ,就y3,x1x22x1, 13,x2要 使 | x +1| | x 3yx2|> k 恒成立,从图象中可以看出,只要 k <3 即可；O名师归纳总结 -3第 11 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故 k <3 满意题意；2对任意实数x,不等式 |x+1|+|x-2|>a恒成立, 求实数a 的取值范畴；分析：经过分析转化,实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值, a 应比最小值小；解： 由肯定值不等式：|x+1|+|x-2|x+1-x-2|=3,当且仅当 x+1x-20, 即1x2时取等号；故a<3 说明： 转化思想在解中有很重要的作用,题、定义域为 R等问题都可转化为求最大、比方： 恒成立问 最小值问题；在这些问题里我们要给自己提问题,怎样把一般性的问题转化到某个特别的值的问题,常问的问题是：要使 ,只要 3已知 a>0, 不等式 |x-4|+|x-3|<a 在实数集 R 上的解集不是空集,求 a 的取值范畴分析一|x-4|+|x-3| |x-4 x-3|=1 当|x-4|+|x-3|<a在实数 R上非空时, a 须大名师归纳总结 于|x-4|+|x-3|的最小值,即a>1 第 12 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二如图,实数x、3、4 在数轴上的对应点分别为P、A、B 就有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| | PA|+|PB|1 恒有 y 1 P x 数按题意只须a>1 A B 3 4 0 四考虑 |z-4|+|z-3|<az c 的几何意义五可利用零点分段法争论 . 以上三种情形中任一个均可满意题目要求,故求它们的并集,即仍为 a>1. 变题：1、假设不等式 |x-4|+|x-3|>a对于一切实数x 恒成立,求 a 的取值范畴2、假设不等式 |x-4|-|x-3|<a 求 a 的取值范畴 3、假设不等式 |x-4|-|x-3|>a 值范畴第 5 变 肯定值三角不等式问题的解集在 R上不是空集,在 R上恒成立, 求 a 的取名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变题5已知函数f x ax2bxc a b cR,当x 1,1时 |f x | 1,求证：c a b cR ,就当x 1,1时,1|b| 1；2 如g x bx2ax求证： |g x |2；思路此题中所给条件并不足以确定参数a, , c的值,但名师归纳总结 应当留意到：所要求的结论不是b 或g x 的确定值,而是与ff1 条件相对应的“ 取值范畴”,因此,我们可以用f1、f0、f1来 表 示a,b, c ； 因 为 由 已 知 条 件 得|f 1| 1, |f0 | 1, |f1| 1；解题证明：1由f1abc f1abcb1f12,从而有 1 | 1,|b|1f1f 11|f1|f 1 |, |f1| 1,|22|b|1|f1|f 1 |1.f1 ,22由f1abc f1abcb1f12从而a1 2f1f1 f0第 14 页,共 29 页将以上三式代入- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - g x bx2axc a b cR,并整理得|g x | |f0x211f1 x11f 11x |x222|f0x21|1|f1 x1|1|f 11x |22|f0 |x21|1|f1|x1|1|f 1|1x|22|x21|1|x1|1|1x| 1x21 2x1112222请你试试451已知函数fx=1x2, a,bR,且ab,求证|fa-fb|<|a-b|；分析：要证|1a21b2|ab|,考察左边,是否能产生 |a-b|；证明：|fa-fb|=名师归纳总结 |1a2|a1|b2|a1|a2|ab2|b2|a|b|a|b|第 15 页,共 29 页a21a|b|b|b|b|a|b|- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其中1a2a2|a|,同理1b2|b|,1a211b2|a|1|b|高中不等式习题精选精解一、求取值范畴2、已知abc,且abc0,求c /a的取值范畴；解：由已知条件,明显aab0 c0a,0c/a1/2bc ,a2 cc,0ab ,2acabc,0c2 a ,a,0c/a2综上所述c/a的取值范畴是2 ,1/23、正数x,y满意x2y1,求1/x1/y的最小值；名师归纳总结 解：第 16 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - /1x/1y1 * /1x/1y x2 y /1x/1y 1x/y2 y /x232x/y2y/x322x,y为正数5、已知函数f x ax2bx a0满意 1f 12,2f15,求f 3的取值范畴；b593：31ab,22a解：由习已知得：设f3 9 a3 bm ab n ab mnmmnn6f3 6*f13*f 1 ,12f3 27所以f3 的取值范畴是12 ,278、假设关于 x 的方程4xa2xa10有实数解, 求实数 a的取值范畴；名师归纳总结 解一：设tx 2 ,2x,0t0,原题转换为求方程 y y 第 17 页,共 29 页o x o - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - t2ata10在0 ,上有解；共有两种情形,一种是有两个根,一种是只有一个根如以下图 ,由二次函数的图像和性质,得方程t2ata10在0 ,上有实数解的充要条件为：fa24a10f 0a2a4 a100a或21010a0 注：两组不等式分别对应两个图解22 或a2,1即a2得21a22所以 a的取值范畴是, 22解二：由方程ft2atat210得a1 1t2t0 t函数t1 t0的值域就是a 的取值范1t围；名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - a1t2t212t1t21t1t2121t1t222 222,222所以 a 的取值范畴是二、解不等式1、x2 fx22x3与0fx0或gx0x gx 0解：不等式gx0同解,也可以这样懂得：2、符号“” 是由符号“>” “=” 合成的,故不等式或fx gx 0可 转 化 为fx gx0fxgx0；解得：原不等式的解集为x|x3 或x1x23x20. x22x3名师归纳总结 解：第 19 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x23x20x22x3x2x3x2 x202x3 0,用根轴法零点分x22x303 x1 01 x2 xx3 x1 + 段法画图如下：原不等式的解集为x|1x1 或2x3；3、x21ax,1a0 解：原式等价于1x211axax0注：此x2,11ax1,即为关键名师归纳总结 x2a0 ,x02原 不 等 式 等 价 于 不 等 式 组第 20 页,共 29 页1 1ax解得：x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当0a1 时,原不等式解集为x|0x12a2a4、当a21 时,原不等式解集为x|x0xax20名师归纳总结 解：当a0时,原不等式化为x20,得x2；第 21 页,共 29 页当a0时 , 原 不 等 式 化 为x2 x20, 得a2x2；x2 x20,得aa1时,原不等式化为当0ax2或x2；x2 20, 得a当a1时 , 原 不 等 式 化 为x2；2x20,得1时,原不等式化为x当aax2或x2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综合上面各式,得原不等式的解集为：5 、 关 于 x 的 不 等 式axb0的 解 集 为,1, 求axb0的解集；ax2b x2 0x2解：由题意得：a0,且abaxb0与不等式组就不等式x0x2同解得所求解集为x|x1 或x2ax1的解集6、已知a0且1,关于 x 的不等式a是x x0,解关于 x 的不等式log ax10x的解集；名师归纳总结 解 ：关 于 x 的 不 等 式ax1的 解 集 是x x0,第 22 页,共 29 页a1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - log ax10x1 0 x1 1 x1x125xx或1x1251,1251,125；原不等式的解集是三、证明题2、设ab0, n 为偶数 , 证明bn1an111anbnab名师归纳总结 证：bn1an111anbnann1bn,1 . 第 23 页,共 29 页anbnabab ab n当a0,b0时0, 0, anbnan1bn10 , 0 故anbnan1bn1ab nbn1an1110,banbnab ; 当a b 有 一 个 负 值 时 , 不 妨 设a, 且- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ab0, 即a|b . abn n 为 偶 数 时 , annbnan1bn10 , 且0anbnan1b10 ,故ab nbn1an111anbnab . 综合可知 , 原不等式成立注：必需要考虑到已知条件abn0,分类争论,0 否就不能直接得出 anbna1bn13、求证：a216a42362 29名师归纳总结 证：设向量p ,4,q|4a,6p ,由第 24 页,共 29 页|p|q| |pq , 得|q|q|a216a4236|p| ,44a ,6 | | 4,10 |161002 29